不等式、方程中恒成立与有解性问题 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

不等式、方程中恒成立问题与有解性问题 教学目标 1、掌握不等式的恒成立、能成立、恰成立的问题. 2、掌握不等式恒成立的的各种变形. 3、掌握方程中恒成立和存在性问题. 重 点 1、掌握各种不同不等式恒成立问题中解答策略 2、参变分离是解答不等式恒成立问题的最常规思想方法 3、能将题目中隐性的恒成立存在问题转化为熟知解答恒成立题型 难 点 1、针对不同题型能选取恰当解答方法 2、能将题目中隐性的恒成立存在问题转化为熟知解答恒成立题型 （一）不等式中恒成立问题 知识梳理 不等式中恒成立问题和存在性问题解决方法和题型差不多，知识梳理放在一起讲解 在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题和存在性问题. 不等式恒成立、存在性问题的常规处理方式：常应用函数方程思想和分离变量法转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法. 方程恒成立、存在性问题处理方法和不等式差不多，区别在于方程是转化为自变量函数的值域问题 一、不等式中基本类型： 类型一：一次函数类型（或者是单调性函数）—用一次函数的性质（注意主副元的转化） 对于一次函数有： 类型二：二次函数类型—用二次函数的图像 设， （1）上恒成立； （2）上恒成立. （3）上有解； （4）上有解 类型三：其他函数恒成立和存在性问题 单变量处理方法：（1）利用函数最值 第一步：确定自变量和参量 第二步：参变分离（有些不能分离，进行第三步或第四步） 第三步：转化成自变量函数的最值 （2）数形结合 多变量处理方法：（转化成单变量问题） （1）多变量能分离开： 1）对于任意的，都有 2）对于任意的，使得 3）对于存在，使得 （2）多变量不能分开 1）把多变量看作成整体（如把等看成一个变量） 2）把其中一个看作是自变量另外的看成常量，先去一个变量 （注意最值取不到时的变化，恒成立和存在性是由区别的） 例题精讲 题型一：不能参变分离题型 【例1】（1）设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为 ． （2）已知函数，若时，恒成立，求实数的取值范围. 题型二：一次函数型在某区间上恒成立 【例2】已知，若当时，函数恒成立，求实数的取值范围． 题型三：二次函数型在上恒成立 【例3】已知函数的定义域为，求实参数的取值范围： （1）； （2）； 题型四：参变分离 【例4】（1）当时，不等式恒成立，则的取值范围是　 　． （2）设函数，若对恒有成立，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【例5】已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）不等式在，上恒成立，求实数的最大值． 【例6】一元二次不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【例7】如关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为　 　． 题型五：数形结合 【例8】已知函数时恒成立，求实数的取值范围. 【例9】若不等式在内恒成立，求实数的取值范围. 题型六：多变量转化成单变量 【例10】已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是　 　． 【例11】如果以一切正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. ； D. 巩固训练 1、已知一次函数，若当，时，恒成立，则实数的取值范围是　 　． 2、已知对任意，总有，求实数的取值范围． 3、已知关于的不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是 ． 4、若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围. 5、已知为常数)，，且当时，总有，则实数的取值范围是 ． （二）不等式中存在性问题 例题精讲 【例12】（1）若存在实数，使得不等式成立，求实数a的取值范围_____________. （2）已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围__ _ . （3）若存在，，使得成立，则实数的取值范围是　 　． 【例13】若存在正数使成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【例14】，若存在使成立，　 　． 【例15】已知，，若任意，，存在，，使得，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 巩固训练 1、已知在，上有解，则实数的取值范围是　 　 2、当时，不等式有解，则实数的取值范围是 　 　 　． 3、已知函数，其中，关于的不等式在区间，上有解，则实数的取值范围是　 　． （三）方程中恒成立问题、存在性问题 知识梳理 方程中基本类型： 单变量处理方法：（1）利用函数值域 第一步：确定自变量和参量 第二步：参变分离（有些不能分离，进行第三步或第四步） 第三步：转化成自变量函数的值域（当要求存在几个解问题时一般采用数形结合） （2）数形结合 多变量处理方法：（转化成单变量问题） （1）多变量能分离开： 1）对于任意的，都有 2）对于任意的，使得 3）对于存在，使得 （2）多变量不能分开 1）把多变量看作成整体（如把等看成一个变量） 2）把其中一个看作是自变量另外的看成常量，先去一个变量 例题精讲 【例16】（1）如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是 . （2）设为常数，若存在，使得，则实数的取值范围是 . （3）关于的方程（，且）有解，则的取值范围是 . 【例17】（1）已知关于的 方程有两个不等实数根，则实数的取值范围是__________. （2）关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值是　 　 【例18】（1）已知函数的值域，函数， 使得成立，则实数的取值范围是 . （2）已知函数，，，成立，则实数的取值范围是 . 巩固训练 1、已知关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是________________. 2、已知函数，（），若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围是 . 3、已知R，函数 （1）当时，解不等式； （2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. ( 实战演练 ) 一、填空题 1、若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是________________． 2、已知不等式对任意正实数，恒成立，则正实数的最小值为　 　． 3、设函数，若方程在定义域上有解，则实数取值范围是 　 　． 4、若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是________________． 5、已知关于的方程在区间，上有解，则实数的取值范围是 　 　． 6、已知函数，将的图象向左平移个单位得到函数的图象，令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为　 　． 二、选择题 7、已知函数，若在区间上恒成立，则的最大值为　　 8、若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是　　 A． B． C．─，， D．─，， 9、若关于的不等式解集为，则实数的取值范围为（ ）． A、 B、 C、， D、 10、已知不等式，若对于任意，，，，该不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 三、解答题 11、已知关于的方程． （1）若时，方程有解，则实数的取值范围是　 　． （2）若方程有两解，则实数的取值范围是　 　． 12、已知函数，． （1）判断在上的单调性，并利用单调性的定义加以证明； （2）若不等式对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在，使得，求实数的取值范围． ( 第 1 页 共 2 页 )不等式、方程中恒成立问题与有解性问题—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$