常用函数（二次函数、分式函数、幂函数）讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

常用函数（二次函数、分式函数、幂函数）

教学目标	1、熟练掌握二次函数的基本性质和图像；能熟练求解二次方程根的分布问题； 2、掌握三个“二次”的基本关系，能利用这些关系解决相关问题； 3、掌握分式函数的类型、基本性质和图像； 4、能描绘常见幂函数的图像，掌握幂函数的基本性质； 5、能学会用函数思想、数形结合思想、方程思想、等价转化的思想分析、解决问题；
重    点	常用函数的图像和基本性质
难    点	含参函数的综合问题

 

 

 

（一）二次函数

知识梳理

二次函数的图象及性质：

（1）当时，函数图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大；当时，函数取最小值；

（2）当时，函数图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；当时，函数取最大值.

2、二次函数在闭区间上的最值：

设，求在上的最大值与最小值.

当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在闭区间上的最值：

（1）当时，的最小值是的最大值是.

（2）当时，的最小值是的最大值是.

（3）若，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是.

（4）若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是.

当时，可类比得结论.

3、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：

设.

①函数的图像与轴无交点方程无实根不等式的解为一切实数不等式的无解；

②函数的图像与x轴相切方程有两个相等的实根不等式的解为；

③函数的图像与x轴有两个不同的交点方程有两个不等的实根：不等式的解为或不等式的解为.

4、一元二次方程根的分布：设的两根为、.

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讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②端点的函数值的符号；③对称轴与取值范围的相对位置.

 

例题精讲

【例1】已知函数在，上是单调函数，则的取值范围是　　

A．， B．， 

C．，， D．

 

 

【例2】已知函数在闭区间，上有最大值5，最小值1，则得取值分为是　　

A．， B．， C．， D．，

 

 

【例3】已知，若在区间，上的最大值，最小值，设．

（1）求（a）的解析式；

（2）判断（a）单调性，求（a）的最小值．