精品解析：河北省秦皇岛市昌黎县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023－2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某校从800名八年级学生中随机抽取30名学生参加国家质量监测，下列说法正确的是（ ） A. 该调查方式是普查 B. 每名学生的国家质量监测成绩是个体 C. 样本容量是800 D. 30名学生的国家质量监测成绩是总体 3. 某人用了分钟加工了个零件，用表示每分钟加工零件的个数，下列说法正确的是（ ） A. 数和，都是常量 B. 只有是变量 C. 与之间的关系式为 D. 与之间的关系式为 4. 一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 六 B. 七 C. 八 D. 九 5. 10月1日至6日，苏老师手机“微信运动”步数统计如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 10月1日至3日，运动步数逐日增加 B. 10月3日运动步数最多 C. 10月3日至6日，运动步数逐日减少 D. 10月7日运动步数比10月6日少 6. 如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线：与直线：相交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 购买一种水果，所付款金额（元）与购买数量之间的函数图像由线段．和射线组成；如图所示，则一次购买这种水果，比分两次每次购买这种水果可以节省的费用为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 9. 用两个图钉将－一个橡皮筋的两个端点，固定在桌面上，拉动橡皮筋构成，点、点分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（ ） A. 增长 B. 缩短 C. 不变 D. 先增长后缩短 10. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若AB＝6，则BC的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 12 11. 某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度（单位：厘米）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如下图所示的图象（是线段，直线平行于轴）．下列说法错误的是（ ） A. 从开始观察时起，50天后该植物停止长高； B. 直线的函数表达式为； C. 第40天，该植物的高度为14厘米； D. 该植物最高为15厘米． 12. 将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，甲、乙两人有如下结论： 甲：若四边形是边长为1正方形，则四边形必是正方形； 乙：若四边形为正方形，则四边形必是边长为1的正方形． 下列判断正确是（ ） A. 甲正确，乙不正确 B. 甲不正确，乙正确 C. 甲、乙都不正确 D. 甲、乙都正确 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 一次函数中，的几组对应值如下表，可以得到的值为______． … … … … 14. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中：①当时，它是菱形；②当时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形，正确的有______． 15. 如图，在矩形中，，，为中点，点分别在上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为______． 16. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为， ，直线与线段有公共点，则b的取值范围为 _______ (用含m的代数式表示). 三、解答题（每小题9分，共72分） 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，在网格中的位置如图所示，的三个顶点都在格点上． （1）若与关于原点对称，则三个顶点的坐标（_____，_____）；（_____，_____）（_____，_____）； （2）若与关于轴对称，在平面直角坐标系中画出； （3）若以点、、为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点的坐标． 18. 我县开展“讲文明、树新风”知识竞赛活动，某校组织了－－次知识竞赛，赛后发现所有参与者的成绩（总分分）均不低于分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取若干名参与者的成绩进行整理，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 分数段（成绩为分） 频数 频率 请你根据统计图表解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是______，______，______，______，______； （2）请补全参与者成绩分布直方图； （3）竞赛按照分数由高到低共设置一、二三等奖，如果有的参与者能获得一等奖，那么一等奖的最低分数线是多少？ 19. 观察图，先填空，然后回答问题： （1）由上而下第8行的白球与黑球总数比第5行多_______个，若第n行白球与黑球的总数记作y，写出y与n的关系式． （2）第n行白球与黑球的总数可能是2023个吗？如果能，求出n的值；如果不能，说明理由． 20. 如图，在中，分别为的中点，连接，点在上且．若，，求线段的长． 21. 请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： （1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理： （2）补全材料中的证明过程； （3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 22. 如图1，公路上依次有A，B，C三点，间的距离为，间的距离为，小张和小丽分别从A，B两地同时出发匀速去往C地，图2是小张和小丽出发t（h）后分别与A地相距和的函数图像． （1）图2中，表示小张运动过程的线段是______，表示小丽运动过程的线段是______； （2）分别求出，与t的函数关系式； （3）说出图2中点N的实际意义． 23. 某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式： 薪酬方式一：底薪＋提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元提成； 薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成， 设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为（元），方式二的销售人员的月收入为（元）， （1）请分别写出、与x之间函数表达式； （2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？ 24. 如图，在四边形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与四边形的边交于两点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当平分时， ①求证：四边形为菱形； ②当四边形是矩形时，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限． 【详解】解：∵点它的横坐标，纵坐标， ∴点在第一象限， 故选A． 【点睛】本题主要考查了第一象限内点的坐标特点，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 2. 某校从800名八年级学生中随机抽取30名学生参加国家质量监测，下列说法正确的是（ ） A. 该调查方式是普查 B. 每名学生的国家质量监测成绩是个体 C. 样本容量是800 D. 30名学生的国家质量监测成绩是总体 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．该调查方式是抽样调查，原说法错误，故本选项不合题意； B．每名学生的国家质量监测成绩是个体，说法正确，故本选项符合题意； C．样本容量是30，原说法错误，故本选项不合题意； D．30名学生的国家质量监测成绩是样本，原说法错误，故本选项不合题意． 故选：B． 3. 某人用了分钟加工了个零件，用表示每分钟加工零件的个数，下列说法正确的是（ ） A. 数和，都是常量 B. 只有是变量 C. 与之间的关系式为 D. 与之间的关系式为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出等量关系式，结合常量变量定义逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 其中，都是变量，是常量， 故选D； 【点睛】本题考查一次函数函数的应用，解题的关键是根据题意列出等量关系式，熟练掌握常量，变量的定义． 4. 一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 六 B. 七 C. 八 D. 九 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用．掌握边形的内角和为，外角和为是解题关键．设该多边形为边形，则根据多边形的内角和公式与外角和为，可列出关于的等式，解出的值即可． 【详解】解：设该多边形为边形， 则， 解得：， 该多边形为八边形． 故选：C． 5. 10月1日至6日，苏老师手机“微信运动”步数统计如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 10月1日至3日，运动步数逐日增加 B. 10月3日运动步数最多 C. 10月3日至6日，运动步数逐日减少 D. 10月7日运动步数比10月6日少 【答案】D 【解析】 分析】根据折线图，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、10月1日至3日，运动步数逐日增加，选项正确，不符合题意； B、10月3日运动步数最多，选项正确，不符合题意； C、10月3日至6日，运动步数逐日减少，选项正确，不符合题意； D、图中没有10月7日的运动步数，无法得出10月7日运动步数比10月6日少，选项不正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查折线图．从折线图中有效的获取信息，是解题的关键． 6. 如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 7. 如图，直线：与直线：相交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察函数图象得到在点的右边，直线都在直线的上方，据此求解． 【详解】∵直线：与直线：相交于点， ∴关于的不等式的解集为， 故选． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是得出两函数图象的交点横坐标，根据函数图象可得答案． 8. 购买一种水果，所付款金额（元）与购买数量之间的函数图像由线段．和射线组成；如图所示，则一次购买这种水果，比分两次每次购买这种水果可以节省的费用为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是数形结合．根据图像可知购买需要花费元，超出的部分每千克元，再分别求出两种购买方式的费用即可求解． 【详解】解：分两次每次购买这种水果的费用为：（元）， 一次购买这种水果时，超出的部分每千克（元）， 一次购买这种水果的费用为：（元）， （元）， 故选：C． 9. 用两个图钉将－一个橡皮筋的两个端点，固定在桌面上，拉动橡皮筋构成，点、点分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（ ） A. 增长 B. 缩短 C. 不变 D. 先增长后缩短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．根据题意可得是的中位线，得到，即可求解． 【详解】解：点、点分别为，的中点，， 是中位线， ， 拉动点至的过程中，的长度不变， 故选：C． 10. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若AB＝6，则BC的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为是菱形AECF，所以∠ACE=∠FCA，因为折叠角相等，所以∠ACE=∠BCE，所以∠ACE=∠FCA=∠BCE=30度，所以∠ACB=60度，所以BC等于AB除以根号3，得2，故选C． 考点：1．矩形性质；2．菱形性质；3．勾股定理． 11. 某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度（单位：厘米）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如下图所示的图象（是线段，直线平行于轴）．下列说法错误的是（ ） A. 从开始观察时起，50天后该植物停止长高； B. 直线的函数表达式为； C. 第40天，该植物的高度为14厘米； D. 该植物最高为15厘米． 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高，可判断A；设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC线段的解析式可判断B；把x=40代入②的结论进行计算即可判断C；把x=50代入②的结论进行计算可判断D． 【详解】解：A.∵CD//x轴， ∴从第50天开始植物的高度不变， 故A的说法正确； B.设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵经过点A（0，6），B（30，12）， ∴， 解得， 所以，直线AC的解析式为y=x+6（0≤x≤50）， 故B的结论正确； C当x=40时，y=×40+6=14， 即第40天，该植物的高度为14厘米； 故C的说法正确； D当x=50时，y=×50+6=16， 即第50天，该植物的高度为16厘米； 故D的说法错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． 12. 将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，甲、乙两人有如下结论： 甲：若四边形是边长为1的正方形，则四边形必是正方形； 乙：若四边形为正方形，则四边形必是边长为1的正方形． 下列判断正确的是（ ） A. 甲正确，乙不正确 B. 甲不正确，乙正确 C. 甲、乙都不正确 D. 甲、乙都正确 【答案】D 【解析】 【分析】根据，求出和的值，根据勾股定理求出的值，即可判断甲是否正确，若平行四边形为正方形，根据边的关系可以求出且四个角都是直角，即可判断乙是否正确． 【详解】解：四边形是边长为1的正方形， ，， ，，， ， ， 同理， 四边形是菱形， 在和中， ， ， ， ， ， ， 则四边形必是正方形； 甲正确； 若四边形为正方形，则， 且， 在和中， ， ， ， 同理， 又， ， ， 同理， 即四边形为菱形， ， 则四边形必是边长为1的正方形， 乙正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 一次函数中，的几组对应值如下表，可以得到的值为______． … … … … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像上点坐标特征．利用一次函数图像上点的坐标特征，可得出关于，的方程组，解之即可得出，的值，进而可得出一次函数解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】解：将点，，代入得： ， 解得：， ， 令，则，即， 故答案为：． 14. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中：①当时，它是菱形；②当时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形，正确的有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据菱形、矩形和正方形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当时，它是菱形，故①正确； 当时，它是菱形，故②正确； 当时，它是矩形，故③正确； 当时，它是矩形，故④错误； ∴正确的有①②③． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了菱形、矩形和正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形和正方形的判定定理是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，为的中点，点分别在上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据等腰三角形的性质证得，从而得到， ，然后根据梯形面积公式求得结论即可． 【详解】解：为等腰直角三角形 在和中， ，为的中点 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质及等腰直角三角形的知识，解题的关键是能够利用等腰三角形的性质证得两三角形全等 16. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为， ，直线与线段有公共点，则b的取值范围为 _______ (用含m的代数式表示). 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，由点的坐标特征得出线段轴，当直线经过点A时，得出；当直线经过点B时，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵点的坐标分别为， ， ∴线段轴， 当直线经过点A时，，则， 当直线经过点B时，，则， ∴直线与线段有公共点，则b的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，在网格中的位置如图所示，的三个顶点都在格点上． （1）若与关于原点对称，则三个顶点的坐标（_____，_____）；（_____，_____）（_____，_____）； （2）若与关于轴对称，在平面直角坐标系中画出； （3）若以点、、为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，全等三角形的判定，关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是数形结合． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可； （2）先找出关于轴对称的对应点，再依次连接即可； （3）根据全等三角形对应边相等，分和两种情况求解即可． 【小问1详解】 由图可知，，，， 与关于原点对称， ，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 如图，若，则点的坐标为或， 若，则点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 18. 我县开展“讲文明、树新风”知识竞赛活动，某校组织了－－次知识竞赛，赛后发现所有参与者的成绩（总分分）均不低于分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取若干名参与者的成绩进行整理，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 分数段（成绩为分） 频数 频率 请你根据统计图表解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是______，______，______，______，______； （2）请补全参与者成绩分布直方图； （3）竞赛按照分数由高到低共设置一、二三等奖，如果有的参与者能获得一等奖，那么一等奖的最低分数线是多少？ 【答案】（1），，，， （2）图见详解 （3）80分 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，根据频数分布直方图、样本容量、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据频数除频率等于总人数，可得样本容量，再根据频数、频率、总人数的关系和表格数据即可求出其他数值． （2）由（1）中数据即可补全参与者成绩分布直方图． （3）由上可得分数段在和的频率分别为，，即，故可得出一等奖的最低分数线是分． 【小问1详解】 解：∵分数段在的频数为，占总体频率为， ∴此次抽样调查的样本容量是人， ∵分数段在的频数占总体频率为， ∴其频数， ∵分数段在的频数为， ∴占总体频率， ∴分数段在占总体频率为， 频数， 故答案为：，，，，． 【小问2详解】 由（1）可得参与者成绩分布直方图，如图所示： 【小问3详解】 ∵分数段在和的频率分别为，， ∴， ∴一等奖的最低分数线是分． 19. 观察图，先填空，然后回答问题： （1）由上而下第8行的白球与黑球总数比第5行多_______个，若第n行白球与黑球的总数记作y，写出y与n的关系式． （2）第n行白球与黑球的总数可能是2023个吗？如果能，求出n的值；如果不能，说明理由． 【答案】（1）9，（n为正整数） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由图形黑白球的排列规律可以得出，（n为正整数）； （2）由题意可列出，求出n的值，根据题意判断即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：第8行的白球和黑球的总数是（个）， 第5行的白球和黑球的总数是（个）， 所以，第8行白球和黑球的总数比第5行多（个）， ∵第1行白球与黑球的总数为， 第2行白球与黑球的总数为， 第3行白球与黑球的总数为， 第4行白球与黑球的总数为， ， 按照图形的规律可列出解析式：（n为正整数）， 故答案为：9； 【小问2详解】 解：不能； 理由如下；把代入，得， 解得，， ∵n为正整数， ∴不存在哪一行白球与黑球的总数是2023个． 【点睛】本题考查根据图形结构探索规律的能力．这种题型中的规律往往可以从前几步探索得出，培养自己的观察能力和数感是解决此类题型的关键． 20. 如图，在中，分别为的中点，连接，点在上且．若，，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出，即可得出答案． 【详解】解：点是，的中点 ， ， ， 【点睛】本题考查三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 21. 请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： （1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理： （2）补全材料中的证明过程； （3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 【答案】（1）对角线相等的平行四边形是矩形 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是解题的关键： （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可； （3）根据勾股定理定理逆定理，得到四边形的一个内角是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可。 【小问1详解】 解：判定定理为：对角线相等的平行四边形是矩形；理由见（2） 【小问2详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【小问3详解】 首先利用卷尺测量两组对边长度是否相等，确保形状是平行四边形；然后再量一条对角线的长度，如果一组邻边长度的平方和等于对角线长度的平方时，就确保了它是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 22. 如图1，公路上依次有A，B，C三点，间的距离为，间的距离为，小张和小丽分别从A，B两地同时出发匀速去往C地，图2是小张和小丽出发t（h）后分别与A地相距和的函数图像． （1）图2中，表示小张运动过程的线段是______，表示小丽运动过程的线段是______； （2）分别求出，与t的函数关系式； （3）说出图2中点N的实际意义． 【答案】（1）， （2）； （3）出发0.4小时后在距离A地处两人相遇 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）结合图形和图象获取信息即可； （2）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）从图象获取信息作答即可． 【小问1详解】 解：由图形可知，小张离点的距离远，故表示小张运动过程的线段是，表示小丽运动过程的线段是； 故答案为：，； 【小问2详解】 设， 将代入，得，解得：k=10， 所以与t的函数关系式； 设， 将代入，得，解得：， 所以与t的函数关系式； 【小问3详解】 从图象可知，点N的实际意义是：出发0.4小时后在距离A地处两人相遇． 23. 某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式： 薪酬方式一：底薪＋提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成； 薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成， 设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为（元），方式二的销售人员的月收入为（元）， （1）请分别写出、与x之间的函数表达式； （2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？ 【答案】（1）， （2）当时，薪酬方式一更适合销售人员；当时，两种薪酬方式都适合销售人员；当时，薪酬方式二更适合销售人员． 【解析】 【分析】（1）方式一的销售人员的月收入等于底薪加上提成（等于销售量乘以每一件的提成），方式二的销售人员的月收入等于提成（等于销售量乘以每一件的提成）即可得； （2）先画出两个函数的图象，再联立两个函数表达式，求出它们的交点坐标，由此进行分析即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：， ． 【小问2详解】 解：由（1）的结果，画出两个函数的图象如下： 联立， 解得， 则当时，；当时，；当时，， 所以当时，薪酬方式一更适合销售人员；当时，两种薪酬方式都适合销售人员；当时，薪酬方式二更适合销售人员． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 24. 如图，在四边形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与四边形的边交于两点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当平分时， ①求证：四边形为菱形； ②当四边形是矩形时，若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）①见解析；②3 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）①根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形； ②根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵，为对角线的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； ②∵四边形是矩形， ∴，， 而， ∴，，， 中，根据勾股定理，得， ∴， 解得． 故的长为3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$