反函数 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

反函数 教学目标 1、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数 2、掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系 重 点 理解函数与其反函数的图像和性质关系，能熟练求解已知函数的反函数 难 点 抽象函数反函数的应用 （一）反函数概念与反函数存在性问题 知识梳理 1、反函数的概念： 一般地，对于函数，设它的定义域是D，值域是A。如果对A中的任意一个值，在D中总有唯一确定的值与它对应，且满足。这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作。 习惯上，自变量常用表示，而函数常用表示，所以把它改写为 。 2、说明： ①并非所有函数都有反函数，只有一一对应的函数才有反函数。如就没有反函数。 ②如果函数有反函数，那么函数的反函数就是。这就是说，函数与函数互为反函数。 ③函数的定义域是它的反函数的值域；函数的值域是它的反函数的定义域。 ④求反函数时一定要写定义域。 例题精讲 【例1】判断下列函数是否存在反函数： ① ； ② ； ③ ． 【例2】若，则的定义域是　　 A． B． C． D． 【例3】(1) 函数在区间上存在反函数的条件是_______________. (2) 若函数为正实数）在上不存在反函数，则实数的取值范围为　 　． (3) 若函数存在反函数，则的取值范围为______________. (4) 已知函数，其定义域为， 如果函数在其定义域内有反函数，求实数的取值范围． 巩固训练 1、若函数存在反函数,则方程(为常数)( ) A．有且只有一个实根 B．至少有一个实根 C．至多有一个实根 D．没有实数根 2、设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为( ) A． B． C．,, D． 3、若函数，，没有反函数，则的取值范围是　　 4、函数（，）在区间上存在反函数，则实数的取值范围是____ 5、已知函数，若将函数图像绕原点逆时针旋转角（）后得到的函数 存在反函数，则的取值集合是_________ 6、已知、b、都是实数，若函数的反函数的定义域是，则的所有取值构成的集合是________ （二）求函数的反函数问题 知识梳理 3、总结：求函数反函数的步骤： （1）将函数看作为关于变量的方程，解出； （2）对调与，得到； （3）确定出反函数的定义域（注意：反函数的定义域是原函数的值域）。 例题精讲 【例4】求下列函数的反函数： （1），； （2）（） （3） 【例5】（1）已知函数与互为反函数，又与的图像关于直线对称，若，则________． （2）已知，则______；______. 【例6】已知函数的图像与它的反函数的图像重合，则实数________. 巩固训练 1、函数的反函数是______________． 2、函数的反函数是　　 ． 3、已知函数，是的反函数，若（m，），则的值为______. 4、已知，则____________． 5、已知存在反函数，则的反函数为________； 6、关于函数的反函数，正确的是　　 A．有反函数 B．有反函数 C．有反函数 D．无反函数 7、已知函数，是以2为周期的偶函数，且当时，有，则函数，的反函数是　　 ． 8、我们规定：当，为常数且时，一次函数与互为反函数．例如：的反函数为．当一次函数与它的反函数图象重合时，则的值为　　 ． （三）反函数的性质应用 知识梳理 4、互为反函数的两个函数图像间的关系： （1）函数的图像与其反函数的图像关于直线对称； （2）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数与函数是互为反函数。 5、原函数与反函数的性质关系： ①函数图像关系： 原函数和反函数图像关于对称； ②点关系： 若在图像上，则必在图像上； ③单调性关系： 函数的定义域是D，值域是A，反函数为。 若是D上的增函数，则是A上的增函数。 ④奇偶性关系： 若原函数是奇函数，则其反函数也是奇函数。 思考：偶函数是否存在反函数？说明理由。 注意：一般情况下，偶函数是不存在反函数的。但对于定义域仅为集合这样的偶函数是存在反函数的。 如是偶函数，它的反函数是。 ⑤值域与定义域的转化： 反函数的即为原函数的，所以：若，求，可利用，从中求出，即是：； 例题精讲 【例7】函数的反函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【例8】(1) 已知，则（1）的值等于　 　． (2) 已知函数的反函数是，则（2）　　 ． (3) 已知函数与互为反函数，若函数的图象过点，则（4）　 　． (4)设,的图像与的图像关于直线对称，则 . 【例9】(1) 若函数的图象过点，则的图象经过点　 　． (2) 已知函数的反函数图象的对称中心是，则实数的值是　　 A．2 B．3 C． D． 【例10】（1）若函数与互为反函数，则的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． （2）设为的反函数，则 的最大值为______． （3）已知函数为上的单调函数，是它的反函数，点和点均在函数的图像上，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【例11】已知函数的反函数是，在定义域上是奇函数，则正实数________． 【例12】已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ） A．4040 B． C．2020 D．1 巩固训练 1、在同一平面直角坐标系中，函数，（其中且）的图像只可能是（ ） A． B． C． D． 2、若函数的图象位于第一、二象限，则它的反函数的图象位于　　 A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限 3、已知函数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4、函数，的反函数记为，则　　 ． 5、定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为　　 ． 6、设函数的反函数为,若,则实数________. 7、若点（1，2）既在y=上，又在其反函数的图像上，求的值 8、已知函数存在反函数，若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点　 　． 9、设函数且，若其反函数的零点为2，则　 　． 10、已知定义域为的奇函数有反函数，那么必在函数图像上的点是（ ）. A． B． C． D． 11、设为，，的反函数，则的最大值为　 　． 12、已知函数且的反函数为，若在，上的最大值和最小值互为相反数，则的值为　 　 13、已知函数且满足，若是的反函数，则关于的不等式的解集是________ 14、给出下列命题： （1）若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数； （2）函数在区间上存在反函数的充要条件是在区间上是单调函数； （3）函数在定义域上的反函数为，则对于任意的都有成立； 其中正确的命题为（ ） A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 15、定义在实数集上函数的反函数为.若函数的反函数是，则是（ ） A．是奇函数，不是偶函数 B．是偶函数，不是奇函数 C．既是奇函数数，又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 16、设，分别是关于的方程和的根，则　 　． （四）反函数与其他知识综合 例题精讲 【例13】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的反函数是　　 A． B． C． D． 【例14】已知函数，，，与其反函数有交点，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D．与的大小关系不确定 【例15】已知函数． （1）求证：函数在内单调递增； （2）记为函数的反函数．若关于的方程在上有解，求的取值范围； （3）若对于恒成立，求的取值范围． 巩固训练 1、若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且，则实数等于　　 A． B．1 C．2 D．4 2、已知，其反函数为，若有实数根，则的取值范围为　　 ． 3、设. （1）求的反函数； （2）讨论在上的单调性，并加以证明； （3）令，当时，在上的值域是，求的取值范围. ( 实战演练 ) 一、填空题 1、设函数的反函数为，则（3）　 　． 2、已知函数，则　 　． 3、函数的反函数为　 　． 4、若函数存在反函数，且函数图像过，则函数的图像一定过________． 5、已知函数，，的反函数为，则的值域是　 　． 6、已知的反函数为，当，时，函数的最大值为，最小值为，则　 　． 二、选择题 7、若函数存在反函数，则函数和　　 A．不能关于原点对称 B．单调性不可能相反 C．不可能同时是奇函数 D．如果图象存在交点，则交点一定在直线 8、已知函数的反函数图象的对称中心是，则实数的值是　　 A．2 B．3 C． D． 9、若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且，则实数等于　　 A． B． C．2 D．4 10、已知函数为上的单调函数，是它的反函数，点和点均在函数的图象上，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 三、解答题 11、已知函数为常数），是函数图象上的点． （1）求实数的值及函数的解析式； （2）将按向量平移，得到函数的图象，若不等式有解，试求实数的取值范围． 12、已知函数，且． (1) 求定义域； (2) 若函数的反函数是其本身，求a的值； (3) 求函数的值域． ( 第 1 页 共 2 页 )反函数—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$