函数的概念、定义域与值域 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

函数的概念、定义域与值域

教学目标	1、掌握函数的概念，能根据定义判断函数是否是同一函数； 2、熟练掌握求函数定义域、值域和解析式的方法
重    点	1、函数的值域的求解； 2、抽象函数定义域、值域的求法；
难    点	抽象函数定义域、值域的求法

 

 

 

（一）函数的概念

知识梳理

1、函数的定义：设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数.记作：.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.

2、函数的三要素分别指函数的  定义域  、  值域  、  对应法则  ；

当两个函数的   定义域   、 对应法则   分别相同时，那么这两个函数是同一函数.

3、函数的表示方法一般有  解析法  、  列表法  、 图像法  ；

当图像满足和 的图像最多只有一个交点时 才可作为函数图像.

4、分段函数：

在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系.

5、函数的运算：

对于两个函数，，设

把函数叫做函数与的和函数

把函数叫做函数与的积函数

6、复合函数：

对于两个函数，，若满足的的取值范围为，设，把函数叫做函数，的复合函数，是复合函数的自变量，定义域为，叫做内函数，叫做外函数.

 

例题精讲

【例1】中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数” 年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，1，2，，，2，4，，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是　　

A．①③ B．①② C．③④ D．②④

 

 

【例2】2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会将在国家会展中心（上海）举办，很多外国车企都积极参与会展．下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图象的是　　

A． B． C． D．

 

 

【例3】下列各组函数中，表示同一函数的是　　

A．与 

B．与 

C．与 

D．与

 

 

【例4】（1）已知函数那么的值为         ．

 

（2）函数对于任意实数满足条件，若则__  ___  _____；

 

 

【例5】解析式为，值域为，的函数有　　个．

A．4 B．6 C．8 D．9

 

巩固训练 

1、下列可以表示以为定义域，以为值域的函数图象是（     ）

A． B．

C． D．

 

 

2、已知函数f（x）的定义域为[–1，5]，在同一坐标系下，函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数为（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或者2个

 

3、若，则___________.

 

4、以下一定是关于的函数的是（    ）

A． B．

C． D．

 

 

（二）函数的定义域

知识梳理

函数定义域的求法

求定义域时注意：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次根式的被开方数非负；

（3）对数的真数大于零；

（4）零次幂的底数不为零.