基本不等式 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

基本不等式

教学目标	1、会用基本不等式比较大小和不等式的证明； 2、会用基本不等式求最值或研究值域； 3、利用基本不等式解决恒成立问题； 4、利用基本不等式解决实际问题．
重    点	1、注意基本不等式求最值（取等号）成立的条件； 2、在学习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用．
难    点	利用基本不等式解决恒成立问题

 

 

 

（一）利用基本不等式求最值

知识梳理

1、基本不等式的形式

 1．基本不等式1：

如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.

 

2．基本不等式2：

如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.

易证，那么，即.

这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2、利用基本不等式证明不等式

    利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

3、利用基本不等式求最值问题

（1）“积定和最小”：如果积是定值P，那么当时，和有最小值；

（2）“和定积最大”：如果和是定值S，那么当时，积有最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例题精讲

【例1】(1) 下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

 

 

(2) 下列不等式恒成立的是　　

A． B． C． D．

【例2】(1) 设，，若，则的最大值为　　      ．

 

 

 

 

（2）设，，若．则的最大值为　　     ．

 

 

 

 

【例3】(1) 已知，则不等式等号成立时，　　     ．

 

 

 

 

 

 

(2) 若，则函数有　　

A．最大值 B．最小值6 C．最大值 D．最小值

 

 

 

 

 

 

 

(3) 已知正实数满足，则的最大值为（    ）

A．2 B． C．3 D．

 

 

 

 

【例4】(1) 已知，且，则的最小值为　　       ．

 

 

 

 

 

(2) 已知正数，满足，则的最小值是（    ）.

A．18 B．16 C．8 D．10

 

 

 

 

(3) 已知，，且，则的最小值为　　

A．3 B．5 C．7 D．9