数列的极限与数学归纳法讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

数列的极限与数学归纳法 教学目标 1、知道用数学归纳法的基本原理，掌握数学归纳法的一般步骤； 2、会用数学归纳法解决整除问题及证明某些与正整数有关的等式； 3、理解数列极限的概念，掌握数列极限的运算法则和常用的数列极限； 4、掌握公比时，无穷等比数列前项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式，并能用于解决简单问题 重 点 1、用数学归纳法证明命题的步骤，数学归纳法的应用 2、极数列极限的运算法则，常用的数列极限，无穷等比数列各项和公式； 3、无穷等比数列各项和公式的应用，突破难点的关键在于由实际问题出发建立起等比数列模型． 难 点 数列极限的综合问题 （一）数列的极限 知识梳理 1、数列的极限 在无限增大的变化过程中，如果数列中的项无限趋向于某个常数，那么称为数列的极限，记作．换句话说，即：对于数列，如果存在一个常数，对于任意给定的，总存在自然数，当时，不等式恒成立，把叫做数列的极限，记为． 注意：①理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近； ②有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题； ③这里的常数是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：； ④研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限； ⑤“无限趋近于”是指数列后面的项与的“距离”可以无限小到“零”． 2、 几个常见的极限： （1）C=C（C为常数）； （2）=0； （3）qn=0（|q|＜1）； （4）=（k∈N*，a、b、c、d∈R且c≠0）； （5）． 3、数列极限的四则运算法则：设数列，当时， ； ； ； 特别地。如果c是常数，那么． 注意：(1)公式成立的条件：公式成立的前提是与都存在极限； (2)公式的实质：是四则运算与取极限这两种运算可以变换顺序； (3)公式的推广：公式中的两项的和，差，积可以推广到有限个项，但是它们都不能推广到无限个． 例题精讲 【例1】判断下列结论正确与否： ⑴若，则越来越小； ⑵若，且不是常数数列，则无限接近，但总不能达到； ⑶在数列中，如果对一切总有，则没有极限； ⑷若，则。 【例2】求下列极限：（1） （2）; （3）; （4）（++…+） （5） （6） 【例3】已知数列，则　　 A．0 B． C．1 D．2 【例4】（1）已知，为常数，若，则　 　． （2）已知数列和的通项公式分别是，，其中、是实常数，若，，且、、成等差数列，则的值是 ； 【例5】已知，求 【例6】若，则实数的取值范围是　 　． 【例7】若将直线，，，围成的三角形面积记为，则　 　． 巩固训练 1、　 　． 2、计算：　 　． 3、　 　． 4、若，求的值 5、在数列中，，则数列的极限为　　 A．0 B． C．0或 D．不存在 6、已知，是数列的前项和　　 A．存在，不存在 B．不存在，存在 C．和都存在 D．和都不存在 7、若，则实数的取值范围是____________ 8、已知数列中，.若存在，则的取值范围为_______ （二）无穷等比数列求和 知识梳理 无穷等比数列各项的和 把公比满足的无穷等比数列的前项和，当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号表示，即． 例题精讲 【例8】（1）设（）则数列的各项和为________ （2）设无穷等比数列的公比,则_____ 【例9】（1）已知无穷等比数列中的首项，各项的和，则公比=__________． （2）已知无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，则公q=__________． 【例10】数列满足：，它的前n项和记为，则________． 【例11】（1）若是无穷等比数列，且，则的取值范围为　 　． （2）是无穷等比数列，且所有项和存在，若，求公比的范围。 【例12】化下列循环小数为分数： （1） （2） （3） 【例13】设为一组多边形，其作法如下： 是边长为1的三角形以的每一边中间的线段为一边向外作正三角形，然后将该线段抹去所得的多边形为，如图所示。令表示的周长，表示的面积。 （1）计算的面积，，； （2）求(+…+)的值 巩固训练 1、在数列中，，且满足，则=__________ 2、已知无穷等比数列中的首项，各项的和，则公比=__________． 3、若是等比数列，且，则　 　． 4、已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有（－qn）=,求首项a1的取值范围是_______． 5、无穷等比数列的通项公式，前项的和为，若， 则________ 6、新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药__________（填“会”或者“不会”）对人体产生副作用. （三）数学归纳法 知识梳理 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1) (归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立； (2) (归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 注意：①应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法。 ②由k到k+1的证明，实际问题中由k到k+1的变化规律是数学归纳法的难点，突破难点的关键是掌握由k到k+1的推论方法，在运用归纳假设时，应分析P(k)与P(k+1)的差异及联系。利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发；或从P(k+1)从分离出P(k)，再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡。 3、用数学归纳法证明与正整数有关的等式，常采用从一边开始并以另一边为目标进行推证的办法；用数学归纳法证明整除性问题，常采用配凑的办法；用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时，常常需要运用不等式的性质以及比较法、放缩法、分析法、综合法等基本方法；用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题，常常要运用几何图形的性质。 四、归纳——猜想——论证 “归纳、猜想、证明”就是运用“检验有限个的值，寻找一定规律，猜想一个结论，然后用数学归纳法证明所猜想的结论正确”的解题方法． 理解一个完整的思维过程，往往是既要发现结论，又要证明结论的正确性．这就需要掌握运用由特殊到一般的思维方法，也就是通过观察、归纳，提出猜想，探求结论，且运用严密的逻辑推理，即数学归纳法证明结论（猜想）的正确．领会“归纳、猜想、证明”的思想方法，非常有助于提高观察分析能力． 例题精讲 【例14】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立.(　　) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(　　) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(　　) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(　　) (5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23. (　　) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(　　) 【例15】（1）用数学归纳法证明,则第一步应验证= ． （2）利用数学归纳法证明凸多边形的对角线的条数是时，第一个可以取到的自然数_______. 【例16】设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是　　 A．若（1）成立，则（9）成立 B．若（2）成立，则（1）成立 C．若（3）成立，则当时，均有成立 D．若（3）成立，则当时，均有成立 【例17】（1）用数学归纳法证明命题：若是大于1的自然数，求证：，从到，不等式左边添加的项的项数为 ． （2）已知.用数学归纳法证明，请补全证明过程：(1)当时，；(2)假设时命题成立，即，则当时，______，即当时，命题成立.综上所述，对任意，都有成立. 【例18】观察下列式子：，…，根据上述规律，第n个不等式应该为_________． 【例19】已知数列，又，用数学归纳法证明． 【例20】用数学归纳法证明：＋＋…＋＞(n≥2 ，n∈N)． 【例21】试证：n为正整数时， f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除． 【例22】已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性. 巩固训练 1、用数学归纳法证明，在验证时，左端计算所得项为 ． 2、对于不等式<n＋1 (n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立. (2)假设当n＝k (k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即<k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1. 所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A.过程全部正确 B.n＝1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 3、求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*). 4、用数学归纳法证明：能被14整除． 5、已知， （1）求； （2）猜想它的通项公式，并用数学归纳法加以证明 6、是否存在常数、、使等式对一切正整数成立？证明你的结论． ( 实战演练 ) 一、填空题 1、计算：　 　． 2、　 　． 3、若首项为1、公比为的无穷等比数列的各项和为，表示该数列的前项和，则的值为　 　． 4、已知，则　 　． 5、给出数列如：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，，，，则该数列的第2021项为 　 　． 6、如图所示，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于 　 　． 二、选择题 7、计算：　　 A．3 B． C． D．5 8、下列命题正确的是　　 A．若，则且 B．若，则且 C．若无穷数列有极限，且它的前项和为，则 D．若无穷数列有极限，则 9、以下哪个不是可能的取值　　 A．2 B． C． D． 10、“数列和数列极限都存在”是“数列和数列极限都存在”的　　条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．非充分非必要 三、解答题 11、观察下列等式． 第一个式子 第二个式子 第三个式子 照此规律下去． （1）写出第4个和第5个式子； （2）试写出第个等式，并用数学归纳法验证是否成立． 12、设数列的前项和为，对任意正整数，皆满足（实常数．在等差数中，，． （1）求数列的通项公式； （2）试判断数列能否成等比数列，并说明理由； （3）若，，求数列的前项和，并计算：（已知． ( 第 1 页 共 2 页 )数列的极限与数学归纳法 —学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$