指对方程及其应用讲义——2025届上海市高三数学一轮复习

指对方程及其应用

教学目标	1、理解指数方程的概念，掌握简单的指数方程和解法 2、理解对数方程的意义，掌握简单的对数方程和解法
重    点	指数方程和对数方程的解法
难    点	复杂的指对方程的解题思想

 

 

 

（一）指对方程及其应用

知识梳理

1、基本概念：

（1）指数方程：在指数中含有未知数的方程叫指数方程.

（2）对数方程：对数的真数或底数中(或对数符号后面)含有未知数的方程叫对数方程.

 

2、解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元.

 

3、方程类型及解法

（1）求解形如，，，的方程；

方法：利用指数函数、对数函数的性质，以及两边取对数的方法，把它们转化为解一个可用初等方法来解的代数方程.

具体如下：①其解为；

②，转化为代数方程求解；

③，转化为代数方程求解；

④,其解为；

⑤，转化为求解；

（2）求解形如，的方程；

方法：通过换元，令或把它转化为一个可用初等方法解决的简单代数方程，然后再解一个最简单的指数方程或对数方程.

 

 

 

 

 

（3）求解形如或的方程，在初等数学中只能用图像法，即画出函数或的图像以及直线，从函数图像与这一直线有无交点来说明原方程是否有解.

 

例题精讲

【例1】(1) 方程的解　     　．

(2) 方程的解为

 

 

(3) 若，则　     　．

 

 

 

【例2】解下列指数方程：

（1）；（2）；（3）

 

 

 

 

 

【例3】方程的解为　　          ．

 

 

 

 

【例4】(1) 方程的解为　    　．

 

 

 

(2) 解下列方程：

①方程的解为　     　．

②方程的解为　     　．

③方程的解为　     　．

 

 

 

 

 

【例5】解方程：.

 

 

 

【例6】方程的解是__________。

 

 

 

【例7】解下列关于的方程：

（1）； （2）；  （3）．

 

 

 

 

 

 

【例8】(1) 方程的解是__________。

 

 

(2) 方程的解集为_________。

 

 

 

【例9】(1) 方程的解是________。

 

 

(2) 若，求的值；

 

 

(3) 若满足方程，则

 

 

 

 

【例10】(1) 解方程：.

 

 

 

(2) 解方程：

 

 

 

(3) 解方程：；

 

 

【例11】试确定方程的实根的个数．

 

 

 

 

 

巩固训练 

1、，则　     　．

 

 

2、方程的解是　　     ．