精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 本试卷共8页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图题可先使用2B铅笔填涂，然后用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则的值等于 A. B. C. D. 3. 若平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 一个球的体积和表面积的数值相等，则该球的半径为（ ） A. B. C. 3 D. 12 5. 如图，若正八边形的边长为是的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，平面，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 共面 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的表达式可以写成 D. 若关于的方程在上有且只有4个实数根，则 11. 如图，已知正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，点在侧面内，则以下说法正确的有（ ） A. 平面 B. 过点作正方体的截面，所得截面的面积是 C. 点到平面的距离为 D. 若平面，则点的轨迹长度为 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上． 12. 已知向量，若与垂直，则______． 13. 若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的值可以为______．（写出一个符合题意的值即可） 14. 平行六面体中，，点为的中点，则点到直线的距离为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若边上的中线的长为3，求的面积． 17. 如图，在平行四边形中，，与相交于点，设． （1）用分别表示； （2）求的余弦值． 18. 已知向量，函数． （1）求函数的周期及对称中心； （2）若，且，求的值； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．当时，恒成立，求实数的取值范围． 19. 如图1，在直角梯形中，，为的中点，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，如图2，为的中点，是上的动点（与点不重合），是上的动点（与点不重合）． （1）证明：平面； （2）若点在平面内，当最小时，求； （3）是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 本试卷共8页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图题可先使用2B铅笔填涂，然后用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念，即可得出答案. 【详解】根据共轭复数的概念，可知复数的共轭复数为. 故选：C. 2. 已知角的终边经过点，则的值等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义可求出的值. 【详解】由三角函数的定义可得，故选A. 【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题. 3. 若平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量相等即可求解. 【详解】 令顶点的坐标为，又 所以， 如图易知，在平行四边形中， 所以，解得，所以顶点的坐标为， 故选：A. 4. 一个球的体积和表面积的数值相等，则该球的半径为（ ） A. B. C. 3 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的体积及表面积公式计算即可. 【详解】设球的半径为, 则,所以. 故选：C. 5. 如图，若正八边形的边长为是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点A为坐标原点，分别以所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，求得相关向量的坐标，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】，以点A为坐标原点，分别以所在直线为x，y轴， 建立平面直角坐标系，如图所示． 正八边形内角和为， 则，所以 所以，，， 所以，， 所以 ， 故选：A． 6. （ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切的两角和差公式即可得解； 【详解】因为， 所以， 故选：B. 7. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，由正弦定理可得，然后在中，由，即可得到结果. 【详解】在中，， 由正弦定理可得，，则， 在中，. 故选：C 8. 如图，在三棱锥中，平面，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形特征，取中点，连接，通过线面垂直的性质与判定得到面，因而是与平面所成角，再通过相关计算，在直角三角形中计算其正弦值即可. 【详解】如图，取中点，连接，令. 因为面，面， 所以， 又因为， 所以， 因为面，面， 所以， 又因为，所以， 因为面，， 所以面， 因为面， 所以， 因为面， 所以面， 所以是与平面所成角， 因为，..， 所以, 由已证知，面，因为面， 所以， 所以， 因为面，面， 所以， 所以， 所以， 由已证知，面， 又因为面，所以 所以， 即与平面所成角的正弦值是.    故选：B． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 共面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由选项BC知，向量两两垂直，则不共面，D错误. 故选：BC 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的表达式可以写成 D. 若关于的方程在上有且只有4个实数根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象过，，建立方程组求出的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可. 【详解】由函数图象可知，， 因为在，附近单调递增， 所以，，， 又因为，所以，， 所以，A说法正确； 当时，， 所以由在单调递减可知在上单调递减，B说法正确； 因为，所以C说法错误； 令得，解得或， 方程在上有且只有4个实数根，从小到大依次为， 而第5个实数根为，所以，D说法正确； 故选：ABD 11. 如图，已知正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，点在侧面内，则以下说法正确的有（ ） A. 平面 B. 过点作正方体的截面，所得截面的面积是 C. 点到平面的距离为 D. 若平面，则点的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，坐标法证明即可得证；对于B，通过平行画出截面为正六边形，计算面积即可；对于C，利用向量法即可计算得到点到平面距离；对于D，通过面面平行，找到平面的交线，从而确认动点的运动轨迹，即可得解. 【详解】对于A，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    ，，，，，， 则，， ，，， 所以，， 则平面，故A正确； 对于B，作中点，的中点，的中点， 连接，，，，， 则正六边形为对应截面面积， 正六边形边长为， 则截面面积为：，故B错误； 对于C，由A选项知，向量为平面的法向量， 且，， 所以到平面的距离为 ，故C错误； 对于D，取BC中点R，CC1中点T，所以相交， 所以平面平面，即平面平面， 由B选项知，当动点在上运动时，平面，总是会有平面， 所以若平面，则点的轨迹为，， 故D正确； 故选：AD 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上． 12. 已知向量，若与垂直，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再依题意可得，即可得到方程，解方程即可得解. 【详解】因为，所以， 又与垂直，所以， 即， 解得， 故答案为：1 13. 若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的值可以为______．（写出一个符合题意的值即可） 【答案】（填范围内任意一个实数即可） 【解析】 【分析】先进行化简，再根据复数的几何意义，得到不等式，解题即可. 【详解】，由于复数在复平面内对应的点位于第二象限. 则，解得. 故所求可以是范围内任意一个实数即可. 故答案为：（填范围内任意一个实数即可）. 14. 平行六面体中，，点为的中点，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】选取作为空间一组基底，用基底表示，求出模，运用公式可以求解. 【详解】如图所示，根据题意，选取作为空间一组基底. 则，同理，. ， ， ; ; ； 则， 点到直线的距离. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）取的中点，连接， ∵为的中点，∴且， ∵为的中点，∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形，∴. 又∵平面平面， ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，判断四边形为平行四边形，进而可求证； （2）由点到平面的距离等于点到平面的距离，得到，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，∴， ∴. 在直三棱柱，易知平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离， ∴， 又∵平面， ∴. 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若边上的中线的长为3，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，可求出角的大小； （2）根据为为上的中线得，结合余弦定理求出，进而求出面积. 【小问1详解】 ，由正弦定理可知，． 又， ， 又，又． 【小问2详解】 为边上的中线，， ． 由余弦定理可得，即， ，． 17. 如图，在平行四边形中，，与相交于点，设． （1）用分别表示； （2）求的余弦值． 【答案】（1），，； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量线性运算法则即可得解； （2）法一：由（1）首先求出的模长和，然后再由夹角公式计算可得；法二：建立坐标系，求出相应点坐标，首先求出的模长和，然后再由夹角公式计算可得。 【小问1详解】 在平行四边形中，， 又，所以 所以， 又，所以 所以， 过作交于， ，所以 【小问2详解】 解法1：， ， 且在中， 为等边三角形，， ． 解法2：如图所示建系 则， ， ， ， 18. 已知向量，函数． （1）求函数的周期及对称中心； （2）若，且，求的值； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），对称中心为； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）先倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期的计算公式以及对称中心的求法即可求解； （2）先求得、，再将所求转化为，再结合正弦两角差公式即可求解； （3）先求解析式，然后将恒成立问题，参变量分离后，转化为最值问题即可求解. 【小问1详解】 ． ， 令． 对称中心为； 【小问2详解】 由（1）知，， ，又， ， ． 【小问3详解】 由（1）知，， 由题意，， 当时，， 恒成立恒成立． ． 19. 如图1，在直角梯形中，，为的中点，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，如图2，为的中点，是上的动点（与点不重合），是上的动点（与点不重合）． （1）证明：平面； （2）若点在平面内，当最小时，求； （3）是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 平面， 平面，因为平面， ， 是中点，， 平面，面． （2）； （3） 假设存在点满足题意，平面平面， 平面平面，平面，平面， 如图所示建系， ，设， 设平面法向量为， ，即， ， 又平面的法向量为， ，满足． 即此时为线段上靠近点的四等分点． 【解析】 【分析】（1）先用线面垂直证明线线垂直，然后利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用三点共线时最小，然后结合余弦定理即可求出最小值； （3）建立空间直角坐标系，用参数表示点的坐标，用平面与平面的夹角余弦值建立关于参数的方程，解方程即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长至点，使得，由（1）可知，平面，又平面， 平面平面， ， 当，且时，最小， ， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $