不等式的基本性质及其应用 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

不等式的基本性质和解法

教学目标	1、理解不等式的性质和判断不等式关系，并能加以证明； 2、掌握比较法、综合法和分析法证明不等式的基本思路和表示； 3、理解一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关联； 4、掌握不等式的解法.
重    点	1、理解并掌握不等式的基本性质，能够灵活运用不等式的基本性质判断命题的真假或证明命题； 2、对含参数不等式恒成立问题形成初步的思路，为后期的综合运用打好基础； 3、掌握解含参数的一元二次不等式，会进行分类.
难    点	含参不等式的求解.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（一）不等式的性质及应用

知识梳理

1、不等式性质的基础

任意、，，，有且仅有一个成立，

并且； ；

2、不等式的基本性质

（1）；（对称性）

（2），；（传递性）

（3），都有；（可加性）

（4）（）；（同向可加性）

（5）；（可乘性）

（6）（）；（同向可乘性）

（7）；（可倒性）

（8）.（开方乘方性）

3、不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；

3．分析法；

4．平方法；

5．分子（或分母）有理化；

6．利用函数的单调性；

7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法.

 

例题精讲

【例1】对于实数，，中，给出下列命题：

①若，则  ②若，则;  ③若，则

④若，则;  ⑤若，则  ⑥若，则

⑦若，则  ⑧若，，则，．

其中正确的命题是_______________．

 

【例2】若，则下列结论中正确的是（    ）

A．和均不能成立 

B．和均不能成立 

C．不等式和均不能成立 

D．不等式和均不能成立

 

【例3】有以下不等式：（1）    .若以其中的两个为条件，另一个为结论，组成的真命题有哪些？证明你的结论.

 

 

 

 

 

【例4】（1）已知，，则的取值范围是_______________．

 

 

 

 

（2）设实数，满足，，则的取值范围是_______________．

 

 

 

 

【例5】设，，比较与的大小.