基本不等式 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

基本不等式 教学目标 1、会用基本不等式比较大小和不等式的证明； 2、会用基本不等式求最值或研究值域； 3、利用基本不等式解决恒成立问题； 4、利用基本不等式解决实际问题． 重 点 1、注意基本不等式求最值（取等号）成立的条件； 2、在学习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用． 难 点 利用基本不等式解决恒成立问题 （一）利用基本不等式求最值 知识梳理 1、基本不等式的形式 1．基本不等式1： 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）. 2．基本不等式2： 如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）. ( 【要点注释】 和 两者的异同： （1）成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数； （2）取等号 “ = ” 的条件在形式上是相同的，都是 “ 当且仅当 时取等号 ” . （3） 可以变形为： ， 可以变形为： . ) 3.如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. ( 【知识补充】 1.在数学中，我们称 为 的算术平均数，称 为 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 如果把 看作是正数 的等差中项， 看作是正数 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 【知识拓展】 当 时， 推广 ： 是 个正数，则 称为这 个正数的算术平均数， 称为这 个正数的几何平均数，它们的关系是： ，当且仅当 时等号成立 . ) 2、利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 3、利用基本不等式求最值问题 （1）“积定和最小”：如果积是定值P，那么当时，和有最小值； （2）“和定积最大”：如果和是定值S，那么当时，积有最大值. ( 【要点注释】 基本不等式求最值需注意的问题： （1）各数(或式)均为正； （2）和或积为定值； （3）等号能否成立，即 “ 一正、二定、三相等 ” 这三个条件缺一不可． 若无明显 “ 定值 ” ，则用配凑的方法，使和为定值或积为定值． 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法． ) 例题精讲 【例1】(1) 下列函数中最小值为4的是（ ） A． B． C． D． (2) 下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 【例2】(1) 设，，若，则的最大值为　　 ． （2）设，，若．则的最大值为　　 ． 【例3】(1) 已知，则不等式等号成立时，　　 ． (2) 若，则函数有　　 A．最大值 B．最小值6 C．最大值 D．最小值 (3) 已知正实数满足，则的最大值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【例4】(1) 已知，且，则的最小值为　　 ． (2) 已知正数，满足，则的最小值是（ ）. A．18 B．16 C．8 D．10 (3) 已知，，且，则的最小值为　　 A．3 B．5 C．7 D．9 (4) 已知、均为正实数，且，则的最小值为　 　． (5) 若，均为非负实数，且，则的最小值为　 　． 【例5】(1) 已知为正实数，则的最小值为____________. (2) 若直线经过第一象限内的点，，则的最大值为　　 A． B． C． D． (3) 设且恒成立，则的取值范围是__________． 【例6】(1) 已知, , 分别求的最小值. (2) 已知，，且，则的最小值是　　 ． (3) 若实数，满足，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【例7】已知，，当取到最小值时，　 　． 巩固训练 1、已知关于的不等式的解集为，若函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数有最小值2 B．函数有最小值 C．函数有最大值-2 D．函数有最大值 2、函数在区间上（ ）. A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 3、已知，则的最小值是（ ） A． B．4 C． D． 4、已知，且，则的最小值为___ ___． 5、已知正数、满足：，则的最小值为　 　． 6、已知实数满足，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7、若正实数、满足，则的最小值是　　 A． B． C． D． 8、 已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 9、若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是　 　． 10、设，则的最大值为_______________ 11、 已知，则有，且当时等号成立，利用此结论，可求函数，的最小值为 12、某种商品计划提价，现有四种方案：方案（1）先提价，再提价；方案（2）先提价，再提价；方案（3）分两次提价，每次提价；方案(4)一次性提价.已知，那么四种提价方案中，提价最多的是________________. （二）基本不等式的应用 知识梳理 应用基本不等式解决实际问题 在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： (1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内，求出函数的最值； (4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案． 例题精讲 【例8】（1）设，，是与的等比中项，则的最小值是（ ） A． B． C．4 D．3 （2）在各项均为正数的等比数列中，，则（ ） A．有最小值6 B．有最大值6 C．有最大值9 D．有最小值3 【例9】（1）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的最大值是（ ） A．3 B． C．6 D．9 （2）函数的图像恒过定点A，若A在直线，其中，则的最小值_________ 【例10】某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【例11】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广告牌的高为． （1）求广告牌的面积关于的函数； （2）求广告牌的面积的最小值． 【例12】证明：如果，，那么 巩固训练 1、若点在直线上,其中,则的最小值为____________. 2、某湖泊的水位（单位：米）随时间（单位：小时）的变化规律如下：，若该湖泊的水位总不低于2米，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3、已知则的最小值是__________. 4、首届世界低碳经济大会近日召开，本届大会的主题为“节能减排，绿色生态”.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？ ( 实战演练 ) 一、填空题 1、若，则的最小值为_____________. 2、已知正实数满足，则的最小值为 ． 3、已知、，且、的等差中项为，则的最小值为___________． 4、已知正实数a，b满足a＋b＝4，则的最小值为____________． 5、直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为　 ． 6、若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 ． 二、选择题 7、有以下三个代数式：其中最小值为2的代数式个数为　　 ①；②；③；④，且 A．0 B．1 C．2 D．3 8、已知≥，则f（）＝有（ ） A．最小值1 B．最大值 C．最小值 D．最大值1 9、已知点在直线的图象上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 10、是正数，若对于任意大于2018的实数，总有成立，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 三、解答题 11、《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本（元）与每月分类处理量（吨）之间的函数关系式可近似表示为，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益. （1）该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低； （2）要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？ 12、如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点到外边框，的距离分别为1分米，2分米．现欲经过点锯掉一块三角形废料，其中，分别在，上．设，的长分别为分米，分米． （1）为使锯掉一块三角形废料的面积最小，试确定，的值； （2）求剩下木板的外边框长度，，，的长度之和）的最大值． ( 第 1 页 共 2 页 )基本不等式—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$