常用函数（二次函数、分式函数、幂函数）讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

常用函数（二次函数、分式函数、幂函数） 教学目标 1、熟练掌握二次函数的基本性质和图像；能熟练求解二次方程根的分布问题； 2、掌握三个“二次”的基本关系，能利用这些关系解决相关问题； 3、掌握分式函数的类型、基本性质和图像； 4、能描绘常见幂函数的图像，掌握幂函数的基本性质； 5、能学会用函数思想、数形结合思想、方程思想、等价转化的思想分析、解决问题； 重 点 常用函数的图像和基本性质 难 点 含参函数的综合问题 （一）二次函数 知识梳理 二次函数的图象及性质： （1）当时，函数图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大；当时，函数取最小值； （2）当时，函数图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；当时，函数取最大值. 2、二次函数在闭区间上的最值： 设，求在上的最大值与最小值. 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在闭区间上的最值： （1）当时，的最小值是的最大值是. （2）当时，的最小值是的最大值是. （3）若，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是. （4）若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是. 当时，可类比得结论. 3、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系： 设. ①函数的图像与轴无交点方程无实根不等式的解为一切实数不等式的无解； ②函数的图像与x轴相切方程有两个相等的实根不等式的解为； ③函数的图像与x轴有两个不同的交点方程有两个不等的实根：不等式的解为或不等式的解为. 4、一元二次方程根的分布：设的两根为、. 1） 2） 3） 4） 5） 6） 7） 8） 9） 10） 讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②端点的函数值的符号；③对称轴与取值范围的相对位置. 例题精讲 【例1】已知函数在，上是单调函数，则的取值范围是　　 A．， B．， C．，， D． 【例2】已知函数在闭区间，上有最大值5，最小值1，则得取值分为是　　 A．， B．， C．， D．， 【例3】已知，若在区间，上的最大值，最小值，设． （1）求（a）的解析式； （2）判断（a）单调性，求（a）的最小值． 【例4】已知函数，当时，，当，，时，． （1）求在，内的值域； （2）为何值时，的解集为？ 【例5】已知二次函数，，，设方程的两个实数根为和． （1）如果，设二次函数的对称轴为，求证：； （2）如果，，求的取值范围． 【例6】某辆汽车以千米小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，且。 （1）若汽车以120千米小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求的取值范围； （2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值。 巩固训练 1、设二次函数，若，则的值为　　 A．正数 B．负数 C．非负数 D．正数、负数和零都有可能 2、设函数的定义域为，若所有点，，构成一个正方形区域，则的值为　　 A． B． C． D．不能确定 3、已知函数在区间上的最小值是最大值是，求，的值. 4、已知函数. （1）当为何值时，函数与轴两个交点间的距离为4？ （2）当为何值时，函数与轴两个交点在点两旁？ （3）当为何值时，函数与轴两个交点在区间内？ 5、已知函数,．给出下列命题: ①必是偶函数； ②时, 的图像必关于直线对称； ③若,则在区间上是增函数； ④有最大值． 其中, 正确命题的序号是____________________． 6、已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)对于给定的正数，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式恒成立. 求出的解析式； (3)函数在的最大值为，最小值是，求实数和的值. （二）分式函数 知识梳理 分式函数： 1、分式函数的图像与性质. （1）定义域： ；（2）值域：； （3）单调性：当时，递减区间为和，无递增区间； 当时，递增区间为和，无递减区间； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线和，对称中心为点； （5）奇偶性：当时为奇函数； （6）图象：如下图所示 2、分式函数（“耐克函数”）的图像与性质： （1）定义域：； （2）值域：； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在区间上是增函数， 在区间上为减函数； （5）渐近线：以轴和直线为渐近线； （6）图象：如右图所示. 3、分式函数的图像如下： （1） (2) (3) (4) 的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究. 例题精讲 【例7】（1）函数的值域为 _______________。 （2）函数的最小值为 _______________。 【例8】已知函数，其中. （1）当函数的图象关于点成中心对称时，求的值及不等式的解集； （2）若函数在上单调递减，求的取值范围. 【例9】函数的定义域为（为实数）. （1）当时，求函数的值域； （2）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围. 【例10】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求的值及的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 巩固训练 1、求函数的值域. 2、如果不等式（为常数）对中的任何的值恒成立，求的取值范围. 3、已知函数为实数． （1）当时，判断函数在上的单调性，并加以证明； （2）根据实数的不同取值，讨论函数的最小值． 4、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第次投入后，每只产品的固定成本为（为常数，且），若产品销售价保持不变，第次投入后的年利润为万元． （1）求的值，并求出的表达式； （2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? （三）幂函数 知识梳理 幂函数： （1）定义：形如的函数叫做幂函数. （2）图像： A、幂函数的图象： B、幂函数（，为最简分式）的图像： （3） 幂函数的性质 A、几个常用幂函数的性质： 定义域 R R R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 奇 偶 非奇非偶 在第Ⅰ象限的增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递减 在第Ⅰ象限单调递减 在第Ⅰ象限单调递减 B、幂函数的性质： 当时，幂函数有下列性质： （1）图象都通过点； （2）在第一象限内都是增函数； （3）在第一象限内，时，图象是向上的竖直抛物线；时，图象是横卧抛物线型. 当时，幂函数有下列性质： （1）图象都通过点； （2）在第一象限内都是减函数，图象是双曲线型. 注：无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限.越大，幂函数上升或下降的越快. 例题精讲 【例11】若幂函数的图象经过点，则的定义域为_______________。 【例12】下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ） ① ② ③ ④ A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【例13】已知幂函数的图像与、轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的草图。 【例14】已知幂函数在区间上是单调增函数，且为偶函数． （1）求函数的解析式； （2）设函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【例15】若，则的取值范围是　 　． 巩固训练 1、下列命题中正确的是（ ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过 两点 C．幂函数的图象不可能出现在第三象限 D．图象不经过点的幂函数，一定不是偶函数 2、关于幂函数及其图象，有下列四个命题： ①其图象一定不通过第四象限； ②当时，其图象关于直线对称； ③当时，函数是增函数； ④的图象与的图象至少有两个交点 其中正确的命题个数是　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3、已知幂函数，当时为减函数，则幂函数． 4、已知函数，则的解集是　 　. 5、已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递减. （1）求函数的解析式； （2）讨论的奇偶性。（直接给出结论，不需证明） ( 实战演练 ) 一、填空题 1、已知函数在区间，上是严格减函数，则实数的取值范围是　 　． 2、设，，已知幂函数为偶函数，且在上递减，则的所有可能取值为　　 ． 3、已知函数的最小值为，则实数　　 ． 4、的值域为，则的取值范围是　　 ． 5、如图，给出幂函数在第一象限内的图象，取，四个值，则相应于曲线，，，的依次为　　 ． 6、幂函数，当取不同的正数时，在区间，上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有．那么　 　． 二、选择题 7、函数在区间上（ ）. A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 8、下列关于幂函数的判断中正确的是　　 A．不存在非奇非偶的幂函数 B．两个幂函数的图象至多有两个交点 C．至少存在两个幂函数，它的反函数是其自身 D．如果幂函数有增区间，那么这个幂函数的指数是正数 9、下列命题中： ①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当时，幂函数的图象是一条直线； ④当时，幂函数是增函数； ⑤当时，幂函数在第一象限内的函数值随的值增大而减小．其中正确的是 （ ） A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤ 10、10、已知，若在，上恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 三、解答题 11、已知函数为幂函数，且为奇函数； （1）求的值； （2）求函数在的值域． 12、设幂函数的图象过点，． （1）求，的值； （2）若函数在，上的最大值为2，求实数的值． ( 第 1 页 共 2 页 )常用函数（二次函数、分式函数、幂函数）—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$