数列的通项与求和 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

数列的通项与求和

教学目标	1、掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法，由数列递推关系式的特点，选择合适的方法； 2、掌握等差数列与等比数列前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些简单的问题
重    点	1、根据数列的递推公式求解数列通项公式 ； 2、掌握求一些特殊数列前n项和的方法：公式、分组、倒序相加、裂项、错位； 3、理解求数列通项及数列求和中蕴含的数学思想方法．
难    点	理解求数列通项及数列求和中蕴含的数学思想方法

 

 

（一）数列的通项

知识梳理

1、等差数列的通项公式：

2、等比数列的通项公式：

※3、用观察法（不完全归纳法）求数列的通项.

 

二、根据递推关系求通项

1、累加法（叠加法）

形如或，且不为常数，则求可用累加法.

①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

③若是关于的特殊分式函数，累加后可裂项求和.

 

2、累乘法（叠乘法）

形如或，且不为常数（一般情况下为分式形式），求用累乘法.

 

3、待定系数法

形如,其中) 型

（1）若时，数列为等差数列；

（2）若时，数列为等比数列；

（3）若且时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求解.见下

 

4、倒数法

形如型，取倒数变成的形式的方法叫倒数变换法.

 

5、对数变换法

形如

这种类型一般是等式两边取对数后转化为型，再利用待定系数法求解.

 

6、和有关型

已知数列前项和，则用公式（注意：不能忘记讨论）.

 

7、奇偶讨论型

①形如型

（1）若（为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若为的函数（非常数）时，可通过构造转化为型（详见知识注释），通过累加来求出通项;或用降阶法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.