数列的极限与数学归纳法讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

数列的极限与数学归纳法

教学目标	1、知道用数学归纳法的基本原理，掌握数学归纳法的一般步骤； 2、会用数学归纳法解决整除问题及证明某些与正整数有关的等式； 3、理解数列极限的概念，掌握数列极限的运算法则和常用的数列极限； 4、掌握公比时，无穷等比数列前项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式，并能用于解决简单问题
重    点	1、用数学归纳法证明命题的步骤，数学归纳法的应用 2、极数列极限的运算法则，常用的数列极限，无穷等比数列各项和公式； 3、无穷等比数列各项和公式的应用，突破难点的关键在于由实际问题出发建立起等比数列模型．
难    点	数列极限的综合问题

 

 

 

（一）数列的极限

知识梳理

1、数列的极限

在无限增大的变化过程中，如果数列中的项无限趋向于某个常数，那么称为数列的极限，记作．换句话说，即：对于数列，如果存在一个常数，对于任意给定的，总存在自然数，当时，不等式恒成立，把叫做数列的极限，记为．

注意：①理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近；

②有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题；

③这里的常数是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：；

④研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限；

⑤“无限趋近于”是指数列后面的项与的“距离”可以无限小到“零”．

2、几个常见的极限：

（1）C=C（C为常数）；     （2）=0；     （3）qn=0（|q|＜1）；

（4）=（k∈N*，a、b、c、d∈R且c≠0）；

（5）．

3、数列极限的四则运算法则：设数列，当时，

；  ；   ；

特别地。如果c是常数，那么．

注意：(1)公式成立的条件：公式成立的前提是与都存在极限；

(2)公式的实质：是四则运算与取极限这两种运算可以变换顺序；

(3)公式的推广：公式中的两项的和，差，积可以推广到有限个项，但是它们都不能推广到无限个．

 

 

例题精讲

【例1】判断下列结论正确与否：

⑴若，则越来越小；

⑵若，且不是常数数列，则无限接近，但总不能达到；

⑶在数列中，如果对一切总有，则没有极限；

⑷若，则。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【例2】求下列极限：（1）     （2）;       （3）;     

（4）（++…+）   （5）    （6）

 

 

 

 

【例3】已知数列，则　　

A．0 B． C．1 D．2

 

 

【例4】（1）已知，为常数，若，则　  　．

 

 

 

（2）已知数列和的通项公式分别是，，其中、是实常数，若，，且、、成等差数列，则的值是       ；

 

 

 

【例5】已知，求

 

 

 

【例6】若，则实数的取值范围是　    　．