数列的通项与求和 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

数列的通项与求和 教学目标 1、掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法，由数列递推关系式的特点，选择合适的方法； 2、掌握等差数列与等比数列前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些简单的问题 重 点 1、根据数列的递推公式求解数列通项公式 ； 2、掌握求一些特殊数列前n项和的方法：公式、分组、倒序相加、裂项、错位； 3、理解求数列通项及数列求和中蕴含的数学思想方法． 难 点 理解求数列通项及数列求和中蕴含的数学思想方法 （一）数列的通项 知识梳理 1、等差数列的通项公式： 2、等比数列的通项公式： ※3、用观察法（不完全归纳法）求数列的通项. 二、根据递推关系求通项 1、累加法（叠加法） 形如或，且不为常数，则求可用累加法. ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的特殊分式函数，累加后可裂项求和. ( 【 知识注释 】 ) 2、累乘法（叠乘法） 形如或，且不为常数（一般情况下为分式形式），求用累乘法. ( 【 知识注释 】 ) 3、待定系数法 形如,其中) 型 （1）若时，数列为等差数列； （2）若时，数列为等比数列； （3）若且时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求解.见下 ( 【 知识注释 】 设 ， 得 ， 可得 。 【 知识补充 】 形如 ，可以有三种方法进行求解： ① 同时除以 ，可得 ，令 ，得 ，利用待定系数法进行求解 ② 同时除以 ，可得 ，令 ，得 ，利用累加法进行转化求解 ③ 当 时，可以构造 ，令 ，可得 ... 这三种方法比较下来，第一种方法相对运算会简单一些，第二种方法要利用累加求和，有可能会计算错误；第三哪种方法使用的前提是 ，所以适用范围会有限制。 ) 4、倒数法 形如型，取倒数变成的形式的方法叫倒数变换法. ( 【 知识注释 】 形如 型 ， 其实就是高一所学习的 模型，要学会数列和知识点之间的勾连. 取倒数后有两种类型：一是直接转化为等差数列；二是再借助于待定系数法去求解. ) 5、对数变换法 形如 这种类型一般是等式两边取对数后转化为型，再利用待定系数法求解. ( 【 知识注释 】 形如 ， 此时最好的方法就是两边同时取 ，这样可以很好的降低难度，具体如下： ，令 ，可得 ，然后再利用待定系数法进行求解 ) 6、和有关型 已知数列前项和，则用公式（注意：不能忘记讨论）. ( 【 知识注释 】 由于 和 在数列中是不同的属种，所以一般情况下，我们要对它们之间进行同类型的转化，可以利用 公式 ， 把递推关系中的 ， 也可以把 ， 这两种思维我们要学会融会贯通.可以以2019年上海高考题为例 “ 己知数列 前 项和为 ，且满足 ，则 ___________． ” ) 7、奇偶讨论型 ①形如型 （1）若（为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若为的函数（非常数）时，可通过构造转化为型（详见知识注释），通过累加来求出通项;或用降阶法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项. ( 【 知识注释 】 → → 累加法求解 ) ②形如型 （1）若(为常数)，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若为的函数（非常数）时，可通过降阶法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 例题精讲 ①累加法 【例1】若数列由，确定，求通项公式____________． 【例2】数列满足，，，则数列的通项公式____________． 【例3】已知数列中，求数列的通项公式. 【例4】数列中，，，求通项公式． 【例5】已知数列满足，；数列满足，． （1）证明：数列是等差数列． （2）求数列的通项公式． 【例6】在数列中，设． 求证：数列是等差数列，并求通项公式； 【例7】（1）已知数列的前项和，则该数列的通项公式____________. （2）已知数列的前项和，则该数列的通项公式____________. 【例8】（1）设数列前项的和为，，，求通项____________． （2）设为数列的前项和，且，，，则数列的通项公式为____________． 【例9】（1）已知数列中，，，求通项． （2）设数列满足，则____________． 【例10】（1）数列满足：，对任意有成立． 求数列的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列通项 巩固训练 1、已知数列中，，，，则数列的通项公式____________． 2、已知数列满足，，，求数列的通项公式． 3、已知在数列中，，，求通项． 4、已知数列中，，，求通项． 5、若数列中，，且，则数列的通项____________． 6、已知数列的前项和，则的通项公式为____________． 7、数列满足，则通项公式____________． 8、已知数列满足，，则等于　　 A． B． C． D． （二）数列求和 知识梳理 求数列前n项和： 1、公式法求和 ①等差数列求和公式： ②等比数列求和公式： ③ ④ ⑤ 公式法求和注意事项：（1）弄准求和项数的值； （2）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类. 2、分组求和法 分组求和有两种情况，一种是将数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可；另一种是将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新数列(容易求和). 3、裂项相消法 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，如： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，裂项后可以产生连续可以相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项． 4、倒序相加法 这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加，就可以得到个. 5、错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中分别是等差数列和等比数列. 用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 例题精讲 【例11】已知数列为等比数列，函数过定点，，，数列的前项和为，则　　 A．44 B．45 C．46 D．50 【例12】已知数列满足，求的前项和. 【例13】已知数列的通项公式为，其前项和为，求. 【例14】已知数列的通项，求其前项和 【例15】求数列的前n项和. 【例16】已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ） A．100 B．105 C．110 D．115 【例17】（1）已知数列的通项，求此数列的前项和 （2）求数列…前n项的和. 【例18】已知数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，且a2，Sn，2an+1成等差． (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)记，求数列{bn}的前n项和Tn． 巩固训练 1、朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派出7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（ ） A．234升 B．468升 C．639升 D．903升 2、数列，，，，的前项和为　　 A． B． C． D． 3、已知数列的前项和为，求数列的前项和。 4、等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为　　 A． B． C． D． 5、已知等差数列的前项和为，公差为，，，当取最小值时，的值为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 6、已知数列中，，． （1）设，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． ( 实战演练 ) 一、填空题 1、在数列中，，，则　 　 2、已知数列满足点在直线上，则数列的前项和 3、已知满足，，则数列的通项公式为　 　． 4、已知数列满足，，则数列的前10项和为_____. 5、已知数列中，，，求通项公式　 　． 6、已知数列中．，，则数列的通项公式为　 　． 二、选择题 7、数列中，，，数列满足，则数列的前项和( ). A． B． C． D． 8、已知正项数列满足，是的前项和，且，则　　 A． B． C． D． 9、已知数列的前项和，则数列的通项公式为　　 A． B． C． D． 10、已知数列满足，，则等于　　 A． B． C． D． 三、解答题 11、设数列满足. （1）求的通项公式； （2）求数列 的前项和． 12、甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在、两个喷雾器中分别配制成和的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从、两个喷雾器中分别取1千克的药水，将中取得的倒入中，中取得的倒入中，这样操作进行了次后，喷雾器中药水的浓度为，喷雾器中药水的浓度为． （1）证明：是一个常数； （2）求与的关系式； （3）求的表达式． ( 第 1 页 共 2 页 )数列的通项与求和—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$