数列的函数性质讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

数列的函数性质 教学目标 1、熟悉等差等比数列的基本性质并能利用其解决实际问题； 2、数列的单调性及数列的最值问题； 3、了解等差等比数列前n项和的思想，对于等比数列前n项和问题注意分类讨论. 重 点 1、数列的单调性与最值； 2、等差等比数列的性质及其应用. 难 点 1、数列的单调性，周期性 2、利用周期进行有关计算. （一）数列的单调性与最值 知识梳理 数列的单调性 数列单调性是数列最重要的性质之一，也是解决数列综合问题的最重要的方法之一，判断数列单调性的方法常用的有二种，一种是利用数列对应的函数的单调性；另一种是对数列的前后项作差（或作商）比较法判断；而数列单调性的应用更为重要。 1、判断数列单调性： 递增数列 递减数列 常数列 递减数列 递增数列 常数列 2、数列单调性的应用：求数列最大项和最小项 方法一：利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项。 方法二：设是最大项，则有对任意的且均成立，解不等式组即可。 方法三：利用做差（或作商），研究相邻项间的关系，进而求得数列的最大项或最小项。 例题精讲 【例1】（1）已知等差数列的前项和为，，，则使取得最大值时的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 （2）设是公差为的无穷等差数列的前n项和，则下列命题错误的是：（ ） A若，则数列有最大项 B若数列有最大项，则 C若数列是递增数列，则对任意的，均有 D若对任意的，均有，则数列是递增数列 （3）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列结论错误的是 （ ） A．和均为的最大值. B．； C．公差； D．； 【例2】若数列是等比数列，则“首项，且公比”是“数列单调递增”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件 【例3】已知数列满足，且，则的最小值为（ ） A．21 B．10 C． D． 【例4】 已知数列的通项公式为，则数列（ ） A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 【例5】已知，则数列的前50项中最小项和最大项分别是　　 A．， B．， C．， D．， 【例6】已知数列为等差数列，若，则数列的最小项是第_______项 【例7】数列的最大项为第项，则　　 A．4或5 B．5 C．5或6 D．6 【例8】在数列中，若数列满足 ，则数列的最大项为　 　 A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【例9】已知数列的通项公式为，且为单调递增数列，则实数的取值范围是 　 　． 【例10】已知数列满足，，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例11】已知数列的前项和满足，.数列的前项和为，则满足的最小的值为______． 巩固训练 1、若数列的通项公式为，则其前项和达到最小值时，____． 2、已知数列满足：，，则数列是（ ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定 3、已知函数是定义在上的奇函数，且满足，数列是首项为1、公差为1的等差数列，则的值为　　 A． B．0 C．1 D．2 4、已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 5、已知是上的奇函数，（1），则数列的通项公式为　　 A． B． C． D． （二）数列的周期性 知识梳理 1、常见结论： 在数列中，关于数列的周期性有以下常见结论； 1、若恒成立，则是的一个周期； 2、若，恒成立，则是的一个周期； 3、若恒成立，则是的一个周期； 4、若且恒成立，则是的一个周期； 5、若且恒成立，则是的一个周期； 6、若且恒成立，则是的一个周期； 2、周期数列： 某个数列与周期数列相乘，这样的数列求和，用“并项法” 是最常见的周期因子，此外都是 我们一般只n为周期整数倍的前n项和，其余的用这样的方法计算 例题精讲 【例12】数列满足满足，则 【例13】设等差数列的前项和是，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和是，求. 【例14】对于数列，若存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列是以为周期的周期数列．设，对任意正整数n都有 若数列是以5为周期的周期数列，则的值可以是 ．(只要求填写满足条件的一个m值即可) 巩固训练 1、已知无穷数列，，，对任意，有，数列满足（），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的的值为 . 2、 数列的前项和为，若（），则 . 3、若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为．已知数列满足，，若，则的所有可能取值为　　 A．， B．，， C．，， D．， 4、数列的通项公式，前项和为，则___________. ( 实战演练 ) 一、填空题 1、数列的前项和为，若，，则　 　． 2、已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项和，则的值为　 　． 3、在等差数列中，，，记，2，，则数列的最大项是第　　项． 4、已知数列满足，，则　 　． 5、已知函数，且，设等差数列的前项和为，若，则的最小值为　 　． 6、已知函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则　 　． 二、选择题 7、设等差数列的前项和，若，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 8、已知数列的通项公式为，且．则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 9、已知无穷等比数列满足，其前项和为，则　　 A．数列为递增数列 B．数列为递减数列 C．数列有最小项 D．数列有最大项 10、已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 三、解答题 11、已知数列的通项公式为． （1）求这个数列的第10项； （2）在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． 12、设数列的首项为常数，且， （1）证明：是等比数列； （2）若，中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由． （3）若是递增数列，求的取值范围． ( 第 1 页 共 2 页 )数列的函数性质—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$