平面向量的坐标表示及其运算、向量的数量积 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

平面向量的概念及其运算、向量的数量积 教学目标 1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念； 2、掌握向量的加法和减法； 3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件； 4、理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算； 5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 重 点 向量的数量积 难 点 向量的模运算、向量的数量积 （一）向量的概念及线性运算 知识梳理 向量的概念与线性运算 1、平面向量的有关概念： （1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。 （2）表示方法：用有向线段来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母，，…或用，，…表示。 *向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） （3）模：向量的长度叫向量的模，记作||或||。 （4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；零向量的方向是任意的。 （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是) （6）共线（平行）向量：方向相同或相反的向量叫共线（平行）向量，规定零向量与任何向量共线。 （7）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （8）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量,的相反向量是。 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线， 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性（因有)； ④三点共线共线； 2、向量的线性运算 1、向量的加法： （1）对于零向量与任一向量，有+=+ （2）法则：三角形法则，平行四边形法则 （3）运算律： +=+；（+）+=+（+）. 2、向量的减法： （1）可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。 3、实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，规定：|λ|=|λ|||.当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λ与平行。 （2）运算律：λ（μ）=（λμ），（λ+μ）=λ+μ，λ（+）=λ+λ。 重要定理： 向量共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得=λ，即∥=λ（≠）。 推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式。 . 注：中点公式 例题精讲 【例1】（1）判断下列各命题是否正确： （1）零向量没有方向 （2）若 （3）单位向量都相等 （4）向量就是有向线段 （5）两相等向量若共起点,则终点也相同 （6）若，，则 （7）若，，则 （8）的充要条件是且 （9）若四边形ABCD是平行四边形,则 （2）对于向量，，和实数，下列命题中正确的是（ ） A．若，则或 B．若，则或 C．若，则或 D．若，则 【例2】（1）设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数 . （2）设是平面内两个不共线的向量，，，.若三点共线，则的最小值是 ． 【例3】在中，点满足，则与的面积比为　　 A． B． C． D． 巩固训练 1、判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。 ①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ②任一向量与它的相反向量不相等； ③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝； ④模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 2、下列说法中正确的是　　 A．单位向量都相等 B．若满足且与同向，则 C．对于任意向量，必有 D．平行向量不一定是共线向量 （二）向量的坐标运算 知识梳理 平面向量分解定理与坐标表示 1、平面向量分解定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。 特别提醒： （1）我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； （2）基底不惟一，关键是不共线； （3）由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解； （4）基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量； 2、平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得………… 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作………… 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。 与相等的向量的坐标也为。 特别地，，，。 特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。 3、平面向量的坐标运算 （1） 若，，则=，=。 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 （2） 若，，则。 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。 （3）若和实数，则。 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 4、向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中 ∥ ()的充要条件是。 例题精讲 【例4】已知，，，且，，则　　 A． B． C． D． 【例5】已知，两点，且，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【例6】已知点，向量绕原点逆时针旋转后等于，则点的坐标为　　 A．， B．， C．， D．， 【例7】（1）设向量，，则“∥”是“”的………（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 （2）已知向量a＝(3,5)，b＝(2,4)，c＝(－3，－2)，a＋λb与c垂直，则实数λ＝________. 【例8】（1）已知，，，则　 　． （2）已知平面向量，满足，，，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【例9】已知向量，满足，，且，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 巩固训练 1、已知向量，，．若，则　　 A． B． C． D． 2、已知向量．若，则　　 A．6 B． C． D． 3、已知，，，，为坐标原点，则下列说法正确的是　　 A． B．，，三点共线 C．，，三点共线 D． 4、已知向量，，且，则　　 A． B． C． D． 5、已知向量，那么等于　　 A． B． C．1 D．0 6、已知向量，，．若，则的最小值为　 　． （三）向量的数量积 知识梳理 平面向量的数量积 1、两个非零向量夹角的概念 已知非零向量与，作＝，＝，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫与的夹角。 2、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有 = ||||cos。 提醒： 1、（0≤θ≤π），并规定与任何向量的数量积为0； 2、两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量； 1） = =||cos； 2） = 0； 3）当与同向时， = ||||；当与反向时， = |||； 特别的 = ||2或； 4） 当为锐角时，，且不同向，是为锐角的必要非充分条件； 当为钝角时，，且不反向，是为钝角的必要非充分条件； 5）cos =； 6）|| ≤ ||||。 3、“投影”的概念：如图 定义： |b|cos叫做向量b在a方向上的投影。 提醒： 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0； 当 = 0时投影为|b|；当 = 180时投影为|b|。 4、平面向量数量积的运算律 交换律： = ； 数乘结合律： () =() = ()； 分配律： (+)= +。 5、平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量，，设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么， 所以 。 6、平面内两点间的距离公式 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、， 那么：。 7、向量垂直的判定：设，，则 。 8、两向量夹角的余弦（） cos = 。 例题精讲 【例10】下列命题：（1）；（2）； （3）；（4）．其中真命题的个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【例11】（1）已知向量，满足且，则向量在向量方向的投影为（ ） A． B． C． D． （2）已知中，，，是边上的高，则 ． 【例12】若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为________． 【例13】已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例14】（1）已知向量，满足：，且（）．则向量与向量的夹角的最大值为（ ） ．； ．； ．； ．． （2）已知向量,，,则与夹角的最小值和最大值依次是 （ ） A. B. C. D. ( y x )【例15】（1）如图，在矩形中，，点为中点，点在边上，若，则的值是____________ （2）在直角三角形中，，点分别是的中点，点是内及边界上的任一点，则的取值范围是_______ 【例16】（1）如图，在中，，是边上的高，则的值等于（ ） A．0 B．4 C．8 D． （2）已知点是边长为1的菱形内一动点（包括边界），，则的最大值为　　 A． B． C．1 D． 【例17】（1）已知正三角形的边长为2，，是的中点，则等于　　 A．3 B．2 C． D． （2）将一副三角板中的两个直角三角板按如图所示的位置摆放，若，则　　 A． B． C． D．192 【例18】（1）已知点是棱长为2的正方体的底面上一点（包括边界），则的取值范围是　　 A． B．， C． D．， （2）设是圆的一条动直径，是坐标原点，则　　 A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练 1、已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为　　 A． B．3 C． D． 2、已知为单位向量，向量满足，则的最大值为　　 A． B．2 C． D．3 3、如图，平行四边形的两条对角线相交于，点是的中点，若，，且，则_________ 4、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（ ） A.4 B. C. D. 5、如图，在由5个边长为，一个内角为的菱形组成的图形中，______. 6、已知平面向量，，则与的夹角为______. 7、如图，已知在中，，则______ ( 实战演练 ) 一、填空题 1、已知中，，，点是线段的中点，则　 　． 2、如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值为 　 　． 3、已知向量，，且在上的投影等于，则的值为 　 　． 4、如图，在菱形中，，．已知，，，则　 　． 5、已知，是单位向量，．若向量满足，则的最大值为 　 　． 6、设为内一点，且满足关系式，则　 　． 二、选择题 7、已知向量，，且，则　　 A． B． C． D． 8、已知平面向量，满足，，，，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 9、在中，为三角形所在平面内一点，且，则　　 A． B． C． D． 10、如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，，2，是上底面上其余的八个点，则，2，，的不同值的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 11、已知向量与的夹角为，，． （1）求； （2）若向量与共线，求实数的值； （3）若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围． 12、如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点． （Ⅰ）若是线段的中点，，求的值； （Ⅱ）若，，求的最小值． ( 第 1 页 共 2 页 )平面向量的概念及运算、向量的数量积—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$