方程、不等式中恒成立问题和有解性问题讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

方程、不等式中恒成立问题和有解性问题 教学目标 1、掌握不等式的恒成立、能成立、恰成立的问题. 2、掌握不等式恒成立的的各种变形. 3、掌握方程中恒成立和存在性问题 重 点 不等式恒成立问题 难 点 恒成立与存在性问题综合 (一)不等式中恒成立问题和存在性问题 知识梳理 在不等式的综合题中,经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题和存在性问题. 不等式恒成立、存在性问题的常规处理方式:常应用函数方程思想和分离变量法转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法. 方程恒成立、存在性问题处理方法和不等式差不多,区别在于方程是转化为自变量函数的值域问题 一、不等式中基本类型: 类型一:一次函数类型(或者是单调性函数)—用一次函数的性质(注意主副元的转化) 对于一次函数有: 类型二:二次函数类型—用二次函数的图像 设, (1)上恒成立; (2)上恒成立. (3)上有解; (4)上有解 类型三:其他函数恒成立和存在性问题 单变量处理方法:(1)利用函数最值 第一步:确定自变量和参量 第二步:参变分离(有些不能分离,进行第三步或第四步) 第三步:转化成自变量函数的最值 (2)数形结合 多变量处理方法:(转化成单变量问题) (1)多变量能分离开: 1)对于任意的,都有 2)对于任意的,使得 3)对于存在,使得 (2)多变量不能分开 1)把多变量看作成整体(如把等看成一个变量) 2)把其中一个看作是自变量另外的看成常量,先去一个变量 例题精讲 【例1】已知,,对于值域内的所有实数,不等式恒成立,求的范围. 【例2】若关于的不等式在区间内恒成立,则实数的范围 . 【例3】若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是 . 【例4】(1)已知是递增数列,对于任意的正整数均有恒成立,则实数的取值范围是 A., B. C. D. (2)若不等式对任意正整数恒成立,则实数的取值范围是 A. B., C. D., (3)不等式对于任意正整数恒成立,则实数的取值范围是 . 【例5】(1)已知函数时恒成立,求实数的取值范围。 (2)若不等式在内恒成立,求实数的取值范围. 【例6】已知函数,若对此任意,都有恒成立,则实数的取值范围为 . 【例7】已知定义在上的奇函数满足,且当时,;若对于任意,都有,则实数的取值范围是_ 【例8】(1)已知二次函数,对于满足且的任意实数与,总有成立,则实数的取值范围为 . (2)已知为常数),,且当时,总有,则实数的取值范围是 . (3)若不等式对满足的任意实数、恒成立,则实数的最大值为 . (4)已知函数,若对于任意的,恒有,则实数的取值范围是_. (5)已知对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为_. 【例9】(1)若存在正数使成立,则的取值范围是 A. B. C. D. (2)已知,,若同时满足条件: ①对于任意,或成立; ②存在,使得成立。 则的取值范围是 . 【例10】已知函数.若对于任意的正整数,在区间上存在个实数使得成立,则的最大值为_. 巩固训练 1、已知等比数列的首项为2,公比为,其前项和记为,若对任意的,均有恒成立,则的最小值为( ) A. B. C. D. 2、如果以一切正实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. ; D. 3、(1)若存在使得,则实数的取值范围是 . (2)若存在,使得成立,则的取值范围是 . (3)已知不等式在实数集上的解集不是空集,求实数的取值范围 . (4)若存在,,使得成立,则实数的取值范围是 . 4、设定义在上的两个函数、,其值域依次是和,有下列4个命题: ①“”是“对任意恒成立”的充要条件; ②“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件; ③“”是“对任意恒成立”的充要条件; ④“”是“对任意恒成立”的充分不必要条件. 其中正确的命题是 (请写出所有正确命题的序号). 5、(1)不等式有多种解法,其中有一种方法如下,在同一直角坐标系中作出和的图像然后进行求解,请类比求解以下问题: 设,若对任意,都有,则_. (2)已知:当时,不等式恒成立,当且仅当时取等号,则 . (3)若函数是定义在上的奇函数,当 时,若对任意的,,则实数的取值范围是_. 6、数列与满足,,是数列的前项和(). (1)设数列是首项和公比都为的等比数列,且数列也是等比数列,求的值; (2)设,若且对恒成立,求的取值范围; (3)设,,(,),若存在整数,,且,使得成立,求的所有可能值. (二)方程中恒成立问题和存在性问题 知识梳理 方程中基本类型: 单变量处理方法:(1)利用函数值域 第一步:确定自变量和参量 第二步:参变分离(有些不能分离,进行第三步或第四步) 第三步:转化成自变量函数的值域(当要求存在几个解问题时一般采用数形结合) (2)数形结合 多变量处理方法:(转化成单变量问题) (1)多变量能分离开: 1)对于任意的,都有 2)对于任意的,使得 3)对于存在,使得 (2)多变量不能分开 1)把多变量看作成整体(如把等看成一个变量) 2)把其中一个看作是自变量另外的看成常量,先去一个变量 例题精讲 【例11】(1)对于函数,,,如果存在实数,使得,那么称为,的生成函数. 若,,,是否为,的生成函数?说明理由; (2)当在变化时求直线的恒过点为_. (3)当实数、满足时,的取值与、均无关,则实数的取值范围是 (4)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值; 【例12】(1)如果关于的方程有实数根,那么实数的取值范围是 . (2)设为常数,若存在,使得,则实数的取值范围是 . (3)关于的方程(,且)有解,则的取值范围是 . 【例13】已知函数,,,成立,则实数的取值范围是 . 【例14】(1)已知数列满足:①;②对任意的,都有成立.函数,满足:对于任意的实数,总有两个不同的根,则的通项公式是 (2)已知函数,关于的方程有7个不同实数根,则实数、满足的关系式是 【例15】已知,有下列两个结论:① 存在在第一象限,在第三象限;② 存在在第二象限,在第四象限;则( ) A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 巩固训练 1、已知函数是偶函数,若方程在区间上有解,则实数的取值范围是_. 2、已知函数的值域,函数, 使得成立,则实数的取值范围是 . 3、若曲线与恰有两个不同交点,则实数取值范围为( ) A. B. C. D. 4、已知(,),与轴交点为,若对于图象上任意一点,在其图象上总存在另一点(、Q异于),满足,且,则 ( 实战演练 ) 一. 填空题 1. 已知集合,, 全集,则图中阴影部分表示的集合为 2. 设实数、满足,则的最大值为 3. 已知,若,,则实数的取值范围为 4. 设,则的值为 5. 若不等式对恒成立,则实数的取值范围是 6. 已知,,,则的最小值是 7. 已知函数在上是的减函数,则实数的取值范围是 8. 已知关于的方程无解,有两个解,只有一个解,则化简的结果是 9. 已知定义在上且周期为4的函数满足是偶函数,且当时, ,则 10. 现有下列四个结论中,其中正确结论是 (请填写序号) ① 幂函数()的图像与函数的图像至少有两个交点; ② 函数()(为常数)的图像可由函数的图像经过平移得到; ③ 函数()是偶函数; ④ 函数无最大值,也无最小值; 11. 已知集合,设,若方程()至少 有三组不同的解,写出的所有可能取值为 12. 已知函数是定义域为的偶函数,当时, ,若关于的方程,, 有且仅有8个不同实数根,则实数的取值范围是 二. 选择题 13. 已知为实数,则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 集合,当时,集合的真子集的个数是( ) A. 15 B. 14 C. 7 D. 6 15. 已知函数,则关于的不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 16. 设集合,,, ,其中,下列说法正确的是( ) A. 对任意,是的子集,对任意,不是的子集 B. 对任意,是的子集,存在,使得是的子集 C. 存在,不是的子集,对任意,不是的子集 D. 存在,不是的子集,存在,使得是的子集 三. 解答题 17. 如图,四面体中,,,是的中点,是的中点. (1)求证:平面; (2)求异面直线与所成角的大小. 18. 设全集为,集合,. (1)求; (2)若,求的取值范围. 19. 松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中,通车后将给市民出行带来便利,已知某条线路通车后,电车的发车时间间隔(单位:分钟)满足,经市场调研测算,电车载客量与发车时间间隔相关,当时电车为满载状态,载客量为400人,当时,载客量会减少,减少的人数与的平方成正比,且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人,记电车载客量为. (1)求的表达式,并求当发车时间间隔为6分钟时,电车的载客量; (2)若该线路每分钟的净收益为(元),问当发车时间间隔为多 少时,该线路每分钟的净收益最大? 20. 设函数(),且对任意恒成立. (1)求的值; (2)求函数在上的最值; (3)设实数且,证明:. 21. 已知,函数. (1)当时,解不等式; (2)若关于的方程的解集中恰有一个元素,求的取 值范围; (3)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不 超过1,求的取值范围. ( 第 1 页 共 2 页 )方程、不等式中恒成立问题和有解性问题—学生版 学科网(北京)股份有限公司 $$