导数的概念和运算讲义-2025届高三数学一轮复习

第16讲 导数的概念和运算 【教学目标】 1．通过基础训练题，梳理本专题相关的基础知识和基本方法，理解导数的概念及其意义，熟悉基本函数的导数公式. 2．在典型例题的解决过程中，会利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数和简单复合函数的导数. 3. 能从特殊到一般地抽象出函数在某点处导数的定义，能运用导数的概念分析现实问题，体会极限思想，提升数学抽象素养． 【教学重点】 导数的概念和几何意义 【教学难点】 利用导数公式和四则运算求复合函数的导数 【知识梳理】 1. 导数的概念： 已知函数，对于自变量某个给定值，赋予一个变化量h，分析当h趋近于0时，函数值的变化量相对于自变量变化量h的比值是否趋近于某个稳定值． 如果这个稳定值存在，就说明在h趋近于0时有极限，并把这个极限值记作，称为函数在处的导数，记作，即有 ． 一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的 ，而就是函数在处的 ． 2. 导数的意义： （1）物理意义：在满足函数关系的运动中，函数在处的导数就是时刻的瞬时速度；在满足函数关系的运动中，函数在处的导数就是时刻的瞬时加速度. （2）几何意义：对于曲线，函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率. 3. 函数的切线方程： 函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值． 求函数的切线方程： （1）求函数在点处的切线方程的具体步骤： ①先求导函数； ②将切点的横坐标代入导函数，得切线斜率； ③最后利用点斜式写出切线方程. （2）求过点与函数相切的切线方程，其中，具体步骤： ①先求导函数； ②设切点，将横坐标代入导函数，得切线斜率； ③最后利用点斜式写出切线方程； ④将点P代入切线方程，解出的值（有几个值，就有几条切线）. （3） 务必先考虑：①切线的斜率存在与否；②题目提供的点在函数图像上还是不在函数图像上. 4. 驻点： 我们将导数为零的点(即)称为函数的驻点. 曲线在其驻点处的切线是水平直线. 例如是函数的驻点。 5. 导数的运算： 基本初等函数的导数公式： 原函数 导函数 f(x)＝C f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈R) f′(x)＝n·xn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 6. 导数的四则运算： 【注】简单复合函数y＝f(g(x))的导数求导法则：即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。 【教学过程】 例1 下列说法正确的是 (　A　) A.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关． B.导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同． C.直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． D.函数f(x)＝0没有导函数． 例2 某质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系满足，其中，则该质点在这段时间内的平均速度为__________，在时的瞬时速度为__________． 【解析】 本题需要根据位移与时间的函数关系式，求质点在第1至2秒内的平均速度和时的瞬时速度．该质点在第1至2秒内的平均速度等于该段时间内的位移除以运动时间；质点在时的瞬时速度等于函数在时的导数．故平均速度； 对函数求导，得，再将代入，得，所以质点在时的瞬时速度为． 练习 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻_______（单位：s）． 【答案】 【解析】 【分析】可求出导函数，根据即可求解． 【详解】由题可得：， 可得，又， 可得． 故答案为：． 例3 已知函数，则的值为 . 【答案】由，得 练习 （1） 1 . （2）设，则 【详解】因为，所以， 则. 例4 （1）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为 （2）已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且f(x)＝f′(1)x2＋2f(1)x－4. (1)求f(x)的解析式； (2)求经过点(0，－6)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程． 【答案】（1）f(x)＝2x2＋4x－4.(2)与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝－6或y＝8x－6. 练习 （1）曲线过点的切线方程是 . （2）过且与曲线相切的切线方程为 例5 已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则 . 练习☆已知为上的奇函数，且当时，，则的驻点为 . 例6 （1）下列结论正确的个数为（　C　） ①若y＝ln2，则；②若，则；③若，则； ④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】①：由，得，故①错误；②：由，得，所以，故②正确；③：由，得，故③错误；④：由，得，故④正确； 故选：C （2）已知函数，则的导数 . 练习 （1）函数的导数是 . （2）已知函数，满足，若，则 3 . 【课后练习】 1. 函数在区间上的平均变化率等于（ C ） A． B． C． D． 2. 若，则______. 3. 若函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2f′(1)ln x＋2x，则f′(1)＝(　C　) A．0 B．-1 C．-2 D．2 4. 下列求导运算错误的是（　C　） A．（3x）′＝3xln3 B．（）′＝ C．（x+）′＝1+ D．（sinx•cosx）′＝cos2x 5. 已知，则__________． 6. 已知，则曲线在点处的切线方程是__． 7. 设曲线的某一条切线的斜率为3，则的方程为__． 8. 若曲线y＝aex＋xln x在点处的切线方程为y＝2x＋b，则(　D　) A．a＝2e，b＝－1 B．a＝2e，b＝1 C．a＝，b＝1 D．a＝，b＝－1 9. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为_________． 【解析】直线的斜率为，所以曲线在点处的切线的斜率为.，，所以，所以=. 10. 过点作抛物线的切线，求此切线的方程. 【答案】或 11. 如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为． （1）当时，求实数的值； （2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由； 【答案】（1）由题设，函数定义域为，且，由 ，则； （2） 当时，，则， 即的斜率，假设存在，则的斜率， 该方程化简为，解得或，符合要求， 因此该函数存在另外一条与垂直的切线； 【拓展提升】 1． 已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数. 那么（ D ） A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题 2． 已知抛物线，动点自原点出发，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为. 过作轴的垂线交抛物线于点，再过作轴的垂线交轴于点，当运动至(0， 100)时，点的瞬时速度的大小为 3． 已知函数，若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】 4． 已知函数，，的导函数是，，，求的值. 【答案】当时，有； 令，则，设，， 则，的图象均关于点对称，作出函数，的大致图象如图所示. 由图可知，函数，在上的图象共有8个交点，综上，. 5． （2023年上海市数学竞赛）在平面直角坐标系中，曲线有两条互相平行的切线，若这两条切线的斜率均为1，且两条切线之间的距离为8，则实数的值为___5__． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 导数的概念和运算 【教学目标】 1．通过基础训练题，梳理本专题相关的基础知识和基本方法，理解导数的概念及其意义，熟悉基本函数的导数公式. 2．在典型例题的解决过程中，会利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数和简单复合函数的导数. 3. 能从特殊到一般地抽象出函数在某点处导数的定义，能运用导数的概念分析现实问题，体会极限思想，提升数学抽象素养． 【教学重点】 导数的概念和几何意义 【教学难点】 利用导数公式和四则运算求复合函数的导数 【知识梳理】 1. 导数的概念： 已知函数，对于自变量某个给定值，赋予一个变化量h，分析当h趋近于0时，函数值的变化量相对于自变量变化量h的比值是否趋近于某个稳定值． 如果这个稳定值存在，就说明在h趋近于0时有极限，并把这个极限值记作，称为函数在处的导数，记作，即有 ． 一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的 ，而就是函数在处的 ． 2. 导数的意义： （1）物理意义：在满足函数关系的运动中，函数在处的导数就是时刻的瞬时速度；在满足函数关系的运动中，函数在处的导数就是时刻的瞬时加速度. （2）几何意义：对于曲线，函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率. 3. 函数的切线方程： 函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值． 求函数的切线方程： （1）求函数在点处的切线方程的具体步骤： ①先求导函数； ②将切点的横坐标代入导函数，得切线斜率； ③最后利用点斜式写出切线方程. （2）求过点与函数相切的切线方程，其中，具体步骤： ①先求导函数； ②设切点，将横坐标代入导函数，得切线斜率； ③最后利用点斜式写出切线方程； ④将点P代入切线方程，解出的值（有几个值，就有几条切线）. （3） 务必先考虑：①切线的斜率存在与否；②题目提供的点在函数图像上还是不在函数图像上. 4. 驻点： 我们将导数为零的点(即)称为函数的驻点. 曲线在其驻点处的切线是水平直线. 例如是函数的驻点。 5. 导数的运算： 基本初等函数的导数公式： 原函数 导函数 f(x)＝C f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈R) f′(x)＝n·xn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 6. 导数的四则运算： 【注】简单复合函数y＝f(g(x))的导数求导法则：即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。 【教学过程】 例1 下列说法正确的是 (　 　) A.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关． B.导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同． C.直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． D.函数f(x)＝0没有导函数． 例2 某质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系满足，其中，则该质点在这段时间内的平均速度为 ，在时的瞬时速度为 ． 练习 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻 （单位：s）． 例3 已知函数，则的值为 . 练习 （1） . （2）设，则 例4 （1）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为 （2）已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且f(x)＝f′(1)x2＋2f(1)x－4. (1)求f(x)的解析式； (2)求经过点(0，－6)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程． 练习 （1）曲线过点的切线方程是 . （2）过且与曲线相切的切线方程为 . 例5 已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则 . 练习☆已知为上的奇函数，且当时，，则的驻点为 . 例6 （1）下列结论正确的个数为（　 　） ①若y＝ln2，则；②若，则；③若，则； ④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 （2）已知函数，则的导数 . 练习 （1）函数的导数是 . （2）已知函数，满足，若，则 . 【课后练习】 1. 函数在区间上的平均变化率等于（ ） A． B． C． D． 2. 若，则______. 3. 若函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2f′(1)ln x＋2x，则f′(1)＝(　 　) A．0 B．-1 C．-2 D．2 4. 下列求导运算错误的是（　 　） A．（3x）′＝3xln3 B．（）′＝ C．（x+）′＝1+ D．（sinx•cosx）′＝cos2x 5. 已知，则 ． 6. 已知，则曲线在点处的切线方程是 ． 7. 设曲线的某一条切线的斜率为3，则的方程为 ． 8. 若曲线y＝aex＋xln x在点处的切线方程为y＝2x＋b，则(　 　) A．a＝2e，b＝－1 B．a＝2e，b＝1 C．a＝，b＝1 D．a＝，b＝－1 9. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为 ． 10. 过点作抛物线的切线，求此切线的方程. 11. 如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为． （1）当时，求实数的值； （2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由； 【拓展提升】 1． 已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数. 那么（ ） A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题 2． 已知抛物线，动点自原点出发，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为. 过作轴的垂线交抛物线于点，再过作轴的垂线交轴于点，当运动至(0， 100)时，点的瞬时速度的大小为 ． 3． 已知函数，若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是 ． 4． 已知函数，，的导函数是，，，求的值. 5． （2023年上海市数学竞赛）在平面直角坐标系中，曲线有两条互相平行的切线，若这两条切线的斜率均为1，且两条切线之间的距离为8，则实数的值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$