精品解析：河北省保定市清苑区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末调研考试 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，共26小题，满分120分．考试时间120分钟； 2．请用黑色钢笔、碳素笔或圆珠笔书写（作图除外） 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1—6小题各3分，7—16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理和总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式由左边到右边的变形中，表述正确的是（ ） ① ② A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解 ②是乘法运算 D. ①是乘法运算 ②是因式分解 3. 若分式的值为零，则（ ） A. B. 5 C. D. 0 4. 语句“x的3倍与7的一半的差是非正数”可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. “在中，和的对边分别是a和b，若，则”．用反证法证明时，应假设（ ） A. B. C. D. 6. 等腰三角形的周长为40cm，其中一边长18cm，则其腰长为（ ） A 18cm或11cm B. 18cm C. 11cm D. 以上都不对 7. 如果方程有增根，那么m的值为（　　） A 1 B. 2 C. 3 D. 无解 8. 一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，则这个多边形的边数是（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 9. 如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 垂直平分 10. 如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，平分，点E是BC的中点，，，，则的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 12. 数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ） 小丽的辅助线作法： 延长DE到F，使EF=DE， 连接DC、AF、FC． 小亮的辅助线作法： 过点E作EBAB， 过点A作AFBC， GE与AF交于点F． A. 小丽和小亮的辅助线作法都可以 B. 小丽和小亮的辅助线作法都不可以 C. 小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以 D. 小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以 13. 如图，五边形ABCDE是正五边形，，若，则（ ） A. 60° B. 56° C. 52° D. 40° 14. 如图，在中，，．将绕点A逆时针旋转得到，交于点E，若图中阴影部分面积为，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 15. 如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 如图1，在平面直角坐标系中，长方形ABCD在第一象限，且BCx轴，直线y＝x﹣3沿x轴负方向平移，在平移过程中，直线被长方形ABCD截得的线段长为l，直线在x轴上平移的距离为m．图2是l与m之间的函数图象，则长方形ABCD的面积为（　　） A. 2 B. 6 C. 8 D. 12 二、填空题（本大题共3个小题，17，18每小题3分，19小题每空2分，共10分．） 17. 已知实数满足，，则值为______． 18. 已知不等式的解集是，则直线与的交点坐标是_________． 19. 数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，，研究，，这三个数的倒数发现：，此时我们称，，为一组调和数． （1）判断：，，______（填“是”或“不是”）一组调和数； （2）现有三个数：，，，若要组成调和数，则的值为______． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. （1）解分式方程． （2）化简，并在，，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值． 21. 如图，是的边上一点，，交于点，若. 求证：四边形是平行四边形. 22. 如图所示，在由正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题： （1）将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； （3）已知与关于点成中心对称，画出对称中心点． 23. 老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． （1）写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； （2）请你写出正确的解答过程． 24. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，点M、P、N分别是边中点，连接，交于点E，交于点F，Q是的中点，连接． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 25. 遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高20%，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台． （1）求，型设备单价分别是多少元？ （2）该校计划购买两种设备共50台，要求型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用． 26. 如图在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为，，，其中a，b满足，过点A作于点D，交y轴于点E． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． （2）求长． （3）在平面内是否存在一点Q，使得B、E、A、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末调研考试 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，共26小题，满分120分．考试时间120分钟； 2．请用黑色钢笔、碳素笔或圆珠笔书写（作图除外） 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1—6小题各3分，7—16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理和总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形定义是解题的关键解题． 根据中心对称图形是图形旋转后能与原图形重合，轴对称图形有对称轴，沿折叠后对称轴两旁的部分互相重合的定义即可选出正确选项． 【详解】、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，有对称轴，也是轴对称图形，故此选项正确． 、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项错误． 故选． 2. 下列各式由左边到右边的变形中，表述正确的是（ ） ① ② A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解 ②是乘法运算 D. ①是乘法运算 ②是因式分解 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查乘法运算以及因式分解，熟练掌握乘法运算以及因式分解的定义是解题的关键．根据乘法运算以及因式分解的定义即可得到答案． 【详解】解：依题意可得，①是因式分解 ②是乘法运算， 故选C． 3. 若分式的值为零，则（ ） A. B. 5 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件列式计算即可． 【详解】解：由题意得：|m|−5＝0且m−5≠0， 解得：m＝−5， 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 4. 语句“x的3倍与7的一半的差是非正数”可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列代数式，然后再列不等式即可．本题考查列代数式与列不等式，掌握列代数式要求和方法与列不等式表示，抓住非正数列不等式是关键． 【详解】解：∵x的3倍与7的一半的差是非正数， ∴可以表示为． 故选：C． 5. “在中，和的对边分别是a和b，若，则”．用反证法证明时，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反证法，掌握反证法的证明步骤是解题的关键．反证法的证明步骤为：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发，经推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不成立． 根据反证法的证明步骤，首先找出命题中的结论，假设结论不成立． 【详解】解：命题“在中，和的对边分别是a和b．若，则”中，结论为“”， 因此反证法证明时，应假设， 故选：B． 6. 等腰三角形的周长为40cm，其中一边长18cm，则其腰长为（ ） A. 18cm或11cm B. 18cm C. 11cm D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】分为两种情况：18cm是等腰三角形的腰或18cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】解：若18cm为等腰三角形的腰长，则底边长为40-18-18=4（cm），此时三角形的三边长分别为18cm，18cm，4cm，符合三角形的三边关系； 若18cm为等腰三角形的底边，则腰长为（40-18）÷2=11（cm），此时三角形的三边长分别为11cm，11cm，18cm，符合三角形的三边关系； ∴该等腰三角形的腰长为18cm或11cm， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 7. 如果方程有增根，那么m的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无解 【答案】A 【解析】 【分析】将分式方程转化为整式方程，求出使最简公分母为0的的值，代入整式方程求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴； ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数的值．解题的关键是掌握分式方程的增根是使整式方程成立，使最简公分母为0的未知数的值． 8. 一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，则这个多边形的边数是（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1620°．n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数． 【详解】解：根据题意，得 （n-2）•180°=360°×4+180°， 解得：n=11． 则这个多边形的边数是11． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解． 9. 如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ） A B. 平分 C. D. 垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定 ，角平分线的性质和定义，先由角平分线的性质可得，再证明得到，根据现有条件，无法证明垂直平分，即可解答． 【详解】解：平分，，， ，故A结论正确，不符合题意； 在和中， ， ， ，故C结论正确，不符合题意； ∴平分，故B结论正确，不符合题意 根据现有条件，无法证明垂直平分，即该结论不一定成立，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组．熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据图象可知，直线在直线的下方，且在x轴下方，对应的x的取值范围即为所求．直线和直线都过点，结合不等式组与函数图象，即可求出不等式的解集． 【详解】∵直线经过点和点，直线过点A，而满足不等式组的图象为如图之间所示的部分， ∴不等式的解集为． 故选：D． 11. 如图，中，平分，点E是BC的中点，，，，则的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，中位线定理，合理作出辅助线是解题的关键． 延长交于点，利用全等三角形的判定方法证出，即可得到，，从而得到，点为中点，再根据中位线求解即可． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴，， ∴，点为中点， ∵点E是的中点， ∴为的中位线， ∴， 故选：B． 12. 数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ） 小丽的辅助线作法： 延长DE到F，使EF=DE， 连接DC、AF、FC． 小亮的辅助线作法： 过点E作EBAB， 过点A作AFBC， GE与AF交于点F． A. 小丽和小亮的辅助线作法都可以 B. 小丽和小亮的辅助线作法都不可以 C. 小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以 D. 小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以 【答案】A 【解析】 【分析】用辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质即可证得． 【详解】解：如图1，延长DE到F，使EF=DE， ∵AE=EC， EF=DE， ∴四边形ADCF为平行四边形 ∴ADCF，AD=CF 又∵BD=AD， ∴BDCF， ∴四边形BDFC是平行四边形， ∴DF=BC ，DFBC， ∴， ∴小丽的辅助线作法可以． 如图2，过点G作GEAB，过点A作AFBC， ∵GEAB，AFBC， ∴四边形ABGF是平行四边形． ∴AB=FG， 在△AEF和△GEC中， ， ∴△AEF≌△CEG（AAS） ∴EF=GE，AE=EC，AF=GC， ∴AD=EF，BD=EG， ∴四边形ADEF、DBGE是平行四边形， ∴DEBC，， ∴小亮的辅助线作法可以． 故选：A． 【点睛】此题考查了中位线定理的证明，解题的关键是构造平行四边形，根据平行四边形的性质去证明． 13. 如图，五边形ABCDE是正五边形，，若，则（ ） A. 60° B. 56° C. 52° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】延长DE，FA交于点H，由正五边形的性质，解得，再由三角形的外角和性质解得，据此代入数值解答即可． 【详解】解：延长DE，FA交于点H，如图， 五边形ABCDE是正五边形， 故选：B． 【点睛】本题考查正五边形性质、两直线平行，内错角相等、三角形的外角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 14. 如图，在中，，．将绕点A逆时针旋转得到，交于点E，若图中阴影部分面积为，则长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题意和旋转的性质可得，，，，则，，由勾股定理得，由，解得，（舍去），则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意和旋转的性质可得，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴，（舍去）， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15. 如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断； 利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断； 利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断． 利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比． 【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， 由作法得AD平分∠BAC，所以①正确； ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确； ∵∠B＝∠BAD， ∴DA＝DB， ∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确； ∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°， ∴CD＝AD， ∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD． ∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD， ∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3， ∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质． 16. 如图1，在平面直角坐标系中，长方形ABCD在第一象限，且BCx轴，直线y＝x﹣3沿x轴负方向平移，在平移过程中，直线被长方形ABCD截得的线段长为l，直线在x轴上平移的距离为m．图2是l与m之间的函数图象，则长方形ABCD的面积为（　　） A. 2 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长BC，AB的长，从而可以求得矩形的面积． 【详解】解：如图1所示，过点B、D分别作yx﹣3的平行线，交CD、AB于点E、F． 由图象和题意可得AD＝7﹣5＝2，BE＝DF， 则AF1， 直线在AB上移动的距离与在AD上移动的距离比为AF:AD=1:2，即直线与长方形的边的交点在垂直方向的移动的距离等于水平方向移动的距离， ∴BF＝（11﹣7）2， ∴AB＝AF+BF＝1+2＝3， ∴矩形ABCD的面积为AB•AD＝3×2＝6． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想，求得的长是解题的关键． 二、填空题（本大题共3个小题，17，18每小题3分，19小题每空2分，共10分．） 17. 已知实数满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，提公因式因式分解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将原式提公因式变形为，再将，整体代入计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 将，代入上式， 可得， ∴的值为， 故答案为：． 18. 已知不等式的解集是，则直线与的交点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入任一函数解析式即可得到结果． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴直线与的交点的横坐标为2， 当时，， 则直线与的交点坐标是． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式与一次函数，解答本题的关键是熟练掌握两个一次函数图象的交点坐标适合这两个一函数解析式． 19. 数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，，研究，，这三个数的倒数发现：，此时我们称，，为一组调和数． （1）判断：，，______（填“是”或“不是”）一组调和数； （2）现有三个数：，，，若要组成调和数，则的值为______． 【答案】 ①. 是 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查新定义的运算，解分式方程，解题的关键是读懂新运算列式求解．本题根据新定义分类讨论列式求解即可得到答案． 【详解】（）解：由题意得， 因为，， 所以， 所以，，是一组调和数， 故答案为：是； （）解：由题意得， 当时， 解得：， 经检验，是原分式方程解； 当， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. （1）解分式方程． （2）化简，并在，，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】（1）；（2），时，原式 【解析】 【分析】（1）去分母，转化为整式方程求解，结果要检验； （2）将分子因式分解，除法转化为乘法，约分，再代值计算，代值时，a的取值不能使原式的分母、除式为0． 本题考查了解分式方程，分式化简求值．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 【详解】解：（1） 方程两边都乘，得． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根； （2） ， 当，0，1，2时，原分式无意义， ∴当时， 原式． 21. 如图，是的边上一点，，交于点，若. 求证：四边形是平行四边形. 【答案】见解析. 【解析】 【分析】首先利用ASA得出△DAF≌△ECF，进而利用全等三角形的性质得出CE=AD，即可得出四边形ACDE是平行四边形； 【详解】∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的判定是本题的关键． 22. 如图所示，在由正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题： （1）将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； （3）已知与关于点成中心对称，画出对称中心点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）根据旋转的性质即可得到结论； （3）连接，交于一点，于是得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 如图所示，点即为所求． 【点睛】本题考查作图旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 23. 老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． （1）写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）小明，小红 （2），过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算， （1）利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答； （2）利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答． 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【小问1详解】 解： 故小明计算错误； 故小红计算错误； 故这个“接力游戏”中计算错误的同学有：小明，小红； 【小问2详解】 正确的解答过程如下： ． 24. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，点M、P、N分别是边的中点，连接，交于点E，交于点F，Q是的中点，连接． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形．理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理： （1）根据三角形中位线定理得到，则由三线合一定理可得； （2）根据三角形中位线定理得到，，则，．再由，得到，则．即可得到，即是等腰三角形． 【小问1详解】 证明：连接． ∵点M，P分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴． 同理可知． 又∵， ∴． ∵Q是的中点， ∴． 【小问2详解】 解：是等腰三角形．理由如下： ∵点M，P分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可得， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴，即是等腰三角形． 25. 遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高20%，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台． （1）求，型设备单价分别是多少元？ （2）该校计划购买两种设备共50台，要求型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】（1），型设备单价分别是元． （2），最少购买费用为元 【解析】 【分析】（1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解； （2）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立一元一次不等式，求得的最小整数解，根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用． 【小问1详解】 解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意得， ， 解得， 经检验是原方程的解， 型设备的单价为元； 答：，型设备单价分别是元． 【小问2详解】 设购买台型设备，则购买型设备台，依题意， ， 解得， 的最小整数解为， 购买总费用为元，， ， ，随的增大而增大， 时，取得最小值，最小值为． 答：最少购买费用为元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键． 26. 如图在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为，，，其中a，b满足，过点A作于点D，交y轴于点E． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． （2）求的长． （3）在平面内是否存在一点Q，使得B、E、A、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，点Q的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，角平分线的性质定理等知识， （1）对变形为，可得即可求解； （2）先证明，可得，即可求解； （3）由（2）可知，，分三种情况进行解析，①当以为平行四边形的边时，构成；②当以为平行四边形的对角线时，构成；③当以为平行四边形的对角线时，构成；分别求出点Q的坐标． 【小问1详解】 解： ，即 点A坐标为，点B坐标为 【小问2详解】 解：由（1）可得，． ∵，． ∴． ，． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ①如解图①，当以为平行四边形的边时，构成， ∴轴，， ∴点Q的坐标为； ②如解图②，当以为平行四边形的对角线时，构成， ∴轴，， ∴点Q的坐标为； ③如图③，当以为平行四边形的对角线时，构成． ∴， ∵为的对角线， ∴． 过点Q作轴于点P， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$