函数的奇偶性和单调性 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

函数的奇偶性和单调性 教学目标 1、掌握奇偶性的判断方法及奇偶性的性质与应用； 2、掌握函数单调性的定义证明法； 3、掌握函数周期性的应用； 重 点 1、会运用函数的奇偶性求有关函数的值和解析式； 2、会运用函数的奇偶性研究函数的其他性质. 3、会利用定义法证明函数单调性； 4、会利用单调性的定义去求解含参问题. 难 点 1、会运用函数的奇偶性求有关函数的值和解析式； 2、会运用函数的奇偶性研究函数的其他性质. 3、会利用定义法证明函数单调性； 4、会利用单调性的定义去求解含参问题. （一）函数的奇偶性 知识梳理 1、偶函数：对于函数的 定义域 内的任意实数，都有 ； 2、奇函数：对于函数的 定义域 内的任意实数，都有 ； 3、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要非充分条件，； 4、偶函数的图像关于轴对称对称，奇函数的图像关于 坐标原点 对称； 5、分段函数的奇偶性一定要 分段 证明. ( 【问题反思】 问题一: 当奇函数 在 处有定义时， 的值等于多少？为什么？ 答： . 证明 ： . 问题二： 若 既是奇函数又是偶函数，则 的解析式是什么？为什么？ 答： ，定义域关于原点对称. 证明 ： ，又 ，故 问题三： 奇偶性的等价形式有哪些？ 答： ； ) 6、判断函数的奇偶性的方法： （1）定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断或是否定义域上的恒等式； （2）图象法； （3）性质法：①设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇； ②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数； （4）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ， 例题精讲 【例1】判断下列函数的奇偶性 （1）； （2）； （3） ； （4） ； （5）； （6） 【例2】（1）已知是偶函数，且其定义域为，则= ，= ． （2）已知函数为奇函数，则实数　 　． （3）若函数（为实常数）在其定义域上是奇函数，则的值为__________． 【例3】（1）函数，若,则的值为 （ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2 （2）已知函数是偶函数，且（2），则　 　． （3）若是奇函数，在上有最大值5，则在上（ ） A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3 【例4】设是定义在上的函数，当时，， 当为奇函数时，函数的解析式是 ； 当为偶函数时，函数的解析式是 . 【例5】已已知函数f（x）和g（x）的定义域都是R，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数． （1）判断F（x）＝[f（x）]2﹣g（x）的奇偶性； （2）如果f（x）+g（x）＝2x+x，求函数f（x）和g（x）的解析式． 【例6】设（为实常数）． （1）当时，证明：不是奇函数； （2）设是奇函数，求与的值； 巩固训练 1、 判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） 2、已知函数是定义在区间，上的奇函数，当，时，图象如图，则不等式的解为　 　． 3、已知是定义在，上的偶函数，那么的值是　　 ． 4、函数为奇函数，则　　 ． 5、已知函数.讨论函数的奇偶性，并说明理由； 6、已知是定义在上的奇函数，则（1）　 　． 7、已知是奇函数，且，若，则 ． 8、已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且＝ 9、如果函数是奇函数，则 ． 10、已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时， . 11、已知是二次函数，且为奇函数，当时，得最小值为1，求的表达式. （二）函数的单调性 知识梳理 1．函数的单调性的定义 对于给定区间上的函数，如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值、，只要有，都有，那么就说在这个区间上是增函数； 对于给定区间上的函数，如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值、，只要有，都有，那么就说在这个区间上是减函数． 2．函数的单调区间 如果函数在某个区间上是增（减）函数，那么就说函数在这个区间上是单调函数，区间叫做函数的单调区间． 【注】多个单调区间用“和”连接 3．用定义证明（判断）函数在指定区间上的单调性 证明（判断）函数在指定区间上的单调性的一般步骤是： ① 设元：设，且．目的是使在区间内，并规定与的大小顺序． ② 作差：．目的是将与0比较大小． ③ 变形：将变形至可以与0比较大小为止．常用因式分解或配方进行变形． ④ 判号：确定 三种情况之一． ⑤ 定论：根据①和④作出结论． 【注】判断函数单调性的常用方法：（1）复合函数法；（2）图像法；（3）定义法． 4．单调性的常见等价命题形式 （1）对于任意的，都有，表示单调递增； 对于任意的，都有，表示单调递减； （2）【斜率形式】对于任意的，都有，表示单调递增； 对于任意的，都有，表示单调递减． 5．复合函数的单调性 遵循“同增异减”的规律，同时特别注意：讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此，要研究函数的单调性，必须先求函数的定义域． 设且当时，，则复合函数的单调性与内、外层函数的单调性关系为下表所示． 函数 单调区间 单调性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 6．在研究形如的函数的单调性时，需分两种情况讨论：（1）当，在和上是增函数；（2）当时，在和上是减函数，在和上是增函数． 7．关于分段函数的单调性： 若函数，在区间上是增函数，在区间上是增函数，则在区间上不一定是增函数，若使得在区间上一定是增函数，需补充条件：． 例题精讲 【例7】判断函数在区间上的单调性，并用定义证明． 【例8】（1）函数的单调递减区间是 . （2）函数的单调递增区间是 . （3）设是上的减函数，则的单调递减区间为 . 【例9】根据函数的单调性填空： （1）函数在上递减，则的取值范围是 . （2）若函数是减函数，则实数的取值范围是　　 ． （3）若函数在上为增函数，则实数a的取值范围是 . （4）若函数上是减函数，则实数的取值范围是 . （5）已知函数在区间，上单调递减，则的取值范围是　　 ． （6）若函数在上是单调递增函数，则的取值范围是 . 【例10】（1）已知是上的增函数，是其图像上的两点，则不等式 的解集为__________ （2）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 巩固训练 1、下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A B C D 2、已知函数为定义在上的函数，则“对于任意，恒有”是“在上是增函数”的__________________条件. 3、若函数单调递增，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C． D． 4、已知在定义域上是减函数，且，求的取值范围. 5、已知函数. 用定义证明：当时，函数在上是增函数； 6、已知函数，若在区间是增函数，则实数的取值范围是 . （三）函数奇偶性、单调性的综合 知识梳理 奇偶性与单调性的联系： 1、若是具有奇偶性的单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的． 2、若是奇函数且有最值，则 “最大值+最小值=0.” 例题精讲 【例11】（1）奇函数在定义域上是减函数，又，求实数的取值范围． （2）偶函数满足，对任意，有，则（ ） A. B. C. D. 【例12】已知函数,设,则是 （　　） A．奇函数,在上单调递减 B．奇函数,在上单调递增 C．偶函数,在上递减,在上递增 D．偶函数,在上递增,在上递减 【例13】已知函数为奇函数． （1）求实数的值，并证明的单调性； （2）若实数满足不等式，求的取值范围． 巩固训练 1、（1）已知奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集为 ． （2）已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则（ ） 2、已知函数，，则满足不等式的实数的取值范围是 ． 3、已知函数为奇函数． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）判定函数在定义域内的单调性，并用定义证明； （Ⅲ）设，，，求实数的取值范围． ( 实战演练 ) 一、填空题 1、已知为奇函数，为常数）且，则　 　． 2、设（其中为常数，），若，则　 　． 3、函数的单调减区间为　 　． 4、函数的单调递增区间是　 　． 5、已知函数在区间，上不单调，则实数的取值范围是 　 　． 6、点、分别是函数、图象上的点，若、关于原点对称，则称、是一对“关联点”．已知，，则函数、图象上的“关联点”有　 　对． 二、选择题 7、已知是定义在，上的偶函数，那么的值是　　 A． B． C． D． 8、已知一个奇函数的定义域为，2，，，则　　 A． B．1 C．0 D．2 9、已知函数，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 10、已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 三、解答题 11、已知函数． （1）讨论的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在，上为增函数，求的取值范围． 12、已知奇函数，． （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性并进行证明； （3）若函数满足，求实数的取值范围． ( 第 1 页 共 2 页 )函数的奇偶性和单调性—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$