精品解析：四川省成都市郫都区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度下期期末检测 八年级数学 注意事项： 1．全卷总分150分，A卷100分，B卷50分，考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题卷上答题均无效． 5．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共八个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列数学曲线（不含x轴、y轴），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 4. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 6. 限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某桥洞的限高标志牌，则下列装载高度的车辆不能通过此桥洞的是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，根据图象，可得关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，点为的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 分解因式：=______． 10. 若当时，分式无意义，则a的值为__________． 11. 如图，在中，，，绕点按顺时针方向旋转得，则的度数为__________． 12. 如图， 已知点A， B的坐标分别为， ，将沿x轴向右平移，使点B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为__________． 13. 已知中，D为的中点．按以下步骤作图：①分别以点A、点C圆心，以大于长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点；③连接．若的周长为，则的周长为__________． 三、解答题（本大题共五个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （）解不等式组：； （）解分式方程：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为、0、1，卡片除了数字不同外，其余都相同． （1）从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是多少？ （2）先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率． 17. 如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，直接写出的长． 18. 如图，四边形中，，，并且平分，，．点是上的动点，点在射线上． （1）如图1，求证：四边形为菱形； （2）如图2，连接，若，求的度数； （3）如图3，若，连接，求的最小值． B卷（50分） 一、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则的值为__________． 20. 如图，四边形是平行四边形．已知四个条件：①；②；③；④，从中任选一个，可判定是矩形的概率是__________． 21. 如图，正方形的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为．若，则线段的长是_____． 22. 若整数x使仅有5个整数解，且使关于y的方程有整数解，则a的值为__________． 23. 如图，与相交于点E，若，则的最小值为 _______． 二、解答题（本大题共三个小题，共30分） 24. 郫县豆瓣是川菜之魂、回锅肉的灵魂伴侣．某商场从厂家用元购进甲种郫县豆瓣和用元购进乙种郫县豆瓣的千克数相同．已知每千克乙种郫县豆瓣价格比每千克甲种郫县豆瓣的价格多元． （1）求甲、乙两种郫县豆瓣每千克的进货价格； （2）因两种郫县豆瓣销售都好，商场决定再购进这两种郫县豆瓣共千克，且乙种郫县豆瓣的数量不超过甲种郫县豆瓣数量的倍，甲种郫县豆瓣以元/千克销售，乙种郫县豆瓣以元/千克销售，请问甲、乙两种郫县豆瓣各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？ 25. 如图，在矩形中，，，四边形的三个顶点E、F、H分别在矩形边上，且． （1）如图1，当四边形为正方形时， （i）求证：； （ii）求的面积； （2）如图2，当四边形为菱形时，设，的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 26. 探究学习是课程学习的一种重要方式．请依次解答下列问题： 【初步感知】（1）如图1，、均为顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？ 【深入探究】（2）如图2，为等边三角形，点为边上一点（不与点重合），于点．将绕点顺时针旋转后得到．连接并延长交于点．补全图形，并说明点是的中点． 【解决问题】（3）如图3，点在等边外部，已知，，连接，求的取值范围，并直接写出取最值时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下期期末检测 八年级数学 注意事项： 1．全卷总分150分，A卷100分，B卷50分，考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题卷上答题均无效． 5．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共八个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列数学曲线（不含x轴、y轴），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的识别，一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某一个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形能够完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则A不符合题意； B是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则B不符合题意； C是轴对称图形，也是中心对称图形，则C符合题意； D是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则D不符合题意； 故选：C． 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质“不等式性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；”进行判定即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，正确，故A选项正确，不符合题意； ，正确，故B选项正确，不符合题意； ，正确，故C选项正确，不符合题意； 当时，，则， ∴， ∴D选项不一定正确，符合题意；   故选：D ． 3. 若，，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，代数式求值，正确找出公因式是解题关键．将提取公因式，进而将已知代入求值即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式在数轴上的表示． 本题中由，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， A、本选项符合题意； B、表示的解集为，故本选项不符合题意； C、表示的解集为，故本选项不符合题意； D、表示的解集为，故本选项不符合题意． 故选：A． 5. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行分解因式，根据进行判定，即可求解，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：A、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； B、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； C、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； D、，能用平方差公式进行分解因式，符合题意； 故选：D ． 6. 限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某桥洞的限高标志牌，则下列装载高度的车辆不能通过此桥洞的是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的运用，根据图示可得限高标志牌的意义是不超过5米，由此即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，限高标志牌的意义为不超过5米，即小于等于5米， ∴超过5米的不能通过，   故选： A． 7. 如图，根据图象，可得关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象，可得：不等式的解集是． 故选：D． 8. 如图，中，，点为的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的运用，根据勾股定理可得，根据完全平方公式可将变形求得的值，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解，掌握勾股定理，完全平方公式的运用是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵点是的中点， ∴，   故选：B ． Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 分解因式：=______． 【答案】a（b+1）（b﹣1） 【解析】 【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1）， 故答案为a（b+1）（b﹣1）． 10. 若当时，分式无意义，则a的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在中，，，绕点按顺时针方向旋转得，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理的运用，根据三角形内角和定理可得的度数，根据旋转的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转，即， ∴， 故答案为： ． 12. 如图， 已知点A， B的坐标分别为， ，将沿x轴向右平移，使点B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 根据得出，求出，则沿轴正方向平移2个单位长度得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 即沿轴正方向平移2个单位长度得到， ， 点的坐标为． 故答案为：． 13. 已知中，D为的中点．按以下步骤作图：①分别以点A、点C圆心，以大于长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点；③连接．若的周长为，则的周长为__________． 【答案】##10厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一条线段的垂直平分线，中位线的性质，先根据中位线的性质得出，然后根据的周长为，求出的周长即可． 【详解】解：根据作图可知：垂直平分， ∴E为的中点， ∵D为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为周长的2倍， ∵的周长为， ∴的周长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共五个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （）解不等式组：； （）解分式方程：． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】（）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解； （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，掌握解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：（）由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为； （）方程两边都乘以最简公分母得，， 解得， 经检：把代入最简公分母得，， ∴是原方程的解． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，二次根式的运算，根据分式的性质先化简，再把代入求值即可，掌握分式的性质化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∴当时，原式． 16. 在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为、0、1，卡片除了数字不同外，其余都相同． （1）从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是多少？ （2）先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，有理数的概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）找出三种卡片中负数卡片的个数即可求出所求的概率； （2）用列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出抽取的卡片上的数字之积为有理数的情况数，即可得到答案． 【小问1详解】 解：总共有3种等可能事件，其中抽中负数有，1种情况， 故从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是； 【小问2详解】 解：方法1：画树状图如下： 共有6种等可能的结果： 、、、、、 乘积分别为：0，，0，0，，0 所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种， 则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为． 方法2：列表如下： 第1张 第2张 0 1 —— 0， 1， 0 ，0 —— 1，0 1 ，1 0，1 —— 共有6种等可能的结果： 、、、、、 乘积分别为：0，，0，0，，0 所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种， 则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为． 17. 如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 18. 如图，四边形中，，，并且平分，，．点是上的动点，点在射线上． （1）如图1，求证：四边形为菱形； （2）如图2，连接，若，求的度数； （3）如图3，若，连接，求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，即， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，，可得四边形为平行四边形，根据角平分线的性质可得，结合平行四边形的性质可得，由此即可求证； （2）连接，根据四边形为菱形，可得，，根据，，， 可得，根据平行四边形的性质可得； （3）过点作，且取，连接，，，可得则，，根据四边形为菱形，，可得是等腰直角三角形，则，根据三角形三边关系得，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形为菱形， ∴，是公共边， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形，，是对角线， ∴，则， 如图所示，过点作，且取，连接，，， 在，中， ， ∴， ∴， ∵四边形为菱形，则，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由得， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，掌握菱形的判定和性质，合理构造辅助线是解题的关键． B卷（50分） 一、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．利用完全平方公式计算即可求出m，n的值，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： ． 20. 如图，四边形是平行四边形．已知四个条件：①；②；③；④，从中任选一个，可判定是矩形的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，概率的计算，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据对角线相等的平行四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形，逐一判定，然后利用概率公式计算即可解答． 【详解】解：①四边形是平行四边形 又 是矩形，故①可判定； ②四边形是平行四边形，且， 是矩形，故②可判定； ③四边形是平行四边形，且， 是菱形，故②不可判定为矩形； ④四边形是平行四边形，且， 是菱形，故④不可判定为矩形； 故选到能够判定是矩形的有①、②，2种结果， 选到能够判定是矩形的概率是， 故答案为：． 21. 如图，正方形的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为．若，则线段的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，翻折变换，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据折叠可得， ，，根据勾股定理求出，的长，继而求出，，最后根据在中，由面积法，根据即可求解． 【详解】解：如图， 连接交于M， 连接，， 由折叠可知，， ，， ∵正方形的边长为9， ∴，， 设则 ∵， ∴在中， 即 解得： ∴ ， ， ∴在中， ∵，， ∴，， ， 故答案为：． 22. 若整数x使仅有5个整数解，且使关于y的方程有整数解，则a的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组和分式方程，先求出不等式组的解集，然后根据不等式组有且仅有5个整数解，得出，根据a为整数得出，解关于y的分式方程，得，根据关于y的方程有整数解，求出结果即可． 【详解】解：由等式组得， 由仅有5个整数解，知， 从而， 解得， 从而整数； 解关于y的分式方程，得， ∵关于y的方程有整数解， ∴， 当时，， 经检验，是分式方程的解， ∴． 故答案为：6． 23. 如图，与相交于点E，若，则的最小值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．求不在同一条直线上的两条线段和的最小值，通常采用平移的方法整理成含有公共端点的线段，进而根据两点之间，线段最短求解．沿方向平移到，可得，再作于点G，连接．由“两点之间，线段最短”及勾股定理可得的最小值的长． 【详解】解：沿方向平移到，作于点G，连接． ∴． ∴． ∴的最小值为的长． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 二、解答题（本大题共三个小题，共30分） 24. 郫县豆瓣是川菜之魂、回锅肉的灵魂伴侣．某商场从厂家用元购进甲种郫县豆瓣和用元购进乙种郫县豆瓣的千克数相同．已知每千克乙种郫县豆瓣价格比每千克甲种郫县豆瓣的价格多元． （1）求甲、乙两种郫县豆瓣每千克的进货价格； （2）因两种郫县豆瓣销售都好，商场决定再购进这两种郫县豆瓣共千克，且乙种郫县豆瓣的数量不超过甲种郫县豆瓣数量的倍，甲种郫县豆瓣以元/千克销售，乙种郫县豆瓣以元/千克销售，请问甲、乙两种郫县豆瓣各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每千克甲种豆瓣的进货价格是元，每千克乙种豆瓣的进货价格是元 （2）当购进甲种豆瓣千克，乙种豆瓣千克时，获得最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式，一次函数图象性质的综合，掌握分式方程，一次函数图象性质是解题的关键． （1）设每千克甲种郫县豆瓣的进货价格是元，则每千克乙种郫县豆瓣的进货价格是元，根据数量关系列分式方程求解即可； （2）设购进甲种豆瓣千克，则购进乙种豆瓣千克，总利润为元，根据题意可得，结合一次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每千克甲种郫县豆瓣的进货价格是元，则每千克乙种郫县豆瓣的进货价格是元，根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意，从而， 答：每千克甲种豆瓣的进货价格是元，每千克乙种豆瓣的进货价格是元； 【小问2详解】 解：设购进甲种豆瓣千克，则购进乙种豆瓣千克， 根据题意得：， 解得：， 设再次购进的两种豆瓣全部售出后获得的总利润为元， 则，即， 由，得随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值， 此时， 答：当购进甲种豆瓣千克，乙种豆瓣千克时，获得最大利润是元． 25. 如图，在矩形中，，，四边形的三个顶点E、F、H分别在矩形边上，且． （1）如图1，当四边形为正方形时， （i）求证：； （ii）求的面积； （2）如图2，当四边形为菱形时，设，的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） （i）解：如图1，过点G作，垂足为M. 由矩形ABCD可知：. 由正方形EFGH可知：，. ∴， ∵， ∴. ∴. （ii）； （2），取值范围：． 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的性质，解题关键在于做辅助线和利用全等三角形的性质. （1）（i）过点G作，垂足为M.证明.（ii）.同理可证，则，得到.求出，即可得到答案； （2）过点G作，垂足为M，连接，证明，则.由得到.即可得到. 【小问1详解】 （i）略 （ii）∵ ∴. 同理可证： ∴， ∴. 又∵， ∴. 【小问2详解】 如图2，过点G作，垂足为M，连接. 由矩形得：， ∴ 由菱形得：，. ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 即：， ∵，，， ∴ ∴ ∵H在上 ∴ ∴ 解得 ∵F在BC上 ∴即 ∴ ∴定义域： 26. 探究学习是课程学习的一种重要方式．请依次解答下列问题： 【初步感知】（1）如图1，、均为顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？ 【深入探究】（2）如图2，为等边三角形，点为边上一点（不与点重合），于点．将绕点顺时针旋转后得到．连接并延长交于点．补全图形，并说明点是的中点． 【解决问题】（3）如图3，点在等边外部，已知，，连接，求的取值范围，并直接写出取最值时的度数． 【答案】（1）将绕着点逆时针旋转得到或将绕着点顺时针旋转得到 （2）根据题意，补全图形如下，过点作，交延长线于点， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得， ∴，， ∴是等边三角形，则， ∵， ∴， ∴，， ∴，，即， ∴是等腰三角形，即， ∴， ∴， ∴，即点是的中点； （3）；当取最小值时，点落在线段上，；当取最大值时，点落在的延长线上，． 【解析】 【分析】本题主要考查了几何变换，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，可证，由此即可求解； （2）根据旋转的性质即可作图，过点作，交延长线于点，根据旋转的性质可得是等边三角形，结合垂直的性质可得是等腰三角形，由此可证，即可求解； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，根据全等三角形的判定和性质可证，可求出的取值范围即可． 【详解】解：（1）已知，、均为顶角为的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将绕着点逆时针旋转得到或将绕着点顺时针旋转得到； （2）略 （3）∵是等边三角形， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转，则点与点重合，连接， ∴， ∴是等边三角形，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当取最小值时，如图所示， 点落在线段上，； 当取最大值时，如图所示， 点落在的延长线上，； 综上所述，，当 取最小值时，点落在线段上，；当 取最大值时，点落在 B D 的延长线上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $