专题02 充分条件、必要条件、充要条件重难点题型专训（11大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题02 充分条件、必要条件、充要条件重难点题型专训（11大题型+20道拓展培优） 题型一 判断命题的充分不必要条件 题型二 根据充分不必要条件求参数 题型三 判断命题的必要不充分条件 题型四 根据必要不充分条件求参数 题型五 充要条件的证明 题型六 探求命题为真的充要条件 题型七 根据充要条件求参数 题型八 原命题与逆否命题等价性的应用 题型九 己知命题的真假求参数 题型十 充分条件的判定及性质 题型十一 必要条件的判定及性质 知识点01：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【经典例题一 】判断命题的充分不必要条件 【例1】（24-25高二上·上海·课堂例题）对于数列，“”是“为减数列”的（    ） A． 充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 1．（23-24高二下·天津和平·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）一个四边形是平行四边形，一个四边形是正方形，则是的 条件.（填“充分非必要”“必要非充分”或“既非充分又非必要”） 3．（20-21高一·江苏·课后作业）已知集合A＝{x|x＞5}， B＝{x|x＞3}，则“x∈A”是“x∈B”的什么条件？ 【经典例题二 】根据充分不必要条件求参数 【例2】（23-24高二下·山东青岛·期中）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·天津北辰·阶段练习）已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【经典例题三 】判断命题的必要不充分条件 【例3】（23-24高一下·云南·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中，p是q的必要条件的是 ． （1）p：x>2且y>3，q：x＋y>5； （2）p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 3．（20-21高三下·全国·自主招生）已知周期为，则命题“”是命题“恒为”的什么条件？ 【经典例题四 】根据必要不充分条件求参数 【例4】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 1．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ； 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【经典例题五 】充要条件的证明 【例5】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1．（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023高一·全国·专题练习）设，则“”是“”的 条件. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数.请判断：p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?“若p，则q”的命题满足上面条件，你能用数学语言概括出来吗? 【经典例题六 】探求命题为真的充要条件 【例6】（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 1．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 2．（2023高一·上海·专题练习）不等式成立的充要条件是 . 3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求成立的充要条件． 【经典例题七 】根据充要条件求参数 【例7】（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．（22-23高一上·上海长宁·期中）“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 3．（20-21高一上·江苏·期中）已知，恒成立，． （1）求集合； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【经典例题八 】原命题与逆否命题等价性的应用 【例8】（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 1．（2023·甘肃兰州·模拟预测）设，，则“或”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（21-22高二上·浙江·期末）命题“全等三角形一定相似”的逆命题是 ．它的逆命题，否命题，逆否命题三个命题中真命题的个数有 个． 3．（18-19高一·全国·课后作业）写出下列命题的逆否命题，并判断其真假： （1）若，则或； （2）若，则且． 【经典例题九 】己知命题的真假求参数 【例9】（20-21高二上·陕西西安·期末）若命题：，是真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1．（19-20高一上·辽宁沈阳·阶段练习）设命题p：函数的定义域为R，命题q：函数的值域为R，若命题p、q有且仅有一个正确，则c的取值范围为（    ） A． B． C． D．R 2．（23-24高三上·北京丰台·期中）能说明命题“对于任意，”为假命题的一组整数的值依次为 ．（表示实数中的最大值） 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【经典例题十 】充分条件的判定及性质 【例10】（2020高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·北京通州·期中）有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·江苏连云港·期中）是的 条件（从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填）. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）【思考】若p是q的充分条件，那么p是唯一的吗？举例说明. 【经典例题十一 】必要条件的判定及性质 【例11】（22-23高一上·江苏苏州·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·山东·期中）写出的一个必要不充分条件是 . 3．（19-20高一·全国·课后作业）若是的充分不必要条件，是的必要条件，又是的充要条件，是的必要条件，则是的什么条件？ 1．（23-24高二下·浙江·期末）设为实数，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024高三上·全国·竞赛）设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（21-22高一上·上海宝山·期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 5．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）下列说法正确的是（    ）． A．， B．，都有 C．设，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 7．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（    ） A．集合 B．集合的非空真子集的个数是30个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 8．（22-23高一上·黑龙江大庆·阶段练习）有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是假命题的是（    ） A．的充要条件是“” B．“”的充要条件是“” C．“”的必要不充分条件是“” D．“”的充要条件是“” 9．（2023高一·全国·专题练习）有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是假命题的是（ ） A．“”的充要条件是“" B．“”的充要条件是“” C．“”的必要不充分条件是“” D．“”的充要条件是“” 10．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 C．方程有唯一解的充要条件是 D．表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，则“”是“”的充要条件 11．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列命题中，p是q的充分条件的是 ． ①p：，q：； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根． 12．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 13．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 14．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 15．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 16．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知p:关于x的方程有实数根，． (1)若命题是假命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 17．（24-25高一上·上海·课后作业）设是方程的两个实根，试分析，是两根均大于1的什么条件？ 18．（24-25高一上·上海·单元测试）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）用“”表示下列陈述句与之间的推出关系： (1)：，：； (2)：既是2的倍数又是5的倍数，：是10的倍数； (3)：是偶数，：是偶数． 20．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 充分条件、必要条件、充要条件重难点题型专训（11大题型+20道拓展培优） 题型一 判断命题的充分不必要条件 题型二 根据充分不必要条件求参数 题型三 判断命题的必要不充分条件 题型四 根据必要不充分条件求参数 题型五 充要条件的证明 题型六 探求命题为真的充要条件 题型七 根据充要条件求参数 题型八 原命题与逆否命题等价性的应用 题型九 己知命题的真假求参数 题型十 充分条件的判定及性质 题型十一 必要条件的判定及性质 知识点01：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【经典例题一 】判断命题的充分不必要条件 【例1】（24-25高二上·上海·课堂例题）对于数列，“”是“为减数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】充分性：若成立，则，所以必为减数列． 必要性：若为减数列，但可能不成立，如：，，，，，…必要性不成立， 所以“”是“为减数列”的充分非必要条件． 故选A． 1．（23-24高二下·天津和平·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式，显然， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）一个四边形是平行四边形，一个四边形是正方形，则是的 条件.（填“充分非必要”“必要非充分”或“既非充分又非必要”） 【答案】充分非必要 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由一个四边形是平行四边形不一定是正方形，故由推不出， 即不是的必要条件； 由一个四边形是正方形一定能得到这个四边形是平行四边形，故由推得出， 故是的充分条件， 所以是充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 3．（20-21高一·江苏·课后作业）已知集合A＝{x|x＞5}， B＝{x|x＞3}，则“x∈A”是“x∈B”的什么条件？ 【答案】充分不必要条件 【分析】利用充分不必要条件的定义，即得. 【详解】∵集合A＝{x|x＞5}，B＝{x|x＞3}， 由图易知“x∈A”可推出“x∈B”， “x∈B”推不出“x∈A”，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件． 【经典例题二 】根据充分不必要条件求参数 【例2】（23-24高二下·山东青岛·期中）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分条件的定义求解. 【详解】解：由得：， 因为成立的充分条件是， 所以，即， 解得， 故选：D 1．（23-24高一上·天津北辰·阶段练习）已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分不必要条件的定义求出a的取值范围. 【详解】因为p是q的充分不必要条件，则，于是， 所以a的取值范围是. 故选：C 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用给定条件得到，，再转化为子集问题求解即可. 【详解】若是的充分不必要条件，则，， 故有，解得，又，故. 故答案为： 3．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】或 【分析】令，或，依题意可得真包含于，即可得到不等式（组），解得即可. 【详解】令，或， 因为是的充分不必要条件，所以真包含于， 所以或，解得或， 故的取值范围为或． 法二：由真包含于，可得如下两种情况， 结合数轴得或， 解得或， 故的取值范围为或． 【经典例题三 】判断命题的必要不充分条件 【例3】（23-24高一下·云南·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解不等式，再根据充分条件必要条件的定义判断即可. 【详解】因为， 所以是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中，p是q的必要条件的是 ． （1）p：x>2且y>3，q：x＋y>5； （2）p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 【答案】（2） 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】（1）由于x＋y>5推不出x>2且y>3，故p不是q的必要条件． （2）由四边形是正方形可以推出四边形的四个角都相等，故p是q的必要条件． 故答案为：（2） 3．（20-21高三下·全国·自主招生）已知周期为，则命题“”是命题“恒为”的什么条件？ 【答案】必要不充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若恒为，则，故必要性成立； 下面构造函数：，可得充分性不成立； 故命题是命题的必要不充分条件． 【经典例题四 】根据必要不充分条件求参数 【例4】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题的真假可得参数的取值范围，进而确定其必要不充分条件. 【详解】由命题“，”为真命题， 得，所以， 所以为该命题的一个必要不充分条件. 故选：. 1．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的的值即可． 【详解】由题，，， 当时，有，符合题意； 当时，有，此时，所以或，所以. 综上，实数的所有可能的取值组成的集合为. 故选：A. 2．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ； 【答案】 【分析】根据必要不充分条件的定义求得的取值范围后可得． 【详解】或， 由题意得， 所以的最大值是． 故答案为：． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用给定条件将问题转化为子集问题求解即可. 【详解】因为是的充分非必要条件， 所以， 所以，即. 【经典例题五 】充要条件的证明 【例5】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】先由求出，然后利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】若，则，或，所以，或. 当时，，不满足集合中元素的互异性，故； 当时，， 故由，可得； 反之，当时，显然也成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 1．（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用不等式的性质及二次不等式的解法即可得证. 【详解】先证： 因为，所以，，故，即，故； 再证： 因为，所以，即，故； 综上：“”是“”的充分必要条件. 故选：C 2．（2023高一·全国·专题练习）设，则“”是“”的 条件. 【答案】充要 【分析】判断“”和“”之间的推出关系，即可得答案. 【详解】当时，可得，当时，也可得出， 故“”是“”的充要条件， 故答案为：充要 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数.请判断：p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?“若p，则q”的命题满足上面条件，你能用数学语言概括出来吗? 【答案】答案见解析 【分析】根据充分条件及必要条件判断即可. 【详解】因为p：整数a是6的倍数，则该整数a一定是2和3的倍数，故p是q的充分条件， 又因为q：整数a是2和3的倍数，则该整数a是6的倍数，故p是q的必要条件. 数学语言概括：，即. 【经典例题六 】探求命题为真的充要条件 【例6】（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 1．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】分别验证充分性和必要性得到答案. 【详解】若是方程的根，则； 若，则，即是方程的根. 综上所述：关于的方程有一个根是1是的充要条件. 故选：A. 2．（2023高一·上海·专题练习）不等式成立的充要条件是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质及充要条件的定义求解． 【详解】因为，要保证分母不等于0，所以a、b不能同时为0，即， 所以，两边平方得，此不等式恒成立. 故答案为：． 3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求成立的充要条件． 【答案】 【分析】根据充要条件的定义分析求解即可 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 当时，成立， 所以在的条件下，成立的充要条件是. 【经典例题七 】根据充要条件求参数 【例7】（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 1．（22-23高一上·上海长宁·期中）“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系. 【详解】解：关于的不等式的解集为，当时，不等式为，解集为，符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；综上， 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充要条件. 故选：C. 2．（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】3 【分析】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值. 【详解】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 3．（20-21高一上·江苏·期中）已知，恒成立，． （1）求集合； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由，恒成立，即△，解得即可求得集合． （2）由是的必要不充分条件，则，根据集合之间的关系，即可求出的范围． 【详解】解：（1），恒成立， △，得到， ． （2）因为是的必要不充分条件，所以， 当，即，所以， 当，即， 所以，，即， ，即， 所以， 综上所述：． 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用充分必要条件的定义进行判断求解，属于基础题． 【经典例题八 】原命题与逆否命题等价性的应用 【例8】（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用命题与逆否命题的关系判断. 【详解】设为不到长城，推出为非好汉，即， 则，即好汉到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件. 故选：B． 1．（2023·甘肃兰州·模拟预测）设，，则“或”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由原命题和逆否命题同真假，把问题转化为判断“”是“且”的什么条件，利用充分条件和必要条件的定义验证即可. 【详解】问题可等价转化为判断“”是“且”的什么条件． 时，可以，不能推出且； 反之，当且时，一定有. 因此“”是“且”的必要不充分条件， 从而“或”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 2．（21-22高二上·浙江·期末）命题“全等三角形一定相似”的逆命题是 ．它的逆命题，否命题，逆否命题三个命题中真命题的个数有 个． 【答案】 相似三角形一定全等 【分析】根据原命题与逆命题之间的关系可写出原命题的逆命题，判断原命题与逆命题的真假，由此可得出结论. 【详解】命题“全等三角形一定相似”的逆命题是“相似三角形一定全等”，原命题为真，逆命题为假， 所以，原命题的逆命题，否命题，逆否命题三个命题中有且只有个真命题. 故答案为：相似三角形一定全等；. 3．（18-19高一·全国·课后作业）写出下列命题的逆否命题，并判断其真假： （1）若，则或； （2）若，则且． 【答案】（1）若且，则；真命题 （2）若或，则；真命题 【分析】若则的逆否命题是：若则，由此写出原命题的逆否命题，根据原命题的真假性，判断出逆否命题的真假性. 【详解】（1）原命题为真命题，故其逆否命题是真命题，且逆否命题为：若且，则； （2）原命题为真命题，故其逆否命题是真命题，且逆否命题为：若或，则. 【点睛】本小题主要考查写出原命题的逆否命题，考查原命题和逆否命题真假性相同，属于基础题. 【经典例题九 】己知命题的真假求参数 【例9】（20-21高二上·陕西西安·期末）若命题：，是真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据命题为真命题，转化为，恒成立求解. 【详解】因为命题为真命题，即，恒成立， 即，恒成立， 而，当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：B 1．（19-20高一上·辽宁沈阳·阶段练习）设命题p：函数的定义域为R，命题q：函数的值域为R，若命题p、q有且仅有一个正确，则c的取值范围为（    ） A． B． C． D．R 【答案】B 【分析】先求出命题p和命题q，然后根据命题p、q的取值范围和命题p、q有且仅有一个正确，来确定c的取值范围． 【详解】命题p：函数的定义域为R， 的解集为R， ，即命题p：． 函数的值域为R， 能取到所有大于零的值 这就要求抛物线的值域包括这一范围 由于其开口向上，只需判别式大于等于零 所以，即命题q：． 命题p、q有且仅有一个正确， 的取值范围为． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．属于基础题. 2．（23-24高三上·北京丰台·期中）能说明命题“对于任意，”为假命题的一组整数的值依次为 ．（表示实数中的最大值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】依据题意找出反例即可. 【详解】，且时，，而，两式不相等，或时也使得， 不妨使即可. 故答案为：. 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2){或}． 【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答; （2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答． 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题， 即关于的方程无实数根， 因此，，解得， 所以实数的取值范围是， （2）由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是的必要不充分条件，则， 当即时，，满足题意， 当即时， 则， 所以实数的取值范围是{或}． 【经典例题十 】充分条件的判定及性质 【例10】（2020高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】依题意，，解不等式，得， 由不等式成立的充分条件是，得， 于是，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 1．（23-24高一上·北京通州·期中）有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合新定义以及集合交集、子集的含义即可判断. 【详解】因为，所以，又因为都为有限集合， 所以，则正向可以推出， 若，举例，，但，则反向无法推出， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏连云港·期中）是的 条件（从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填）. 【答案】充分条件 【分析】解出绝对值不等式，再根据充分条件的判定即可. 【详解】，解得或，则是的充分条件， 故答案为：充分条件. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）【思考】若p是q的充分条件，那么p是唯一的吗？举例说明. 【答案】答案见解析 【分析】根据充分条件定义理解判断即可. 【详解】不是，如都是的充分条件. 【经典例题十一 】必要条件的判定及性质 【例11】（22-23高一上·江苏苏州·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案. 【详解】解：由，可得或； 由可得且， 所以由不能推出，但由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件，必要条件的关系，结合能否取0进行判断即可． 【详解】时，可能，此时无法推出， 而时，隐含，两边同时乘以，得到． 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（23-24高一上·山东·期中）写出的一个必要不充分条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】化简条件，再利用充分条件与必要条件的定义即可求解. 【详解】由，等价于， 则不能能推出，能推出， 则是的必要不充分条件， 即的必要不充分条件是. 故答案为：（答案不唯一） 3．（19-20高一·全国·课后作业）若是的充分不必要条件，是的必要条件，又是的充要条件，是的必要条件，则是的什么条件？ 【答案】是的必要不充分条件． 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断即可求解. 【详解】因为是的充分条件，所以由能推出； 又是的充要条件，所以由能推出； 因此由能推出，即是的必要条件； 因为是的不必要条件，所以不能推出； 又是的充要条件，所以由能推出； 因此不能推出， 所以是的必要不充分条件. 1．（23-24高二下·浙江·期末）设为实数，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】若，而，则，充分性成立， 取，，此时，但，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 2．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可. 【详解】如果，比如，则有， 根据定义，， 即“”不是“”的充分条件， 如果，则有， ，所以“”是“”的必要条件； 故“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 3．（2024高三上·全国·竞赛）设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用集合相等的定义得到关于的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性也成立即可得解. 【详解】因为， 当时，则有，或， 若，显然解得； 若，则，整理得， 因为，， 所以无解； 综上，，即充分性成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 4．（21-22高一上·上海宝山·期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】先证充分性，由求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 5．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为， 所以，即， 显然， 所以，所以，且， 所以是与互补的充分条件； 当与互补时，则有，且， 所以，中至少有一个数为0， 所以，， 所以， 所以是与互补的必要条件； 所以是与互补的充要条件. 故选：C. 6．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）下列说法正确的是（    ）． A．， B．，都有 C．设，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】根据特称命题真假判断判断A；全称命题真假判断和特殊值判断B；根据充分条件和必要条件的定义判断C、D. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B错误； 对于C，且则，则，则且能推出“”， 反之，当时，例，符合要求，不能推出且， 故“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，等价于且，所以不能推出， 反之能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故D正确， 故选：AD. 7．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（    ） A．集合 B．集合的非空真子集的个数是30个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】A选项，根据定义判断；B选项，根据集合中的元素个数计算；C选项，根据“”是“”的充分不必要条件得到是的真子集，然后求的范围即可；D选项，分和两种情况分析即可. 【详解】时，时，， 时，，时，， 时，，时，， ，集合的非空真子集有个，所以A，B错误． 又若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，所以，C正确． 若，则时，； 时，， 综上，D正确． 故选：CD. 8．（22-23高一上·黑龙江大庆·阶段练习）有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是假命题的是（    ） A．的充要条件是“” B．“”的充要条件是“” C．“”的必要不充分条件是“” D．“”的充要条件是“” 【答案】BCD 【分析】A. 由得到集合A，B没有公共元素判断；B.由得到集合A的元素都是集合B中的元素判断；C.由包含判断；D.由得到集合A的元素与集合B中的元素和个数都相同判断. 【详解】A. 即集合A，B没有公共元素，故正确； B. 即集合A的元素都是集合B中的元素，则，反之由元素个数不能判断，故错误； C. 包含，故错误； D. 即集合A的元素与集合B中的元素和个数都相同，但个数相同，元素不一定相同，故错误， 故选：BCD 9．（2023高一·全国·专题练习）有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是假命题的是（ ） A．“”的充要条件是“" B．“”的充要条件是“” C．“”的必要不充分条件是“” D．“”的充要条件是“” 【答案】BCD 【分析】根据并集和子集的定义，以及通过举例的方法，判断选项. 【详解】由，则中元素个数为集合A，B的元素之和，即，充分性成立； 由，即中元素个数为集合A，B的元素之和，则，必要性成立，A对； 由，若，但不成立，必要性不成立，B错； 由，若，此时，故不是的必要条件，C错； 由，若，但不成立，D错. 故选：BCD 10．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 C．方程有唯一解的充要条件是 D．表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，则“”是“”的充要条件 【答案】AB 【分析】根据集合间的包含关系可知“”是“”的必要不充分条件，即A正确；由充分条件、必要条件的推出关系可知B正确；易知当时，方程有唯一解满足题意可得C错误；取特殊值可知，必要性不成立，即D错误. 【详解】对于A，利用集合间的包含关系可知， 所以推不出，但，即可知“”是“”的必要不充分条件，即A正确； 对于B，若是的必要不充分条件，则，而推不出， 又是的充要条件，则，所以可得,而推不出，所以可得是的充分不必要条件，即B正确； 对于C，当时，方程即为，此时方程有唯一解，满足题意，因此C错误； 对于D，依题意可得，若，可得，所以充分性成立， 若取，此时满足，且，不能得到，所以必要性不成立，即D错误. 故选：AB 11．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列命题中，p是q的充分条件的是 ． ①p：，q：； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根． 【答案】③ 【分析】根据充分条件定义判断各个选项即可. 【详解】①,则或，不能推出. ∴p不是q的充分条件．     ② ∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件． ③则∴方程无实根，∴p是q的充分条件． 故答案为：③. 12．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得对应的集合是对应的集合的真子集，进而可得出答案. 【详解】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可. 【详解】由已知得，. 设,， 若是的充分不必要条件，则，， 所以集合是集合的真子集. 所以． 故答案为：. 14．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别把不等式表示为集合形式，将必要不充分条件转化为集合间的真包含关系，从而得到结果. 【详解】设，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 15．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由必要条件得，进而有A可能为，，，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可. 【详解】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由必要条件确定集合A的可能情况，根据其描述求集合A中元素的范围，再综合所得考虑参数范围. 16．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知p:关于x的方程有实数根，． (1)若命题是假命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题是假命题，可得命题是真命题，则由，求出的取值范围； （2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为命题是假命题，则命题是真命题， 即关于的方程有实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（24-25高一上·上海·课后作业）设是方程的两个实根，试分析，是两根均大于1的什么条件？ 【答案】必要非充分条件 【分析】利用韦达定理结合不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可. 【详解】由韦达定理，， 判定条件结论 （注意条件中，、需满足） ①由得，，所以． ②为了证明，可以举出反例 取，，满足，，但不成立． 综上可知，是两根均大于1的必要非充分条件． 18．（24-25高一上·上海·单元测试）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】利用是的充分非必要条件得到集合间的关系，进而得到关于实数的不等式组，解不等式即可. 【详解】解：因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 所以或解得． 即实数的取值范围是． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）用“”表示下列陈述句与之间的推出关系： (1)：，：； (2)：既是2的倍数又是5的倍数，：是10的倍数； (3)：是偶数，：是偶数． 【答案】(1)，． (2)，． (3)，． 【分析】（1）求解方程即可. （2）利用偶数和倍数的性质求解即可. （3）利用偶数的性质求解即可. 【详解】（1）若，则，那么必有，∴； 反之，若，则，不能推出，综合得，． （2）“既是2的倍数又是5的倍数”，则有“是10的倍数”， 反之显然也成立．综合得，． （3）若是偶数，则、同为偶数或、同为奇数， 若、同为偶数，根据偶数的三次幂为偶数，且偶数与偶数的和为偶数， 可知也为偶数；同理，若与同为奇数，根据奇数的三次幂为奇数， 且奇数与奇数的和为偶数，可知也为偶数，∴； 反之，当是偶数时，有、同奇或同偶，∴与同奇或同偶． ∴为偶数，∴．综合得，． 20．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” (2)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断即可. （2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； 【详解】（1）因为， 对于集合，令，解得，显然，， 所以是集合的“期待子集”； 对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集” （2）先证明必要性： 当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则，即条件中的①成立； 又，所以，即条件中的②成立； 因为， 所以为偶数，即条件中的③成立； 所以集合满足条件. 再证明充分性： 当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 所以， 因为，，，所以，，均属于， 即集合是集合的“期待子集” 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 学科网（北京）股份有限公司 $$