数列的函数性质讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

数列的函数性质

教学目标	1、熟悉等差等比数列的基本性质并能利用其解决实际问题； 2、数列的单调性及数列的最值问题； 3、了解等差等比数列前n项和的思想，对于等比数列前n项和问题注意分类讨论.
重    点	1、数列的单调性与最值； 2、等差等比数列的性质及其应用.
难    点	1、数列的单调性，周期性 2、利用周期进行有关计算.

 

 

 

（一）数列的单调性与最值

知识梳理

数列的单调性

数列单调性是数列最重要的性质之一，也是解决数列综合问题的最重要的方法之一，判断数列单调性的方法常用的有二种，一种是利用数列对应的函数的单调性；另一种是对数列的前后项作差（或作商）比较法判断；而数列单调性的应用更为重要。

1、判断数列单调性：

	递增数列	递减数列	常数列
	递减数列	递增数列	常数列

2、数列单调性的应用：求数列最大项和最小项

方法一：利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项。

方法二：设是最大项，则有对任意的且均成立，解不等式组即可。

方法三：利用做差（或作商），研究相邻项间的关系，进而求得数列的最大项或最小项。

 

例题精讲

【例1】（1）已知等差数列的前项和为，，，则使取得最大值时的值为(　　)

A．5 B．6 C．7 D．8

 

（2）设是公差为的无穷等差数列的前n项和，则下列命题错误的是：（    ）

A若，则数列有最大项               B若数列有最大项，则

C若数列是递增数列，则对任意的，均有

D若对任意的，均有，则数列是递增数列

 

 

（3）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列结论错误的是 （     ）

A．和均为的最大值.                B．；

C．公差；                            D．；

 

【例2】若数列是等比数列，则“首项，且公比”是“数列单调递增”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件

 

【例3】已知数列满足，且，则的最小值为（    ）

A．21 B．10 C． D．

 

【例4】 已知数列的通项公式为，则数列（    ）

A．有最大项，没有最小项           B．有最小项，没有最大项

C．既有最大项又有最小项           D．既没有最大项也没有最小项

 

【例5】已知，则数列的前50项中最小项和最大项分别是　　

A．， B．， C．， D．，

 

【例6】已知数列为等差数列，若，则数列的最小项是第_______项

 

 

【例7】数列的最大项为第项，则　　

A．4或5 B．5 C．5或6 D．6

 

【例8】在数列中，若数列满足

，则数列的最大项为　  　

A．第5项    B．第6项    C．第7项    D．第8项

 

 

【例9】已知数列的通项公式为，且为单调递增数列，则实数的取值范围是 　     　．

 

【例10】已知数列满足，，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ）   

A． B． C． D．

 

【例11】已知数列的前项和满足，.数列的前项和为，则满足的最小的值为______．

 

 

巩固训练