指对方程及其应用讲义——2025届上海市高三数学一轮复习

指对方程及其应用 教学目标 1、理解指数方程的概念，掌握简单的指数方程和解法 2、理解对数方程的意义，掌握简单的对数方程和解法 重 点 指数方程和对数方程的解法 难 点 复杂的指对方程的解题思想 （一）指对方程及其应用 知识梳理 1、基本概念： （1）指数方程：在指数中含有未知数的方程叫指数方程. （2）对数方程：对数的真数或底数中(或对数符号后面)含有未知数的方程叫对数方程. 2、解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元. 3、方程类型及解法 （1）求解形如，，，的方程； 方法：利用指数函数、对数函数的性质，以及两边取对数的方法，把它们转化为解一个可用初等方法来解的代数方程. 具体如下：①其解为； ②，转化为代数方程求解； ③，转化为代数方程求解； ④,其解为； ⑤，转化为求解； （2）求解形如，的方程； 方法：通过换元，令或把它转化为一个可用初等方法解决的简单代数方程，然后再解一个最简单的指数方程或对数方程. ( 【知识补充】 在解对数方程时，常要应用对数的运算性质进行恒等变形，通过恒等变形有时会造成增根或失根，对此，应注意，一是在变形过程中，注意变形后得到的方程是否与原方程同解，特别要注意变形过程中所应用的对数运算性质，是否满足性质中的条件；二是要注意把求得的结果进行检验. ) （3）求解形如或的方程，在初等数学中只能用图像法，即画出函数或的图像以及直线，从函数图像与这一直线有无交点来说明原方程是否有解. 例题精讲 【例1】(1) 方程的解　 　． (2) 方程的解为 (3) 若，则　 　． 【例2】解下列指数方程： （1）；（2）；（3） 【例3】方程的解为　　 ． 【例4】(1) 方程的解为　 　． (2) 解下列方程： ①方程的解为　 　． ②方程的解为　 　． ③方程的解为　 　． 【例5】解方程：. 【例6】方程的解是__________。 【例7】解下列关于的方程： （1）； （2）； （3）． 【例8】(1) 方程的解是__________。 (2) 方程的解集为_________。 【例9】(1) 方程的解是________。 (2) 若，求的值； (3) 若满足方程，则 【例10】(1) 解方程：. (2) 解方程： (3) 解方程：； 【例11】试确定方程的实根的个数． 巩固训练 1、，则　 　． 2、方程的解是　　 ． 3、已知，则______。 4、方程的解是__________。 5、已知实数满足，则__________。 6、解方程：。 7、已知，则__________。 8、方程的解　 　． 9、方程的解为　 　． 10、解方程：. 11、定义在上的偶函数，当时，，则在上的零点个数为___________个。 12、设方程的根为，方程的根为，则________。 13、设函数 （1）解关于的方程； （2）令，求的值。 （二）含参指对方程 例题精讲 【例12】(1) 关于的方程有解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． (2) 已知关于的方程的解在区间内，则的取值范围是　　 ． 【例13】(1) 已知关于的方程有一个根为2，求实数的值和方程其余的根． (2) 若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【例14】甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，；乙写错了常数，得两根，64．求这个方程的真正根． 【例15】时，恒成立，则的取值范围是_________________________。 【例16】已知函数()是偶函数. (1)求的值； (2)若函数的图象与直线没有交点,求实数的取值范围； (3)设,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围。 巩固训练 1、关于的方程在区间上有解，求的取值范围. 2、已知函数。 （1）当时，求函数的零点； （2）若有零点，求的取值范围。 3、已知关于的方程有实根，其中仅有一个较小的根在区间内，求的取值范围。 4、若关于的方程的所有解都大于1，求实数的取值范围. 5、关于的方程的两根分别为，，则的值为　 ． 6、设、是方程的两个实根，则　　 ． 7、已知函数 （1）若，求的值； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围。 8、已知，函数. （1）当时，解不等式； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围； （3）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围。 ( 实战演练 ) 一、填空题 1、若，则实数的值是　 　． 2、方程的解是　 　． 3、方程的解________。 4、已知，则　　 ． 5、已知常数，函数的图象经过点、，若，则　 　 6、已知方程和的根分别是和，则函数的单调递增区间是　　 ． 二、选择题 7、若且，将指数式转化为对数式为　　 A． B． C． D． 8、若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且，则实数等于　　 A． B． C．2 D．4 9、模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为　　 A．60 B．63 C．66 D．69 10、已知函数，若对于任意的、，、，，以、、为长度的线段都可以围成三角形，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 三、解答题 11、解下列方程： （1）； （2）； （3）。 12、设函数，。 （1）求其反函数； （2）解方程． ( 第 1 页 共 2 页 )指对方程及其应用—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$