等差、等比数列及其性质讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

等差、等比数列及其性质 教学目标 1、理解数列的概念； 2、了解等差等比数列的通项和求和公式并会运用； 3、了解等差等比数列前项和的思想，对于等比数列前项和问题注意分类讨论； 4、能够准确求解等差等比数列综合问题. 重 点 1、了解等差等比数列的通项和求和公式并会运用； 2、了解等差等比数列前项和的思想，对于等比数列前项和问题注意分类讨论； 3、能够准确求解等差等比数列综合问题. 难 点 能够准确求解等差等比数列综合问题. 知识梳理 1、数列相关概念 （1）数列定义： 在正整数集或其子集上的一个函数，当自变量从开始连续取值时，相应函数值排成的一列数，就是数列． 数列的特征：①有次序；②可重复（与集合中的元素不同）． （2）通项公式和递推公式 通项公式：数列的第项与项数之间的关系，能用一个公式表示时这个公式叫做数列的通项 公式． 递推公式：数列中的项可用前一项或前相邻几项表示的一个公式，叫做数列的递推公式． （3）数列分类： 有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列； ①有穷数列:项数有限. ②无穷数列：项数无限. ③递增数列:对于任何,均有. ④递减数列:对于任何,均有. ⑤摆动数列:例如:. ⑥常数数列:例如:. （4）前项的和与通项的关系： ，这个公式在求通项公式和证明时经常用到． 【注意】 ①不是每一个数列都能写出通项公式的，如的不足近似值：； ②一个数列的通项公式可以有多种形式，如，，，，可以写成，也可以写成等； ③仅给出前几项，不能确定这个数列的通项公式.如可以写成,也可以写成； ④在判断数列递增、递减时，一定要满足对任意成立； ⑤在利用求通项时，一定要注意的范围限制，而且还要注意带入检验. 2、常用数列：等差数列、等比数列 等差数列 等比数列 定义 递推公式 ； 通项公式 求和公式 中项公式 推广：2= ． 推广： 性 质 1 若则 若，则 2 若成等差数列（其中）则也为等差数列 若成等差数列 （其中），则成等比数列 3 、是公差分别为，的等差数列，则也是等差数列 、是公比分别为，的等比数列，则 也是等比数列 4 、是公差分别为，的等差数列，若它们的相同项也组成一个新的数列，则也是等差数列，公差为，的最小公倍数． 等比数列前项乘积记作，则 成等比数列． 5 成等差数列 (和不为零)成等比数列 6 ， 等差数列： ①等差中项：任意两数的等差中项是; ②通项公式法：（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（常数列也是等差数列）→若不为，则是等差数列充分条件）; ③前项和公式:→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件; ④当时，是单调递增的，当时，是单调递减的; ⑤非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能是等比数列） 等比数列： ①等比中项：任意两数不一定有等比中项，除非有，则等比中项一定有两个 ②通项公式法：验证（为非零常数）. ③前项和公式： ④等比数列中，若，则数列是单调递增的； 若，则数列是单调递减的； 若，则数列是常数列； 若，则数列是摆动数列. ⑤正数列成等比的充要条件是数列（）成等差数列.（类比思想） （一）数列的概念、等差等比数列的基本量 例题精讲 【例1】有下列5个命题： ①数列0，1，0，与数列，0，1，0是相同的数列； ②数列中不能有相等的项； ③数列2，4，6，可表示为，4，6，； ④数列1，3，，，可表示为； ⑤数列1，2，不一定是无穷递增数列． 其中正确命题的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】已知数列的前4项分别为2，0，2，0，则下列各式不可以作为数列的通项公式的一项是　　 A． B． C． D． 【例3】在数列等于　　 A． B．1 C． D．2 【例4】（1）已知等差数列的首项为3，公差为2，则_______________． （2）已知等差数列满足，则______________． （3）已知等差数列的前项和为，若，，则______________． （4）已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为______________． （5）等差数列通项公式为，公差为，则______________． 【例5】（1）若数列满足，，，则该数列的通项公式______________． （2）已知公比为的等比数列满足，则______________． （3）已知为等比数列，首项和公比均为，则前10项和为______________． （4）在等比数列中，，公比．若，则　　 A．9 B．10 C．11 D．12 （5）已知，则______________． 【例6】已知数列的首项，，…．证明：数列是等比数列； 巩固训练 1、下列四个命题： ①任何数列都有通项公式； ②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列； ③给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式； ④数列的通项公式是项数n的函数 其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、数列，2，，8，，…它的一个通项公式可以是（ ） A． B． C． D． 3、在数列中，，，，则( ) A．-4 B．-2 C．2 D．4 4、在等差数列中，已知，前7项和，则该数列的公差______________． 5、若数列满足：，，则______________． 6、各项都为正数的等比数列中，，，则通项公式______________． （二）等差、等比数列的性质 例题精讲 【例7】（1）已知等差数列，若，则______________． （2）已知是等差数列，是其前项和，，则______________． （3）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则公差为　　 A．5 B．4 C．3 D．2 （4）等差数列与的前项和分别为，和，且，则______________． （5）等差数列前项和为，，，______________． （6）等差数列中，，且，且，是其前项和，则下列判断正确的是　　 A．，，均小于0，，，，均大于0 B．，，，均小于0，，，均大于0 C．，，均小于0，，，均大于0 D．，，，均小于0，，，均大于0 【例8】（1）在等比数列中，已知，，则______________． （2）已知为正项等比数列，且，设为该数列的前项积，则　　 A．8 B．16 C．32 D．64 （3），，是、、成等比数列的　　 A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 （4）为实数构成的等比数列的前项和，则中　　 A．任一项均不为0 B．必有一项为0 C．至多有一项为0 D．或无一项为0，或无穷多项为0 （5）数列的前项和，则是数列为等比数列的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 巩固训练 1、已知数列是等差数列，且，则______________． 2、等差数列前项和为，满足，则______________． 3、在等差数列中，，，则取最大值时，______________． 4、设等差数列的前项和为，若，，，则　　 A．3 B．4 C．5 D．6 5、下列关于公差的等差数列的四个命题： ：数列是递增数列； ：数列是递增数列； ：数列是递增数列； ：数列是递增数列； 其中真命题是　　 A．， B．， C．， D．， 6、已知等差数列中，，公差，则使前项和取最大值的正整数是　　 A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．8 7、等比数列中，，，则______________． 8、已知数列是等比数列，公比为，且，，则______________． 9、等比数列满足，且，则______________． 10、设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11、已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12、已知数列的前项和，则为等比数列的充要条件是　　 A． B． C． D． （三）等差、等比数列的综合 例题精讲 【例9】（1）等差数列公差为，且满足，，成等比数列，则　　 A． B．0或 C．2 D．0或2 （2）在正项等比数列中，已知，，成等差数列，则　　 A．1 B．2 C．4 D．8 【例10】（1）已知等差数列中，，则______________． （2）已知函数在区间，上有两个不同的零点，，且方程有两个不同的实根，．若把，，， 从小到大排列恰好构成等差数列，则实数的值______________． 【例11】（1）数列满足，若，，，，则数列通项公式为______________． （2）已知等差数列的前项和为，，，三点共线，且，则__________． 【例12】已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长． （1）求今年起的前20个季度的总营业额； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？ 巩固训练 1、已知等差数列的公差为正数，等比数列的公比为，若，，，则　　 A．4 B．5 C．6 D．7 2、已知是等比数列，，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若等差数列满足，，求的前项和． 3、已知等差数列中，，则______________． 4、已知公差为的等差数列满足，且，则______________，______________，______________． 5、已知数列的，设，，，，且，则的通项公式是___________ 6、在直角坐标平面内，已知点列，，，，，，，，如果为正偶数，则向量的纵坐标（用表示）为______________． 7、为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车120辆，混合动力型公交车300辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入辆．设，分别为第年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，设，分别为年里投入的电力型公交车，混合动力型公交车的总数量． （1）求，，并求年里投入的所有新公交车的总数； （2）该市计划用8年的时间完成全部更换，求的最小值． ( 实战演练 ) 一、填空题 1、数列中，，，则的值是________________. 2、为等差数列，若，则________________. 3、已知数列的通项公式，，则________________. 4、等差数列前10项的和为10，第11项至第20项的和为，则第21项至第30项的和是_______． 5、若数列满足，则该数列的前2020项的乘积______. 6、等比数列中，，，则的值为_____________. 二、选择题 7、数列，3，，，，…，则9是这个数列的第（ ） A．12项 B．13项 C．14项 D．15项 8、已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是 ( ) A． B． C．或 D． 9、已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则的值为（ ） A． B． C． D． 10、设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（ ）． A． B．与是的最大值 C． D． 三、解答题 11、已知数列满足，，其中.设. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 12、已知数列的前n项和为，且． （1）证明：数列是等比数列； （2）若数列满足，求数列的通项公式． ( 第 1 页 共 2 页 )等差、等比数列及其性质—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$