平面向量的坐标表示及其运算、向量的数量积 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

平面向量的概念及其运算、向量的数量积

教学目标	1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念； 2、掌握向量的加法和减法； 3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件； 4、理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算； 5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
重    点	向量的数量积
难    点	向量的模运算、向量的数量积

 

 

 

（一）向量的概念及线性运算

知识梳理

向量的概念与线性运算

1、平面向量的有关概念：

（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。

（2）表示方法：用有向线段来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母，，…或用，，…表示。

*向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）

（3）模：向量的长度叫向量的模，记作||或||。

（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；零向量的方向是任意的。

（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)

（6）共线（平行）向量：方向相同或相反的向量叫共线（平行）向量，规定零向量与任何向量共线。

（7）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。

（8）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量,的相反向量是。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，

但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性（因有)；

④三点共线共线；

 

2、向量的线性运算

1、向量的加法：

（1）对于零向量与任一向量，有+=+

（2）法则：三角形法则，平行四边形法则

（3）运算律： +=+；（+）+=+（+）.

2、向量的减法：

（1）可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。

3、实数与向量的积：

（1）定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，规定：|λ|=|λ|||.当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λ与平行。

（2）运算律：λ（μ）=（λμ），（λ+μ）=λ+μ，λ（+）=λ+λ。

 

例题精讲

【例1】（1）判断下列各命题是否正确：

（1）零向量没有方向                      （2）若

（3）单位向量都相等                      （4）向量就是有向线段

（5）两相等向量若共起点,则终点也相同     （6）若，，则

（7）若，，则               （8）的充要条件是且

（9）若四边形ABCD是平行四边形,则

 

 

（2）对于向量，，和实数，下列命题中正确的是（  ）

A．若，则或 B．若，则或

C．若，则或 D．若，则

 

【例2】（1）设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数        .

 

（2）设是平面内两个不共线的向量，，，.若三点共线，则的最小值是       ．

 

【例3】在中，点满足，则与的面积比为　　

A． B． C． D．

 

 

巩固训练 

1、判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。

①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②任一向量与它的相反向量不相等；

③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝；

④模为0是一个向量方向不确定的充要条件；

⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

 

 

2、下列说法中正确的是　　

A．单位向量都相等 

B．若满足且与同向，则 

C．对于任意向量，必有 

D．平行向量不一定是共线向量

 

 

 

 

 

 

（二）向量的坐标运算