等差、等比数列及其性质讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

等差、等比数列及其性质

教学目标	1、理解数列的概念； 2、了解等差等比数列的通项和求和公式并会运用； 3、了解等差等比数列前项和的思想，对于等比数列前项和问题注意分类讨论； 4、能够准确求解等差等比数列综合问题.
重    点	1、了解等差等比数列的通项和求和公式并会运用； 2、了解等差等比数列前项和的思想，对于等比数列前项和问题注意分类讨论； 3、能够准确求解等差等比数列综合问题.
难    点	能够准确求解等差等比数列综合问题.

 

知识梳理

1、数列相关概念

（1）数列定义：

在正整数集或其子集上的一个函数，当自变量从开始连续取值时，相应函数值排成的一列数，就是数列．

数列的特征：①有次序；②可重复（与集合中的元素不同）．

（2）通项公式和递推公式

通项公式：数列的第项与项数之间的关系，能用一个公式表示时这个公式叫做数列的通项

公式．

递推公式：数列中的项可用前一项或前相邻几项表示的一个公式，叫做数列的递推公式．

（3）数列分类：

有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列；

①有穷数列:项数有限.

②无穷数列：项数无限.

③递增数列:对于任何,均有.

④递减数列:对于任何,均有.

⑤摆动数列:例如:.

⑥常数数列:例如:.

（4）前项的和与通项的关系：

，这个公式在求通项公式和证明时经常用到．

【注意】

①不是每一个数列都能写出通项公式的，如的不足近似值：；

②一个数列的通项公式可以有多种形式，如，，，，可以写成，也可以写成等；

③仅给出前几项，不能确定这个数列的通项公式.如可以写成,也可以写成；

④在判断数列递增、递减时，一定要满足对任意成立；

⑤在利用求通项时，一定要注意的范围限制，而且还要注意带入检验.

2、常用数列：等差数列、等比数列

 

等差数列：

①等差中项：任意两数的等差中项是;

②通项公式法：（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（常数列也是等差数列）→若不为，则是等差数列充分条件）;

③前项和公式:→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件;

④当时，是单调递增的，当时，是单调递减的;

⑤非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能是等比数列）

 

等比数列：

①等比中项：任意两数不一定有等比中项，除非有，则等比中项一定有两个

②通项公式法：验证（为非零常数）.

③前项和公式：

④等比数列中，若，则数列是单调递增的；