精品解析：山东省聊城市东阿县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

山东省聊城市东阿县2023－2024学年八年级下学期期末数学试题 （时间120分钟 满分120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于的不等式的解集如图，则等于（ ） A. 0 B. C. D. 3 3. 下列化简正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 5. 若为常数且，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A. 17 B. 24 C. 26 D. 28 8. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转角（）至，使得点恰好落在边上，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 关于函数，下列说法正确的是（　　） ①当时，该函数正比例函数； ②若点在该函数图象上，且，则； ③若该函数不经过第四象限，则； ④不论取何值时，该函数图象必过定点． A. ①②④ B. ③④ C. ①②③④ D. ①②③ 10. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与之间的函数图像如图所示，则下列说法中不正确的是（ ） A. 慧慧比聪聪晚出发15秒 B. 慧慧提速后的速度为30厘米/秒 C. D. 从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求写出最后结果） 11. 写出3至4之间的一个无理数______． 12. 如果关于x的方程的解是正数，则k的取值范围是________． 13. 如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，那么的长是___________． 14. 直线与直线交点坐标是，则关于x，y方程组的解是 _____． 15. 如图，将周长为的沿射线方向平移后得到，则四边形的周长为______． 16. 如图，已知点，，，，C为直线EF上一动点，则对角线CD的最小值是________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步槡．） 17 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 解不等式组： 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）点C关于原点O的对称点的坐标为________； （2）画出绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的； （3）点P在x轴的正半轴上，为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标___________． 20. 为响应绿色出行号召，越来越多的市民选择租用共享电动车出行，已知某共享电动车公司为市民提供了手机支付和会员卡两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额（元）与骑行时间（分钟）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： （1）若选择手机支付，则______分钟内免费； （2）若骑行40分钟选择会员卡支付，应付金额______元； （3）试求出时，手机支付金额与的函数表达式； （4）李老师经常骑行共享电动车出行，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 21. 如图，中，，对角线，交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交，于点E，F． （1）求证：； （2）当绕点顺时针旋转多少度时，四边形是菱形，说明理由． 22. 当农业遇上科技，变革正悄然进行．近日，综合种养大棚的零农药水培芹菜、西红柿上市．为了推销这两种蔬菜，小李和他的团队在网上直播带货购入两种蔬菜共400箱，其进货成本、直播成本以及售价如下表： 进货成本（元/箱） 直播成本（元/箱） 售价（元/箱） 西芹 18 4 28 西红柿 24 6 40 已知该直播团队销售这两种蔬菜投入总成本不超过10800元，若所购进的蔬菜全部销售完，则应怎样安排“西芹”和“西红柿”的进货量，可使该团队所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种蔬菜的进货量． 23. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象过点，且与轴及的图象分别交于点C，D，D点坐标为． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）求四边形的面积； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 24. 【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 【猜想结论】 如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）． 【证明结论】（补全横线上说理过程） 因为， 所以①当且仅当，即时， ，所以； ②当，即时，______． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）． 【应用结论】 （1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省聊城市东阿县2023－2024学年八年级下学期期末数学试题 （时间120分钟 满分120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 详解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误． 故选C． 点睛：此题主要中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 若关于的不等式的解集如图，则等于（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得，再由数轴可得，即可求得答案． 【详解】∵， ∴， 由数轴可得， ∴，即． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是利用数轴上的解集求出m的值． 3. 下列化简正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了立方根、算术平方根、二次根式的运算等知识，根据运算法则计算后即可得到答案．直接利用平方根与立方根的性质分别化简得出答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据被开方数为非负数且分母不为 0 ，可求出的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义． 且， 解得：且， 故选：C． 5. 若为常数且，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的相关性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴一次函数的图象在第一、二，四象限． 故选：B． 6. 如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由第一次折叠可知，，则四边为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 7. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A. 17 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，根据题意可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设 根据题意可知，，，， 在中， ，即 解得： 故选：C． 8. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转角（）至，使得点恰好落在边上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，先利用同角的余角相等得到∠ACD=31°，再根据旋转的性质得：CA′=CA，CD，根据三线合一得出∠ACA′=62°，从而得到旋转角的度数． 【详解】如图，作交点为, ∵∠ACB=∠ADC=90°，∠ABC=31°， ∴∠ACD=∠ABC=31°(同角的余角相等)， ∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上， ∴CA′=CA， ∴∠ACA′=2∠ACD＝62°（三线合一）， 即旋转角度为62°． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 9. 关于函数，下列说法正确的是（　　） ①当时，该函数是正比例函数； ②若点在该函数图象上，且，则； ③若该函数不经过第四象限，则； ④不论取何值时，该函数图象必过定点． A. ①②④ B. ③④ C. ①②③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义、一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．根据一次函数的定义、正比例函数的定义、一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征逐项分析求解即可． 【详解】解：当时，，该函数是正比例函数，正确，故①符合题意； 若点在该函数图像上，且， ， ∴随的增大而增大，则正确，故②符合题意； 若该函数不经过第四象限，则． ∴原说法错误，故③不符合题意； 令，则该函数恒过定点，正确，故④符合题意； 故符合题意的有①②④， 故选：A． 10. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与之间的函数图像如图所示，则下列说法中不正确的是（ ） A. 慧慧比聪聪晚出发15秒 B. 慧慧提速后的速度为30厘米/秒 C. D. 从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题关键．根据图像信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图像即可判断D选项． 【详解】解：根据题意，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍，结合图像可知，慧慧比聪聪晚出发15秒，故选项A正确，不符合题意； ∵当秒时，，当秒时，厘米， 故慧慧提速前的速度是厘米/秒， ∵慧慧发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴慧慧提速后速度为30厘米/秒，故选项B正确，不符合题意； 故提速后慧慧行走所用时间为：秒， ∴秒， ∴， 则聪聪的速度为厘米/秒 ∴秒，故选项C正确，不符合题意； 设段对应的函数表达式为， 将点代入，可得 可得， ∴可有， 当时，聪聪和慧慧之间距离最大值为厘米； 当时，设， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， ∴聪聪和慧慧之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 设段对应的函数表达式为， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， 当时，聪聪和慧慧之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 当时，聪聪和慧慧之间距离最大值为厘米． 综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为150厘米，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求写出最后结果） 11. 写出3至4之间的一个无理数______． 【答案】（或等，答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解． 【详解】解：3到4之间的无理数．答案不唯一． 故答案为：． 12. 如果关于x的方程的解是正数，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】解出方程的解为，再根据题意得到，转化为解一元一次不等式即可解答． 【详解】解： 解得 关于x的方程的解是正数， 故答案为：． 【点睛】本题考查方程的解、解一元一次方程、解一元一次不等式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 13. 如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，那么的长是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据勾股定理确定AC的长度，进而确定CD的长度；再根据等腰三角形三线合一的性质确定E为BD中点，再根据中位线的性质求出EF的长度． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵AD=AB，， ∴E为BD中点，AD=6． ∴． 又∵F是BC的中点， ∴EF是的中位线． ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形三线合一的性质和中位线的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键． 14. 直线与直线的交点坐标是，则关于x，y方程组的解是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 把交点坐标代入直线求解得到a的值，再根据方程组的解即为交点坐标解答． 【详解】解：∵直线经过， ∴，解得， ∴交点坐标为， ∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标， ∴关于x，y方程组即的解是． 故答案为． 15. 如图，将周长为的沿射线方向平移后得到，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的基本性质，得出四边形的周长即可得出答案． 【详解】解：根据题意，将周长为的沿向右平移得到， ，，； 又， 四边形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到，是解题的关键． 16. 如图，已知点，，，，C为直线EF上一动点，则的对角线CD的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交于点，根据平行四边形的性质得出点，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，可知当时，取得最小值，勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，设交于点，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∴当时，取得最小值， ∵，， ∴，, ∴是等腰直角三角形， ∴此时直角三角形，且是斜边， ∵, ∴， ∴的对角线的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，勾股定理，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步槡．） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2）24 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）直接利用二次根式的性质分别化简，再合并即可； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则化简得出答案． （3）根据完全平方公式和平方差公式进行运算， 再合并即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别解出两个不等式的解集，然后找出其公共部分即可得不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以，原不等式组的解集为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）点C关于原点O的对称点的坐标为________； （2）画出绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的； （3）点P在x轴的正半轴上，为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标___________． 【答案】（1） （2）图见解析 （3），， 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转，掌握旋转的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数，即可得出结果； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）根据等腰三角形的定义，分三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点C关于原点O的对称点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 如图：即为所求； 【小问3详解】 设，由图可知：， ∴， ①当时，则：，解得：， ∴， ②当时，则：， ∴， ③当时，则：，解得：（舍去）或， ∴； 综上：点坐标为：，，． 20. 为响应绿色出行号召，越来越多的市民选择租用共享电动车出行，已知某共享电动车公司为市民提供了手机支付和会员卡两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额（元）与骑行时间（分钟）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： （1）若选择手机支付，则______分钟内免费； （2）若骑行40分钟选择会员卡支付，应付金额______元； （3）试求出时，手机支付金额与的函数表达式； （4）李老师经常骑行共享电动车出行，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 【答案】（1）15 （2）4 （3） （4）当时，用手机支付较合算，当时，两种支付方式相同，当时，用会员卡支付较合算 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程和一次函数图象及其应用，掌握函数表达式和图象关系是关键． （1）根据图象可知； （2）根据会员卡支付图象过原点，可以设函数关系为：，代入数据可得； （3）根据手机支付图象，可以设函数关系为；，代入数据可得； （4）先求出两种支付金额相同时的时间，再比较不同时间选择哪种支付方式比较合算． 【小问1详解】 解：根据手机支付图象可知，时，． 故答案为：15； 【小问2详解】 解：根据会员卡支付图象过原点，可以设函数关系为：， ∵图象经过， ∴把代入． 得，解得， ∴； 当时，（元）； 【小问3详解】 解：根据手机支付图象，可以设函数关系为：， ∵图象经过和， ∴把和，代入． 得， 解得， 故； 【小问4详解】 解：当两种支付方式金额相同时， ， 解得， 结合图象可知，当时，用手机支付较合算， 当时，两种支付方式相同， 当时，用会员卡支付较合算． 21 如图，中，，对角线，交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交，于点E，F． （1）求证：； （2）当绕点顺时针旋转多少度时，四边形是菱形，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，进而推出，根据全等三角形判定的“”定理即可证明； （2）由（1）知，，推出，得到四边形是平行四边形，求出，根据，推出，根据菱形判定推出即可得到结论． 【小问1详解】 证明：因为中，， 所以． 在和中， 所以， 所以； 【小问2详解】 解：当旋转角时，四边形是菱形，理由如下： 连接，， 因四边形平行四边形， 所以． 由（1）知， 所以四边形是平行四边形， 因为四边形平行四边形，且， 所以． 在中，， 所以是直角三角形，． 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以四边形是菱形． 22. 当农业遇上科技，变革正悄然进行．近日，综合种养大棚的零农药水培芹菜、西红柿上市．为了推销这两种蔬菜，小李和他的团队在网上直播带货购入两种蔬菜共400箱，其进货成本、直播成本以及售价如下表： 进货成本（元/箱） 直播成本（元/箱） 售价（元/箱） 西芹 18 4 28 西红柿 24 6 40 已知该直播团队销售这两种蔬菜投入总成本不超过10800元，若所购进的蔬菜全部销售完，则应怎样安排“西芹”和“西红柿”的进货量，可使该团队所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种蔬菜的进货量． 【答案】西芹进货150箱，西红柿进货250箱，可使该团队所获得的利润最大，最大利润3400元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识点．根据题意正确的列等式和不等式是解题的关键．根据“利润=（销售单价-进货成本-直播成本）×销售数量”列出函数解析式；再根据“投入总成本不超过10800元”求得的范围，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：设该团队进货西芹x箱，获得的总利润为元． 根据题意得： ， 因为该团队投入总成本不超过10800元， 所以， 解得：， 因为， 所以随的增大而减少， 所以当时，取得最大值，最大值为， 则， 所以西芹进货150箱，西红柿进货250箱，可使该团队所获得的利润最大，最大利润3400元． 23. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象过点，且与轴及的图象分别交于点C，D，D点坐标为． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）求四边形的面积； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点，解答此题时，明确二元一次方程组与一次函数的关系，一元一次不等式与一次函数的关系是解决此类问题的关键．第（2）小题中，求不规则图形的面积时，可以利用整体减去部分的方法进行计算． （1）根据点在函数的图象上，即可求出的值；再利用待定系数法求出的值； （2）用三角形的面积减去三角形的面积即可； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：因为点在直线上， 所以． 因为一次函数经过点、点， 所以， 解得：． 故一次函数的解析为； 【小问2详解】 解：直线与轴交于点，令，得：，解得：， 所以． 因为函数的图象与轴交于点，所以令，得：，所以． 因为，所以，所以． ， 所以； 【小问3详解】 解：在函数中，令，得：，所以函数与x轴交点为． ∵点， ∴结合函数图象可得当时，． 24. 【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 【猜想结论】 如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）． 【证明结论】（补全横线上的说理过程） 因为， 所以①当且仅当，即时， ，所以； ②当，即时，______． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）． 【应用结论】 （1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？ 【答案】【证明结论】；【应用结论】（1）当时，函数的值最小，最小值是2；（2）当时，函数的值最小，最小值是7；【拓展应用】（3）米，米 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、算术平方根、利用平方根解方程、解分式方程等知识点，熟练掌握完全平方公式和算术平方根是解题关键，规律的总结和应用，能够结合实际问题熟练应用规律是解决本题的关键． 证明结论：根据题目中思路解答即可； 应用结论：（1）根据题目中给的结论将函数式进行变式，即可求出最小值； （2）先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值； （3）由题意得：篱笆的总长度为米，先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值，可求出钢丝网的最短长度． 【详解】解：证明结论： 因为， 所以，所以． 所以①当且仅当，即时， ，所以； ②当，即时，所以． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）． 故答案为：； 应用结论： （1）根据结论可知， 所以函数的最小值为2， 此时， 解得：或（舍去）， 所以，当时，函数的值最小，最小值是2． （2）根据结论可知， 所以函数的最小值为7， 此时，，解得，或4（舍去）， 所以当时，函数的值最小，最小值是7． （3）由题意得：篱笆的总长度为米． 因为， 所以蓠笆总长度最短为米， 此时，， 所以， 答：为米时，所用篱笆总长度最短，最短长度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$