不等式的基本性质及其应用 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

不等式的基本性质和解法 教学目标 1、理解不等式的性质和判断不等式关系，并能加以证明； 2、掌握比较法、综合法和分析法证明不等式的基本思路和表示； 3、理解一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关联； 4、掌握不等式的解法. 重 点 1、理解并掌握不等式的基本性质，能够灵活运用不等式的基本性质判断命题的真假或证明命题； 2、对含参数不等式恒成立问题形成初步的思路，为后期的综合运用打好基础； 3、掌握解含参数的一元二次不等式，会进行分类. 难 点 含参不等式的求解. （一）不等式的性质及应用 知识梳理 1、不等式性质的基础 任意、，，，有且仅有一个成立， 并且； ； 2、不等式的基本性质 （1）；（对称性） （2），；（传递性） （3），都有；（可加性） （4）（）；（同向可加性） （5）；（可乘性） （6）（）；（同向可乘性） （7）；（可倒性） （8）.（开方乘方性） 3、不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法. 例题精讲 【例1】对于实数，，中，给出下列命题： ①若，则 ②若，则; ③若，则 ④若，则; ⑤若，则 ⑥若，则 ⑦若，则 ⑧若，，则，． 其中正确的命题是_______________． 【例2】若，则下列结论中正确的是（ ） A．和均不能成立 B．和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 【例3】有以下不等式：（1） .若以其中的两个为条件，另一个为结论，组成的真命题有哪些？证明你的结论. 【例4】（1）已知，，则的取值范围是_______________． （2）设实数，满足，，则的取值范围是_______________． 【例5】设，，比较与的大小. 【例6】（1）设，比较与的大小； （2）已知是互不相等的正数，求证：； （3）已知，求证：． 【例7】（1）的三边，，的倒数成等差数列，求证：；（提示：可以利用反证法证明） （2）设，，求证：． 巩固训练 1、已知，，则下列不等式一定成立的有（ ） （1）（2）（3）（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、若，则下面各式中恒成立的是（ ）． A． B． C． D． 3、若二次函数图像关于轴对称，且，，求的范围. 4、设，为实数，满足，，则的最大值为　 　． 5、已知，，，，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D．不确定 6、若，，，，，则之间的大小关系是 ． 7、用反证法证明：关于的方程、、，当或时，至少有一个方程有实数根． （二）一元二次不等式 知识梳理 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 例题精讲 【例8】解下列一元二次不等式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【例9】解不等式： 【例10】（1）解不等式 （2）解关于的不等式： 【例11】已知一个一元二次不等式的解集为. （1）若关于的一元二次不等式为，求、的值. （2）若关于的一元二次不等式为，求关于的一元二次不等式的解集. 【例12】若不等式对于一切实数都成立，求实数的取值范围. 巩固训练 1、不等式的解集是( ) A． B． C． D． 2、不等式组的解集是（ ） 3、（1）若的解集为，则=____，=______． （2）若的解集是，求关于的不等式的解集. 4、已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是___________. 5、当为 时，关于的一元二次不等式的解集为? 6、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7、不等式有实数解，且对于任意的实数解求实数m的取值范围. 8、解关于的一元二次不等式 9、解关于的不等式 （三）其它不等式的解法 知识梳理 1、分式不等式解法 ；（在进行计算时，一定要注意等价变形） 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是： ①分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； ②将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； ③根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集. 3、绝对值不等式的解法： ①分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式（答：）； ②利用绝对值的定义； ③数形结合；如解不等式（答：） ④两边平方：如若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______.（答：） ( 注意事项：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值. ) 4、同解不等式： （1）； （2）； （3） ； （4） ； （5） ； （6）； （7）； （8）；（9）； （10） 例题精讲 【例13】解不等式（1）； （2）. 【例14】解关于的不等式且． 【例15】解下列不等式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例16】（1）若不等式恒成立，则的取值范围是　 　． （2）设，不等式的解集是，则等于　　 A． B． C． D． （3）不等式的解集为，则实数的取值范围为　 　． 【例17】解下列不等式 （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6） 【例18】（1）已知关于 的不等式在，有实数解，则实数的取值范围为　 　． （2）对任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是____________． （3）不等式的解集是，则的取值范围是____________． 巩固训练 1、不等式＞2的解集是____________． 2、（1）已知不等式的解集为，则的值是____________． （2）若不等式的解集中的整数有且仅有0，1，2，则实数的取值范围为____________． 3、不等式的解集是 ． 4、不等式的解集为，则实数的值等于 ． 5、若集合与满足，则实数的取值范围是 ． 6、不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 7、已知关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 8、集合，，若，求的取值范围. 9、解关于的不等式：． ( 实战演练 ) 一、填空题 1、不等式的解集为 ． 2、若关于的不等式（）的解集为，则 ． 3、若，，，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4、设不等式的解集为，若，则 ． 5、已知，则实数的取值范围为 ． 6、已知关于x的不等式恰好有一个解，则a的值为 ． 二、选择题 7、对于实数，，，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8、若，则下列结论不正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 9、已知，则（ ） A B C D 大小不确定 10、已知不等式的解集为，且不等式的解集为，则的解集是（ ） A、 B、 C、 D、不能确定 三、解答题 11、已知关于的不等式的解集为. （1）当时，求集合； （2）若且，求实数的取值范围. 12、已知函数（a，b为常数），且方程有两个实根为，. （1）求函数的解析式； （2）设，解关于x的不等式：. ( 第 1 页 共 2 页 )不等式的基本性质和解法—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$