函数的概念、定义域与值域 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

函数的概念、定义域与值域 教学目标 1、掌握函数的概念，能根据定义判断函数是否是同一函数； 2、熟练掌握求函数定义域、值域和解析式的方法 重 点 1、函数的值域的求解； 2、抽象函数定义域、值域的求法； 难 点 抽象函数定义域、值域的求法 （一）函数的概念 知识梳理 1、函数的定义：设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数.记作：.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 2、函数的三要素分别指函数的 定义域 、 值域 、 对应法则 ； 当两个函数的 定义域 、 对应法则 分别相同时，那么这两个函数是同一函数. 3、函数的表示方法一般有 解析法 、 列表法 、 图像法 ； 当图像满足和 的图像最多只有一个交点时 才可作为函数图像. 4、分段函数： 在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系. 5、函数的运算： 对于两个函数，，设 把函数叫做函数与的和函数 把函数叫做函数与的积函数 6、复合函数： 对于两个函数，，若满足的的取值范围为，设，把函数叫做函数，的复合函数，是复合函数的自变量，定义域为，叫做内函数，叫做外函数. 例题精讲 【例1】中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数” 年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，1，2，，，2，4，，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是　　 A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【例2】2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会将在国家会展中心（上海）举办，很多外国车企都积极参与会展．下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图象的是　　 A． B． C． D． 【例3】下列各组函数中，表示同一函数的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【例4】（1）已知函数那么的值为 ． （2）函数对于任意实数满足条件，若则__ ___ _____； 【例5】解析式为，值域为，的函数有　　个． A．4 B．6 C．8 D．9 巩固训练 1、下列可以表示以为定义域，以为值域的函数图象是（ ） A． B． C． D． 2、已知函数f（x）的定义域为[–1，5]，在同一坐标系下，函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或者2个 3、若，则___________. 4、以下一定是关于的函数的是（ ） A． B． C． D． （二）函数的定义域 知识梳理 函数定义域的求法 求定义域时注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次根式的被开方数非负； （3）对数的真数大于零； （4）零次幂的底数不为零. 例题精讲 【例6】求下述函数的定义域： （1） ；（2）； （3）；（4） 【例7】（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【例8】（1）已知函数的定义域为，则实数的取值范围为___________。 （2）若函数的定义域为，则实数的取值范围是　 ____ 　． 巩固训练 1、求下列函数的定义域： （1）； （2）. （3）. 2、已知的定义域为，求的定义域。 3、已知函数在上有意义，求实数的取值范围。 （三）函数的解析式 知识梳理 求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知求或已知求：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等. 例题精讲 【例9】（1）已知，求； （2）已知，求； （3）已知是一次函数，且满足，求； （4）已知满足，求. （5）任意恒成立，且，求. 巩固训练 1、一次函数g(x)满足g[g(x)]=9x+8，则g(x)的解析式是_______________. 2、已知一次函数满足，则＝________________. 3、设函数f(x)=2x2，函数g(x)=，则f(x)∙g(x)=_______________. （四）函数的值域 知识梳理 求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，其类型依解析式的特点分可分三类： (1)求常见函数值域； (2)求由常见函数复合而成的函数的值域； (3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域. 以下为总结的常用函数值域的求解方法： （1）直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数的定义域为，值域为； 反比例函数的定义域为，值域为； 二次函数的定义域为， 当时，值域为{}； 当时，值域为{}. （2）配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式； （3）分式转化法（或改为“分离常数法”） （4）换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； （5）三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； （6）基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域； （7）单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域 （8）数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 （9）根的判别式法： （10）逆求法（反函数法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如： 例题精讲 【例10】求下列函数的值域： （1），； （2）； （3）； （4） ； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； 【例11】（1）函数的值域为　 ． （2）函数的值域为　 　． （3）函数的值域为 （4）设为，的反函数，则的最大值为 ； （5）已知，则的值域为 【例12】求函数的值域． 【例13】（1）已知函数在区间上的最大值为，则的值为______________． （2）已知函数，正实数m，n满足，且，若在区间上的最大值为2，则 ． （3）设 若是的最小值，则的取值范围为 （ ） (A) . (B) . (C) . (D) . （4）平面直角坐标系中，设定点，是函数图像上一动点，若点之间最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 【例14】已知函数 （1）求的值域； （2）设函数，，，对于任意，，总存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【例15】已知函数的定义域和值域都是，，则实数的取值范围是　 　． 巩固训练 1、求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）． 2、已知函数的值域为，，求实数、的值． 3、已知函数的值域是，求实数的取值范围. 4、已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是_____________。 5、已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是_____________。 ( 实战演练 ) 一、填空题 1、若函数满足,则的解析式是___________。 2、已知，则___________。 3、已知函数的定义域是，求的定义域。 4、函数的定义域_____________. 5、求函数的值域______________． 6、若函数，则的值域为_____________. 二、选择题 7、在下列图象中，函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 8、下列选项中，y可表示为x的函数的是（ ） A． B． C． D． 9、已知定义在R上的函数满足，，则（ ） A． B．1 C． D． 10、函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 三、解答题 11、已知函数. (1)求，的值； (2)求证是定值； (3)求的值. 12、如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，梯形面积为. （1）当，时，求梯形的周长(精确到)； （2）记，求面积以为自变量的函数解析式，并写出其定义域. ( 第 1 页 共 2 页 )函数的概念、定义域与值域—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$