解斜三角形 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

解斜三角形 教学目标 1、掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，并能求解三角形未知角、未知边的值； 2、运用正弦定理,余弦定理,内角和,面积公式判断三角形形状； 3、应用正余弦定理解决应用题。 重 点 1、三角形内角和定理的灵活应用、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式； 2、正弦定理和余弦定理的应用条件、三角形角与边的灵活转换。 难 点 正余弦定理与其它知识的综合应用 知识梳理 一、三角形面积公式 （1） （2） （3） 二、正余弦定理 （1）正弦定理： （2）余弦定理：； （3）变形形式： ①； ② ③ ④ ⑤； 解决的问题类型： ①正弦定理已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ②余弦定理已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。 三、三角形中常见的结论 （1）在中是的充要条件 （2） （3） 成等差数列 （4） 成等差数列，成等比数列为等边三角形 （5） （6） 在中， （一）利用三角形面积公式、正弦定理、余弦定理求解三角形 例题精讲 【例1】在中，角，，的对边分别为，，，若，则　　 A． B． C． D．或 【例2】在中，角、、的对边分别为、、，其面积，则　 　 【例3】在中，已知边，角，面积．求： （1）边； （2）角． 【例4】在中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求和的值． 【例5】如图，在中，，，，则的面积为　　 A． B． C． D． 【例6】在中，已知，外接圆半径． （1）求角； （2）求面积的最大值． 巩固训练 1、已知周长为4，，则　 　． 2、在中，，则　 　． 3、在中，角，，所对应的边分别为，，若，则　　 A． B． C． D． 4、在中，，，且，则　 　． 5、的内角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求角； （2）若点满足，求的长． 6、已知中，，，的长为，试求： （1）内角的大小； （2）最小边的边长． （二）正余弦定理的应用 例题精讲 【例7】（1）△ABC中，若b=6，c=10，B=30°，则解此三角形的结果为（ ） A．无解 B．有一解 C．有两解 D．一解或两解 （2）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的可能取值是　 　（只需填写一个适合的答案） （3）已知中，满足 的三角形有两解，则边长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例8】在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【例9】在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则一定是　　 A．等腰三角形非直角三角形 B．直角三角形非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【例10】在中，，，，下列说法中正确的是　　 A．用、、为边长不可以作成一个三角形 B．用、、为边长一定可以作成一个锐角三角形 C．用、、为边长一定可以作成一个直角三角形 D．用、、为边长一定可以作成一个钝角三角形 巩固训练 1、在中，三条边分别为，，，若，，，则三角形的形状　　 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 2、中，若，则为　 　三角形． 3、已知，在中，三个内角、、所对的边分别是、、，分别给出下列四个条件： （1） ；（2）；（3）；（4）． 若满足条件　 　，则是等腰直角三角形．（只需填写其中一个序号） 4、在中，角，，的对边分别为，，，其中边最长，并且，则的形状为　 　． 5、我们知道，在中，若，则是直角三角形．若，则是　 　三角形．（填“锐角”、“钝角”、“直角” 6、在中，、、分别为三个内角、、的对边，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 7、在中，已知，外接圆半径． （1）求角； （2）求面积的最大值． （三）解三角形的综合运用 例题精讲 【例11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的小值． 【例12】如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，，，，． （1）求的长度； （2）若，求到海岸线的最短距离．（精确到 【例13】一缉私艇发现在北偏东方向，距离的海面上有一走私船正以的速度沿东偏南方向逃窜．缉私艇的速度为，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东的方向去追，求追击所需的时间和角的正弦值． 【例14】如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、． （1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）； （2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）． 巩固训练 1、在中，已知． （1）求周长的最大值； （2）若，求的面积． 2、在中，角所对的边分别是，且，. （1）若，求的值； （2）求的最大值 3、如图，一智能扫地机器人在处发现位于它正西方向的处和北偏东30°方向上的处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到的距离比到的距离少0.4米，于是选择沿路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务． （1）、两处垃圾的距离是多少？ （2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角的正弦值是多少？ 4、已知海岛在海岛北偏东，且与相距20海里，物体甲从海盗以2海里小时的速度沿直线向海岛移动，同时物体乙从海岛以4海里小时的速度沿直线向北偏西方向移动． （1）求经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向； （2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲乙两物体的最短距离． ( 实战演练 ) 一、填空题 1、在中，，，，则 2、如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的，两点到点的距离分别为，，且，则隧道长度为 　　． 3、钝角三角形的面积是，，，则等于______． 4、若长度为，，的三条线段可以构成一个锐角三角形，则取值范围是________． 5、设三角形的内角，，所对的边长分别是，，，且，若不是钝角三角形，则的取值范围是________． 6、在中，设角，，对应的边分别为，，，记的面积为，且，则的最大值为_______. 二、选择题 7、在三角形中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是　　 A． B． C． D． 8、在中，“”是“”的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 9、已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其三边与三角满足关系式，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 10、在一座尖塔的正南方地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔正东方地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为（ ） A． B． C． D． 三、解答题 11、在中，． （1）求角的大小； （2）求的最大值； （3）若，求面积的最大值与周长的范围． 12、如图，扇形是一块半径为2千米，圆心角为的风景区，点在弧上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道与垂直，街道与垂直，线段表示第三条街道． （1）如果位于弧的中点，求三条街道的总长度； （2）由于环境的原因，三条街道、、每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元） ( 第 1 页 共 2 页 )解斜三角形—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$