三角函数的图像与性质 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

三角函数的图像与性质

教学目标	1、熟练掌握正弦、余弦函数的图像与性质，并能用它研究复合函数的性质； 2、能数形结合，通过图像来研究正弦函数、余弦函数的性质； 3、掌握三角函数图像的平移、伸缩变换问题； 4、掌握三角函数的最值问题；
重    点	1、三角函数的化简、单调性与最值； 2、三角函数的应用；
难    点	1、三角函数的化简、单调性与最值； 2、三角函数综合.

 

知识梳理

一、三角函数的图像与性质

函数
图像
定义域
值域
有界性			无
最小正周期
单调性	增区间： 减区间：	增区间： 减区间：	增区间：
奇偶性	奇	偶	奇
最值	时， 时，	时， 时，	无

对称轴			无
对称中心

 

二、三角函数的解析式

1．函数（其中）最大值是，最小值是，振幅是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图像的对称轴是直线，凡是该图像与直线的交点都是该图像的对称中心；

2．由的图像求其函数式：

给出图像确定解析式的题型，有时从寻找“五点”中的第一个零点作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个零点的位置；

3．函数的图像与函数的图像之间可以通过变化来相互转化；影响图像的形状，影响图像与轴交点的位置；由引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换；

既可以将三角函数的图像先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移；

 

变换方法如下：

先平移后伸缩：

的图像得的图像

得的图像得的图像

得的图像；

 

先伸缩后平移：

的图像得的图像

得的图像得的图像

得的图像；

 

 

 

 

（一）三角函数的三要素

例题精讲

【例1】求函数的定义域.

 

 

 

 

 

 

【例2】、求下列函数的值域：

（1）     （2）    （3）； 

（4）；        （5）.                   （6）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【例3】如图，摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮作匀速转动，每12分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低处，那么在分钟时，点距地面的高度　    　．

 

 

 

 

巩固训练 

1、求函数的定义域：

（1）；           （2）.

 

 

 

2、求下列函数的值域：