函数的奇偶性和单调性 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）
函数的奇偶性和单调性
教学目标 | 1、掌握奇偶性的判断方法及奇偶性的性质与应用； 2、掌握函数单调性的定义证明法； 3、掌握函数周期性的应用； |
重 点 | 1、会运用函数的奇偶性求有关函数的值和解析式； 2、会运用函数的奇偶性研究函数的其他性质. 3、会利用定义法证明函数单调性； 4、会利用单调性的定义去求解含参问题. |
难 点 | 1、会运用函数的奇偶性求有关函数的值和解析式； 2、会运用函数的奇偶性研究函数的其他性质. 3、会利用定义法证明函数单调性； 4、会利用单调性的定义去求解含参问题. |
（一）函数的奇偶性
知识梳理
1、偶函数：对于函数
的 定义域 
内的任意实数
，都有 
；
2、奇函数：对于函数的 定义域 内的任意实数，都有 
；
3、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要非充分条件，；
4、偶函数的图像关于
轴对称对称，奇函数的图像关于 坐标原点 对称；
5、分段函数的奇偶性一定要 分段 证明.
6、判断函数的奇偶性的方法：
（1）定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断
或
是否定义域上的恒等式；
（2）图象法；
（3）性质法：①设
，
的定义域分别是
，那么在它们的公共定义域
上：奇
奇
奇，偶偶偶，奇
奇偶，偶偶偶，奇偶奇；
②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；
（4）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：
，
函数的奇偶性和单调性—学生版
学科网（北京）股份有限公司
例题精讲
【例1】判断下列函数的奇偶性
（1）
； （2）
；
（3）
； （4） 
；
（5）
； （6）
【例2】（1）已知
是偶函数，且其定义域为
，则
= ，
= ．
（2）已知函数
为奇函数，则实数
．
（3）若函数
（
为实常数）在其定义域上是奇函数，则的值为__________．
【例3】（1）函数
，若
,则
的值为 （ ）
A.3 B.0 C.-1 D.-2
（2）已知函数
是偶函数，且
（2）
，则
．
（3）若
是奇函数，
在
上有最大值5，则
在
上（ ）
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
【例4】设
是定义在
上的函数，当
时，
，
当为奇函数时，函数的解析式是 ；
当为偶函数时，函数的解析式是 .
函数的奇偶性和单调性—学生版
学科网（北京）股份有限公司
【例5】已已知函数f（x）和g（x）的定义域都是R，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数．
（1）判断F（x）＝[f（x）]2﹣g（x）的奇偶性；
（2）如果f（x）+g（x）＝2x+x，求函数f（x）和g（x）的解析式．
【例6】设
（
为实常数）．
（1）当
时，证明：
不是奇函数；
（2）设是奇函数，求
与的值；
巩固训练
1、判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
（3）
2、已知函数
是定义在区间
，
上的奇函数，当
，时，图象如图，则不等式
的解为 ．
3、已知
是定义在
，
上的偶函数，那么
的值是 ．
函数的奇偶性和单调性—学生版
学科网（北京）股份有限公司