三角函数的图像与性质 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

三角函数的图像与性质 教学目标 1、熟练掌握正弦、余弦函数的图像与性质，并能用它研究复合函数的性质； 2、能数形结合，通过图像来研究正弦函数、余弦函数的性质； 3、掌握三角函数图像的平移、伸缩变换问题； 4、掌握三角函数的最值问题； 重 点 1、三角函数的化简、单调性与最值； 2、三角函数的应用； 难 点 1、三角函数的化简、单调性与最值； 2、三角函数综合. 知识梳理 一、三角函数的图像与性质 函数 图像 定义域 值域 有界性 无 最小正周期 单调性 增区间： 减区间： 增区间： 减区间： 增区间： 奇偶性 奇 偶 奇 最值 时， 时， 时， 时， 无 对称轴 无 对称中心 二、三角函数的解析式 1．函数（其中）最大值是，最小值是，振幅是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图像的对称轴是直线，凡是该图像与直线的交点都是该图像的对称中心； 2．由的图像求其函数式： 给出图像确定解析式的题型，有时从寻找“五点”中的第一个零点作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个零点的位置； 3．函数的图像与函数的图像之间可以通过变化来相互转化；影响图像的形状，影响图像与轴交点的位置；由引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换； 既可以将三角函数的图像先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移； 变换方法如下： 先平移后伸缩： 的图像得的图像 得的图像得的图像 得的图像； 先伸缩后平移： 的图像得的图像 得的图像得的图像 得的图像； （一）三角函数的三要素 例题精讲 【例1】求函数的定义域. 【例2】、求下列函数的值域： （1） （2） （3）； （4）； （5）. （6） 【例3】如图，摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮作匀速转动，每12分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低处，那么在分钟时，点距地面的高度　 　． 巩固训练 1、求函数的定义域： （1）； （2）. 2、求下列函数的值域： （1），； （2）； 3、函数的部分图象如图所示，则　 　． （二）三角函数的图像与性质 例题精讲 【例4】求函数的最小正周期． （1）； （2）； （3） 【例5】函数的单调递减区间为　 　． （2）函数，的单调递减区间是　 　． （3）已知函数在区间，上是单调递增函数，则正实数的取值范围是　 　． 【例6】函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是　 【例7】已知函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例8】设函数，若，且，则的取值范围是　　． 【例9】函数的定义域为，值域为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【例10】将函数向左平移个单位得函数图象；若为偶函数，那么　 　；若为奇函数，那么　 　． 【例11】函数的图象可由函数的图象至少向左平移　　个单位长度得到． 【例12】函数的对称中心坐标是　 　． 【例13】已知函数，将的图象向左平移个单位得到函数的图象，令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为　 　． 巩固训练 1、函数的最小正周期为4，则____________． 2、若函数，则是（ ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 3、已知，且，则_________ . 4、函数，的单调递减区间是　 　． 5、函数的图像的相邻两对称中心的距离是________. 6、已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数m的最小值为( ) A． B． C． D． 7、把函数的图像先向右平移个单位，得到函数的图像，再将的图像上的所有点的横坐标变成原来的，得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．是函数图像的一个对称中心 C．函数图像的一条对称轴方程为 D．函数在区间上单调递增 8、若函数在上的最大值为，最小值为，则的值（ ）． A．与有关，且与有关 B．与有关，且与无关 C．与无关，且与有关 D．与无关，且与无关 9、已知函数的图象过点. （1）求函数的解析式，并求出的最大值、最小值及对应的的值； （2）把的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，求的单调递减区间. （三）三角函数的综合 例题精讲 【例14】函数的一部分图象如图所示，其中，，. （1）求函数解析式； （2）求时，函数的值域； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递减区间. 【例15】已知函数 （1）求函数的值域与周期； （2）求当时，的单调递减区间； （3）若函数的图像关于直线对称，求的最小值； （4）若存在使成立，求实数的取值范围. 【例16】已知函数，的图象的一条对称轴是， 一个对称中心是. （1）求的解析式； （2）已知是的三个内角，且，，求. 巩固训练 1、已知函数，且的最大值为； （1）求的值，并求的单调递增区间； （2）在中，角的对边，若，且，试判断的形状； 2、已知向量，设函数的图像关于直线对称，其中为常数，且； （1）求函数的最小正周期； （2）若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围； 3、如图，一个水轮的半径为米，水轮圆心距离水面米，已知水轮每分钟转动圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间； （1）将点距离水面的高度（米）表示为时间（秒）的函数，求其解析式； （2）求点第一次到达最高点时所需要的时间； ( 实战演练 ) 一、填空题 1、函数f(x)=的最小正周期为__________________. 2、函数的图像经过函数的图像在轴右边的第一个对称点，则______. 3、若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是_______________. 4、函数的单调减区间是__________． 5、函数（，）的部分图像如下图所示，该图像与y轴相交于点，与x轴相交于点B、C，点M为最高点，且三角形MBC的面积为，则图像的一个对称中心是__________．（写出一个符合题意的即可） 6、设函数，其中.若函数在上恰有2个零点，则的取值范围是_______________. 二、选择题 7、函数的图象的一条对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 8、下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 9、设函数()的图象关于直线对称，它的最小正周期是， 则下列说法正确的个数是( ) ①的图象过点；②在上是减函数；③的最大值是A． A．0 B．1 C．2 D．3 10、将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 三、解答题 11、已知函数（其中）的图象如下图所示． （1）求，及的值； （2）若，且，求的值． 12、在中，A，B，C所对的边为a，b，c，已知，． （1）求角B； （2）已知函数，当最大值时，求． ( 第 1 页 共 11 页 )三家函数的图像与性质—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$