三角比与三角恒等变换 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

三角比与三角恒等变换 教学目标 1、理解象限角、轴线角有关概念，会进行弧度制与角度制的互化；掌握扇形弧长公式与面积公式； 2、掌握同角三角比的关系式； 3、熟练掌握每个象限三角比的符号； 熟练掌握诱导公式； 4、熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 5、掌握二倍角、升幂、降幂、半角、万能公式。 重 点 1、理解象限角、轴线角有关概念，会进行弧度制与角度制的互化；掌握扇形弧长公式与面积公式； 2、掌握同角三角比的关系式； 3、熟练掌握每个象限三角比的符号； 熟练掌握诱导公式； 4、熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 5、掌握二倍角、升幂、降幂、半角、万能公式。 难 点 1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2、掌握二倍角、升幂、降幂、半角、万能公式。 （一）任意角及三角比 知识梳理 1、角度制：圆周角的为1度的角，这种用度做单位来度量角的单位制叫做角度制． 弧度制：我们把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位来度量角的单位制叫做弧度．它的单位符号是，读作弧度． 角度制与弧度制的换算: （1）； （2）； （3） 【不必强记公式，只要牢牢把握的关系即可】 2、扇形弧长公式：，扇形面积公式：． 3、在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角（或说这个角属于第几象限）；角的终边落在坐标轴上时，且不属于任何象限，我们称它为轴线角． 4、终边相同的角：两个角的始边重合，终边也重合时，称这两个角为终边相同的角，与角终边相同的角的集合可记为． 注意：终边相同的角不一定相等，它们之间相差360°的整数倍．相等的角终边一定相同． 5、任意角的三角比可以用其终边上的点的坐标来定义． 设是角终边上任意一点（点不能是角的顶点），它的坐标为，则到坐标原点的距离，定义正弦，余弦，正切，余切，正割，余割． 当时，无意义；当时，无意义． 6、三角函数的符号： 7、特殊角的三角函数值表： 函数值 函数 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 不存在 1 0 不存在 0 不存在 例题精讲 【例1】手表时针走过1小时，时针转过的角度　　 A． B． C． D． 【例2】已知锐角，那么是　　 A．小于的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角 【例3】已知扇形的周长是，面积是，试求扇形的圆心角的弧度数　　 A．1 B．4 C．1或 4 D．1或 2 【例4】已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为． （1）若，，求扇形的弧长和面积； （2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【例5】（1）角的终边上一点，，则　　 A． B． C．或 D．或 （2）已知点在第二象限，角顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，则角的终边落在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （3）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则　　 A． B． C． D． 【例6】设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是 _____________. 巩固训练 1、与终边相同的角是　　 A． B． C． D． 2、下列说法正确的是　　 A．小于的角是锐角 B．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角 C．第三象限的角大于第二象限的角 D．角与角的终边相同，角与角可能不相等 3、若扇形的周长为，半径为，则其圆心角的大小为　　 A． B． C．2 D．4 4、已知扇形的周长为． （1）若这个扇形的面积为，求扇形的半径； （2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小． 5、角的终边上一点，，则　　 A． B． C．或 D．或 6、若点在角的终边上，则的值为　　 A．1 B． C． D． （二）同角三角比 知识梳理 1、同角三角比的3个关系： （1）倒数关系：；；； （2）商数关系：；； （3）平方关系：；；. 2、这些关系式还可以如图样加强形象记忆： （1） 对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系)。 （2） 任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系)。 （3） 阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系)。 注意：1）“同角”的概念与角的表达形式无关，如：，。 2）上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。 3）由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号。 例题精讲 【例7】已知， （1）求的值； （2）求的值． 【例8】已知，且，求 （1）的值； （2）的值． 【例9】若关于方程的根分别为，且，求：及的值． 【例10】已知，且． （1）化简（a）； （2）若，求的值． 巩固训练 1、（1）已知，且为第二象限角，求的值． （2）已知，计算 的值． 2、已知． （1）求的值； （2）当时，求的值． 3、已知，，若是第二象限角，求实数的值． 4、已知、是方程的两根，且、终边互相垂直．求的值． 5、已知角的终边过点， （Ⅰ）求，，的值 （Ⅱ）求的值． （三）诱导公式 知识梳理 1、诱导公式 （1） 第一组：；； ；. （2） 第二组：；；；. （3） 第三组：；；；. （4） 第四组：；；； （5） 第五组：；；；. （6） 第六组：；；；. 2、记忆技巧：奇变偶不变，符号看象限 的“奇”数倍加、减化成的三角比时，函数名称要“变”。 【正弦（切）的变为余弦（切），余弦（切）的变为正弦（切）】； 的“偶”数倍加、减化成的三角比时，函数名称“不变”． 然后按“符号看象限”的规定，前面加上一个把看成锐角时，原函数在相应象限内的符号． 这个方法可以概括为：“奇变偶不变，符号看象限”． 例题精讲 【例11】设，则　　 A．， B．， C．， D．， 【例12】已知 （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值． 【例13】（1）化简． （2）中，若，则形状是　 　． （3）若，则　 　． 【例14】已知，，为的三个内角，求证： （1）； （2）． （3）． 巩固训练 1、化简：． 2、已知，计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 3、已知： （1）化简； （2）若，为第四象限的角，求的值． 4、已知，，为的三个内角，求证：． （四）两角和差公式以及辅助角公式 知识梳理 1、两角差的余弦、正弦和正切 2、两角和的余弦、正弦和正切 3、 (其中角所在的象限由的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。 例题精讲 【例15】（1）计算的结果为　 　． （2）　 　． （3）　 　． 【例16】（1）已知，均为锐角，且，，则的值为　 　． （2）设角、是锐角，若，则　 　． 【例17】（1）若，，则　 　． （2），，且，，则　 　． （3）若锐角，，满足如，，则　 　． （4）已知，则　 　． 【例18】（1）若函数（其中，且）可化为， 则应满足条件（ ） A． B． C． D． （2）化下列各式为的形式: _____________; _____________. 巩固训练 1、　 　． 2、若，则　 　． 3、若，则等于　 　． 4、已知，，则　 　． 5、若，均为锐角，且满足，，则的值是　 　． 6、如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别交单位圆于，两点．已知，两点的横坐标分别是，． （1）求和的值； （2）求的值． （五）二倍角公式及半角公式 知识梳理 一、二倍角公式：；；； （1）升幂公式： （2）降幂公式： 二、半角公式：， 三、万能公式： 例题精讲 【例19】（1）已知，则　 　． （2）设为钝角，且，则　 　． （3）若，则　 　． （4）化简：的结果为__________ 【例20】（1）若，那么　 　． （2）已知，则= . 【例21】已知，，求： （1）的值；（2）求的值． 巩固训练 1、化简下列各式： （1）______________. （2）_______________. （3）______________. （4）_______________. 2、 求值：（1）； （2）． 3、化简：。 4、（1）若，且，则　 　． （2）若，且，则等于　　 A． B． C． D． ( 实战演练 ) 一、填空题 1、若扇形的面积是，它的周长是，则扇形圆心角的弧度数为________. 2、若，则　 　． 3、，，且，，则　 　． 4、已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为　 　． 5、如果是方程的两根,则____________. 6、若，则，，的大小顺序为　　． 二、选择题 7、在平面直角坐标系中，若角的顶点在原点，始边在轴的正半轴，终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是　　 A． B． C． D． 8、已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 9、已知终边与单位圆的交点，则的值等于（ ） A． B． C．3 D． 10、已知圆与直线相切于点，点，同时从点出发，沿着直线向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当运动到点时，点也停止运动，连接，（如图），则阴影部分面积，的大小关系是　　 A． B． C． D．先，再，最后 三、解答题 11、已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 12、在平面直角坐标系中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点于，两点． （1）已知点，将绕原点顺时针旋转到，求点的坐标； （2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； （3）若，两点的纵坐标分别为正数，，且，求的最大值． ( 第 1 页 共 2 页 )三角比、三角恒等变换 —学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$