集合与命题讲义-2025届高三数学一轮复习

集合与命题

教学目标	1、理解集合及其表示法，掌握子集、全集、补集，交集及并集的概念； 2、理解逻辑连接词的含义，会熟练转化四种命题； 3、理解充分条件、必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的关系； 会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等数学思想.
重    点	集合之间的关系及集合的运算
难    点	集合与其它知识点的结合

 

 

（一）集合的概念和性质

知识梳理

1、集合概念

能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集.

集合中的各个对象叫做这个集合的元素.对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性.

集合常用大写字母…来表示，集合中的元素用…表示，如果是集合的元素，就记作，读作“属于”；如果不是集合的元素，就记作，读作“不属于”

数的集合简称数集：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作，不包含零的自然数组成的集合，记作；全体整数组成的集合，即整数集，记作；全体有理数组成的集合，即有理数集，记作；全体实数组成的集合，即实数集，记作；常用的集合的特殊表示法：实数集（正实数集）、有理数集（负有理数集）、整数集（正整数集）、自然数集（包含零）、不包含零的自然数集；

点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合

含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集

规定空集不含元素，记作

2、集合的表示法

集合的表示方法常用列举法和描述法

将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法

在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法

 

例题精讲

【例1】下列各选项中的与表示同一集合的是（    ）

A. 

B.

C.,

D.

 

【例2】设集合，1，，，，，，，则集合中元素的个数为

   

A．3 B．4 C．5 D．6

 

【例3】已知集合只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合．

 

 

 

 

【例4】已知集合中各元素之和为3，则实数的值为___________．

 

 

 

 

巩固训练 

1、若，则实数________________.

 

2、用列举法表示集合___________．

 

3、下列各组中的、表示同一集合的是（    ）

①，，；

②，；

③，；

④，

A．① B．② C．③ D．④

 

4、一元二次方程，属于实数，在实数范围内的根所组成的集合为,则集合中元素之和为___________．

 

 

（二）集合之间的关系与运算

知识梳理

1、集合之间的关系

 对于两个集合和，如果集合中任何一个元素都属于集合，那么集合叫做集合的子集，记作:或，读作“包含于或包含”.

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以不要忘记

若集合中有个元素，则有个子集，个非空子集，个真子集，个非空真子集

用封闭曲线（平面区域）直观地表示集合及其关系的图形成为文氏图

对于两个集合和，若且则称集合与集合相等，记作.也就是说，集合和集合含有完全相同的元素

对于两个集合和，如果集合，并且中至少有一个元素不属于，那么集合叫做集合的真子集，记作或，读作“真包含于或真包含”

2、集合的运算

由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即

由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即

在研究集合之间关系的时候，这些集合往往是某个给定的集合的子集，这个确定的集合称为全集，即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素，设为全集，是的子集，则由中所有不属于集合的元素组成的集合叫做集合在全集中的补集，记作“”，读作“A补”，即’

3、集合运算的性质

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）德摩根定律：已知全集,若，则