反函数 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）
反函数
教学目标 | 1、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数 |
重 点 | 理解函数与其反函数的图像和性质关系，能熟练求解已知函数的反函数 |
难 点 | 抽象函数反函数的应用 |
（一）反函数概念与反函数存在性问题
知识梳理
1、反函数的概念：
一般地，对于函数
，设它的定义域是D，值域是A。如果对A中的任意一个值
，在D中总有唯一确定的
值与它对应，且满足。这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作
。
习惯上，自变量常用表示，而函数常用表示，所以把它改写为 
。
2、说明：
①并非所有函数都有反函数，只有
一一对应的函数才有反函数。如
就没有反函数。
②如果函数有反函数
，那么函数的反函数就是。这就是说，函数与函数互为反函数。
③函数的定义域是它的反函数的值域；函数的值域是它的反函数的定义域。
④求反函数时一定要写定义域。
例题精讲
【例1】判断下列函数是否存在反函数：
① 
； ② 
； ③ 
．
【例2】若
，则
的定义域是
A．
B．
C．
D．
【例3】(1) 函数
在区间
上存在反函数的条件是_______________.
(2) 若函数
为正实数）在
上不存在反函数，则实数
的取值范围为 ．
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(3) 若函数
存在反函数，则
的取值范围为______________.
(4) 已知函数
，其定义域为
， 如果函数
在其定义域内有反函数，求实数
的取值范围．
巩固训练
1、若函数
存在反函数,则方程
(
为常数)( )
A．有且只有一个实根 B．至少有一个实根 C．至多有一个实根 D．没有实数根
2、设
是奇函数，若函数
图象与函数
图象关于直线
对称，则的值域为( )
A．
B．
C．
,
,
D．
3、若函数
，
，
没有反函数，则的取值范围是
4、函数
（
，
）在区间
上存在反函数，则实数
的取值范围是____
5、已知函数
，若将函数图像绕原点逆时针旋转
角（
）后得到的函数
存在反函数，则的取值集合是_________
6、已知、b、都是实数，若函数
的反函数的定义域是
，则的所有取值构成的集合是________
（二）求函数的反函数问题
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知识梳理
3、总结：求函数反函数的步骤：
（1）将函数看作为关于变量的方程，解出；
（2）对调与，得到；
（3）确定出反函数的定义域（注意：反函数的定义域是原函数的值域）。
例题精讲
【例4】求下列函数的反函数：
（1）
，
； （2）
（
） （3）
【例5】（1）已知函数与
互为反函数，又
与
的图像关于直线
对称，若
，则
________．
（2）已知
，则
______；
______.
【例6】已知函数
的图像与它的反函数的图像重合，则实数
________.
巩固训练
1、函数
的反函数是______________．
2、函数
的反函数是 ．
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（2）记
为函数
的反函数．若关于
的方程
在
上有解，求的取值范围；
（3）若
对于
恒成立，求的取值范围．
巩固训练
1、若函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，且
，则实数等于
A．
B．1 C．2 D．4
2、已知
，其反函数为
，若
有实数根，则的取值范围为 ．
3、设
.
（1）求
的反函数
；
（2）讨论在
上的单调性，并加以证明；
（3）令
，当
时，在
上的值域是
，求的取值范围.
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