集合与命题讲义-2025届高三数学一轮复习

集合与命题 教学目标 1、 理解集合及其表示法,掌握子集、全集、补集,交集及并集的概念; 2、 理解逻辑连接词的含义,会熟练转化四种命题; 3、 理解充分条件、必要条件及充要条件的意义,会判断两个命题的关系; 会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等数学思想. 重 点 集合之间的关系及集合的运算 难 点 集合与其它知识点的结合 (一)集合的概念和性质 知识梳理 1、集合概念 能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合,简称集. 集合中的各个对象叫做这个集合的元素.对于一个给定的集合,集合中的元素具有确定性、互异性、无序性. 集合常用大写字母…来表示,集合中的元素用…表示,如果是集合的元素,就记作,读作“属于”;如果不是集合的元素,就记作,读作“不属于” 数的集合简称数集:全体自然数组成的集合,即自然数集,记作,不包含零的自然数组成的集合,记作;全体整数组成的集合,即整数集,记作;全体有理数组成的集合,即有理数集,记作;全体实数组成的集合,即实数集,记作;常用的集合的特殊表示法:实数集(正实数集)、有理数集(负有理数集)、整数集(正整数集)、自然数集(包含零)、不包含零的自然数集; 点的集合简称点集,即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合 含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集 规定空集不含元素,记作 2、集合的表示法 集合的表示方法常用列举法和描述法 将集合中的元素一一列举出来(不考虑元素的顺序),并且写在大括号内,这种表示集合的方法叫做列举法 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式,再划一条竖线,在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性,即:(集合中的元素都具有性质,而且凡具有性质的元素都在集合中),这种表示集合的方法叫做描述法 例题精讲 【例1】下列各选项中的与表示同一集合的是( ) A. B. C., D. 【例2】设集合,1,,,,,,,则集合中元素的个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 【例3】已知集合只有一个元素,试求实数的值,并用列举法表示集合. 【例4】已知集合中各元素之和为3,则实数的值为_. 巩固训练 1、若,则实数_. 2、用列举法表示集合_. 3、下列各组中的、表示同一集合的是( ) ①,,; ②,; ③,; ④, A.① B.② C.③ D.④ 4、一元二次方程,属于实数,在实数范围内的根所组成的集合为,则集合中元素之和为_. (二)集合之间的关系与运算 知识梳理 1、集合之间的关系 对于两个集合和,如果集合中任何一个元素都属于集合,那么集合叫做集合的子集,记作:或,读作“包含于或包含”. 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以不要忘记 若集合中有个元素,则有个子集,个非空子集,个真子集,个非空真子集 用封闭曲线(平面区域)直观地表示集合及其关系的图形成为文氏图 对于两个集合和,若且则称集合与集合相等,记作.也就是说,集合和集合含有完全相同的元素 对于两个集合和,如果集合,并且中至少有一个元素不属于,那么集合叫做集合的真子集,记作或,读作“真包含于或真包含” 2、集合的运算 由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集,记作“”,读作“A交B”,即 由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集,记作“”,读作“A并B”,即 在研究集合之间关系的时候,这些集合往往是某个给定的集合的子集,这个确定的集合称为全集,即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素,设为全集,是的子集,则由中所有不属于集合的元素组成的集合叫做集合在全集中的补集,记作“”,读作“A补”,即’ 3、集合运算的性质 (1); (2); (3); (4); (5)德摩根定律:已知全集,若,则 例题精讲 【例5】已知集合,,,则M、N、P的关系是( ) A. B. C. D. 【例6】(1)若非空集合,,则能使成立的所有的集合是( ). A. B. C. D. (2)设A={1,2,3,4,5,6,7,8},,则满足的集合有 个. 【例7】已知集合,,,,,,若,求实数的值. 【例8】(1)若集合,,则( ) . . .. . . . . (2)集合,集合,若,则实数的取值范围是 . 【例9】(1)已知集合,,则 . (2)集合,集合,且,则的值 . (3)已知全集,集合,,,其中. (1)若,求实数的取值范围; (2)若,求实数的取值范围. 【例10】(1)已知全集,,,且,,,求集合,. (2)某学校100名学生在一次语数外三科竞赛中,参加语文竞赛的有39人,参加数学竞赛的有49人,参加外语竞赛的有41人,既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有14人,既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人,既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人,1人三项都没有参加,则三项都参加的有_人. 巩固训练 1、已知全集,集合,,则图中阴影部分表示的集合为( ) A. B. C. D. 2、若集合,且,则实数的值为 . 3、已知,,且,求的取值范围. 4、已知下列两集合A、B,求; (1); (2); (3)已知,则= . 5、已知全集,则_. 6、已知集合,,且,那么实数的取值范围是_. 7、(1)设全集为,集合,,. ①求; ②若,求实数取值构成的集合. (2)若,,若,求实数的取值范围. (三)命题和充要条件、子集与推出关系 知识梳理 1、命题 可以判断真假的语句叫做命题,命题通常用陈述句表述,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题 如果命题成立可以推出命题也成立,那么就说由可以推出,并用记号表示,读作“推出”.换言之,表示以为条件,为结论的命题是真命题 如果 ,并且 ,那么记作“”,叫做 与 等价 推出关系满足传递性: , ,则 一个数学命题用条件,结论表示就是“”,如果把结论和条件互相交换,就得到一个新命题:“”我们把这个命题叫做原命题的逆命题,它们互为逆命题 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样两个命题叫做互否命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个命题就叫做原命题的否命题.我们把的否定分别记作那么命题“”的否命题为“” 如果将命题“”结论的否定作条件,把条件的否定作结论,那么就可以得到一个新命题,我们将它叫做原命题的逆否命题,如果,那么 如果,是两个命题,,那么,叫做等价命题 原命题和逆否命题就是等价命题 原结论 反设词 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 或 非且非 对所有成立 存在某个不成立 都是 不都是 且 非或非 对任何不成立 存在某个成立 大于 不大于 至少有一个 一个也没有 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有一个 至少有两个 至多有个 至少有个 2、充要条件 一般地,用分别表示两个命题,如果命题成立,可以推出也成立,即,那么叫做的充分条件,叫做的必要条件;如果既有,又有,即,那么既是的充分条件,又是的必要条件,这时我们就说,是的充分必要条件,简称充要条件 3、子集与推出关系:设具有性质的对象组成集合,具有性质的对象组成集合,则 (1) 若,则是的充分条件 (2) 若,则是的充分非必要条件 (3) 若,则是的必要条件 (4) 若,则是的必要非充分条件 (5) 若,与互为充要条件 例题精讲 【例11】(1)下列命题为真命题的为( ) (2)下列说法: ① 若一个命题的否命题是真命题,则这个命题不一定是真命题; ② 若一个命题的逆否命题是真命题,则这个命题是真命题; ③ 若一个命题的逆命题是真命题,则这个命题不一定是真命题; ④ 若一个命题的逆命题和否命题都是真命题,则这个命题一定是真命题. 其中正确的说法是( ) A.①② B.①③④ C.②③④ D.①②③ 【例12】(1)“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 (2)已知,为正实数,则“”是“”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)在中,“”是“”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例13】已知,都是的必要条件,是的充分条件,是的充分条件,那么: (1)是的什么条件? (2)是的什么条件? (3)是的什么条件? 【例14】(1)不等式成立的一个充分不必要条件是_. (2)若关于的不等式成立的充分不必要条件是,则实数的取值范围是_ . 巩固训练 1、命题“若一个数是负数,则他的平方是正数”的逆命题是( ) A、“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B、“若一个数的平方是正数,则它是负数” C、“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D、“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 2、(1)设,则“”是“”的_条件. (2)“”是“”的_条件. (3)定义:若对定义域上的任意实数都有,则称函数为上的零函数.根据以上定义,“是上的零函数或是上的零函数”为“与的积函数是上的零函数”的_条件. 3、“”是“函数在上是增函数”的( ) A.充分非必要条件; B.必要非充分条件; C.充要条件 ; D.非充分非必要条件. 4、设集合( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 5、如果A是B的必要条件,B是C的充要条件,D是C的充分条件,则D是A的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6、设命题P:关于的不等式与的解集相同;命题Q:,则P是Q的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 7、设,集合,,.若中至少有一个不是空集,求实数的取值范围. ( 实战演练 ) 一、填空题 1、若集合,则_. 2、 命题“若,则或”的否命题是 。 3、已知命题:,命题:,若是成立的充分不必要条件,则实数的取值范围是_. 4、设均为非零实数,不等式和解集分别为,那么是的_条件. 5、集合满足:若,则。若,则满足条件的元素个数最少的集合为 . 6、已知、,若, 则 . 二、选择题 7、“0≤k<3”是“方程+=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8、如图,U为全集,M、P、S是U的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( ). A. B. C. ∁ D. ∁ 9、若函数和的定义域、值域都是,则成立的充要条件是( ) A、存在一个,使得 B、有无穷多个,使得 C、对于任意的,使得 D、 10、设所有被4除余数为的整数组成的集合为,即,则下列结论中错误的是( ) A. B.,则, C. D.,,则 三、解答题 11、若集合, 且,求实数的值。 12、已知集合是函数的定义域,集合是不等式的解集.:,:. (1)若,求的取值范围; (2)若:,且是的充分不必要条件,求的取值范围. ( 第 1 页 共 2 页 )集合与命题—学生版 学科网(北京)股份有限公司 P S M I $$