三角比与三角恒等变换 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

三角比与三角恒等变换

教学目标	1、理解象限角、轴线角有关概念，会进行弧度制与角度制的互化；掌握扇形弧长公式与面积公式； 2、掌握同角三角比的关系式； 3、熟练掌握每个象限三角比的符号； 熟练掌握诱导公式； 4、熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 5、掌握二倍角、升幂、降幂、半角、万能公式。
重    点	1、理解象限角、轴线角有关概念，会进行弧度制与角度制的互化；掌握扇形弧长公式与面积公式； 2、掌握同角三角比的关系式； 3、熟练掌握每个象限三角比的符号； 熟练掌握诱导公式； 4、熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 5、掌握二倍角、升幂、降幂、半角、万能公式。
难    点	1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2、掌握二倍角、升幂、降幂、半角、万能公式。

 

 

 

（一）任意角及三角比

知识梳理

1、角度制：圆周角的为1度的角，这种用度做单位来度量角的单位制叫做角度制．

   弧度制：我们把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位来度量角的单位制叫做弧度．它的单位符号是，读作弧度．

    角度制与弧度制的换算:   

（1）； （2）；  （3）

【不必强记公式，只要牢牢把握的关系即可】

2、扇形弧长公式：，扇形面积公式：．

3、在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角（或说这个角属于第几象限）；角的终边落在坐标轴上时，且不属于任何象限，我们称它为轴线角．

4、终边相同的角：两个角的始边重合，终边也重合时，称这两个角为终边相同的角，与角终边相同的角的集合可记为．

注意：终边相同的角不一定相等，它们之间相差360°的整数倍．相等的角终边一定相同．

5、任意角的三角比可以用其终边上的点的坐标来定义．

设是角终边上任意一点（点不能是角的顶点），它的坐标为，则到坐标原点的距离，定义正弦，余弦，正切，余切，正割，余割．

当时，无意义；当时，无意义．

6、三角函数的符号：

                 

7、特殊角的三角函数值表：

函数值 函数	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
	0
	0				1	0		0
	1				0		0	1
	0		1		不存在	0	不存在	0
	不存在		1		0	不存在	0	不存在

 

例题精讲

【例1】手表时针走过1小时，时针转过的角度　　

A． B． C． D．

 

 

 

 

【例2】已知锐角，那么是　　

A．小于的正角 B．第一象限角 

C．第二象限角 D．第一或二象限角

 

 

【例3】已知扇形的周长是，面积是，试求扇形的圆心角的弧度数　　

A．1 B．4 C．1或 4 D．1或  2

 

 

 

【例4】已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为．

（1）若，，求扇形的弧长和面积；

（2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

 

 

 

 

 

 

 

【例5】（1）角的终边上一点，，则　　

A． B． C．或 D．或

 

 

（2）已知点在第二象限，角顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，则角的终边落在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

 

 

（3）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则　　

A． B． C． D．