2024年七年级数学暑假预习课讲义第九讲 有理数的乘方

七年级暑假预习课讲义 第九讲 有理数的乘方 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 乘方的意义 1.求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即 2.乘方的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）零的正整数次幂都是零。 【注意】（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写。 （2） 与乘方有关的探求规律问题是一类重要类型题。 例1-1 .代数式可以表示为（    ） A． B． C． D．n2 例1-2 .表示的意义是（    ） A．2个6相乘的相反数 B．6个2相乘 C．6个2相乘的相反数 D．6个相乘 知识点2乘方的运算 1. 乘方的运算 利用乘方的定义将有理数的乘方运算转化为乘法运算，先确定符号，再计算幂的绝对值。 例2-1 .的值为 ． 例2-2.下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 例2-3 .生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 2.乘方的逆运算 例2-4.一个数的平方为16，则这个数是（   ） A．4 B．-4 C．4或-4 D．8或-8 例2-5 .若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点3 有理数的四则混合运算 再先乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 例3-1 .在计算时，首先计算的应该是（） A． B． C． D． 例3-2 .计算与解释． 小杨同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ 根据小杨同学的计算过程，回答下列问题： (1)他的计算过程是否正确？__________（填写“正确”或“错误”）； (2)如有错误，他在第__________步出错了（只填写序号），并请写出正确的解答过程． 知识点4 有理数四则运算的应用 在实际问题中，将实际问题转化为数学问题的方法与小学列式计算解应用题一样，先根据实际问题分析题意，抓住能够表示运算关系的关键词语，列出算式，再根据有理数混合运算顺序计算解决问题。 例4-1 .已知水结成冰的温度是，酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低．要使这杯酒精冻结，需要（    ）分钟． A．86 B．78 C．70 D．8 例4-2．我国古代科举制度始于隋，成于唐，兴盛于明．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取．若明代某年会试录取人数为100，则南卷录取人数为（　　） A．10 B．35 C．55 D．100 例4-3．把一筐苹果分给三个班的同学，班每人3个还剩10个；班每人4个还剩11个；班每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有 个． 知识点5 含乘方的有理数混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再计算绝对值 例5-1．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 例5-2．计算： (1)． (2)． (3) 例5-3．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 3、 易错点点拨 易错点1乘方的意义理解出错 例1．的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 错解：A 错因 把乘方的底数看错，2的4次方的相反数，不是-2的4次方 正解 易错点2 乘方的运算出错 例2 .下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 错解：D 错因：把当运算出错 易错点3 逆用乘方的意义出错 例3 .的立方等于 ，平方等于的数是 ． 错解：8 4 易错点4 混合运算中运算顺序出错 计算： 错解：原式==-10-81=-10-8=-18 4、 针对训练 1 乘方的意义 1.下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 2.计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3.对于式子，下列说法不正确的是（    ） A．指数是3 B．底数是 C．结果为 D．表示3与相乘 2乘方的运算 1.计算：(1)－(－3)3 (2)(－)2； (3)(－)3 (4)(－1)2015. 2 .下列四组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3 .若，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4.计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 5.若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 6.观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 3 有理数的四则混合运算 1.若使的运算结果最小，则□里应填入的符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 2.按如图所示的程序分别输入﹣2进行计算，请写出输出结果（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3.计算下列各题： (1)． (2)． 4 有理数四则运算的应用 1.某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G； ②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行； ③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 25 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成； （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元． 2．甲、乙两人分别在A，B两条生产线上加工零件，在A生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B生产线，甲每天加工7个B零件，乙每天加工8个B零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得： （1）甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件 个； （2）若一个A零件、一个B零件组成一套产品，则14天最多能加工 套产品． 5．陈大爷参加了农村合作医疗保险，条款规定：参保者住院医疗费补偿设起付线，乡镇级医疗机构为元，在起付线以上的部分按的补偿率给予补偿．即补偿费（医疗费起付线）补偿率．今年一月份李爷爷意外受伤骨折，在镇定点医院住院天，医疗费用共计元，按条款规定，陈大爷只需自己付多少元？ 5 含乘方的有理数混合运算 1．计算： 2．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 3．用“※”定义一种新运算，规定，如， (1)求的值； (2)求的值． 5、 能力提升 提升1 乘方的意义 1 .－14表示的意义是 2.把下列各式写成幂的形式： （1）； （2）（－3.7）×（－3.7）×（－3.7）×（－3.7）×5×5； （3）． 3.下列各数：，，，，负数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 提升2乘方的运算 1.为任意整数，则下列四组数字都不可能是的末位数字的应是（    ） A．3，4，9，0 B．2，3，7，8 C．4，5，6，7 D．1，5，6，9 2.计算： 3.若，则______. 4.某种细菌培养过程中每半小时分裂次，每次一分为二，若这种细菌由个分裂到个，那么这个过程要经过 小时． 5.（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 提升3 有理数的四则混合运算 1.“24点”游戏的规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24或．现有1，8，10，四个数，则列出一个求“24点”的式子是 ． 2.定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为；（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则： 若n＝49，则第2020次“F运算”的结果是（　　） A．152 B．19 C．62 D．31 提升4 有理数四则运算的应用 1 .某儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以每件47元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表所示： 售出件数 7 6 5 5 4 3 售价/元 0 问该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？ 2．漳浦梁山，群峰并峙，巍峨秀丽，绵亘百余里．某日，小颖、小丽和小红利用温差测量梁山莲花峰的高度，小颖在山脚测得温度是．设漳浦地区的高度每增加米，气温大约下降． (1)若此时小丽在山顶测得温度是，则莲花峰的高度大约是多少米？ (2)若此时小红所在的高度为米，则小红在米处的温度大约是多少℃？ 3．在一次数学测验中，七年（2）班的平均分为87分，把高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数，下表是该班一个小组10名同学的成绩变化情况： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩变化 0 (1)该小组10名同学的成绩最低分是多少？最高分是多少？ (2)最高分比最低分高多少？ (3)该组10名同学的成绩总分是多少？ (4)若该组10名同学的成绩平均分不低于87分，将得到奖励，每高一分，每人奖励2个本，否则不奖励，那么该组10名同学是否受到奖励？若奖励，共奖励多少个本？ 提升5 含乘方的有理数混合运算 1．用灵活而合理的方法计算． (1) (2) (3) (4) 2．【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”． 【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商” (1)【概念理解】直接写出结果：_______________． (2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号） ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ____________________；__________． (4)计算：． 3．求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（）记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方的形式 仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ________；________；________． (3)由（2）中的算式归纳：有理数a（）的圈n（）次方写成乘方的形式等于________． (4)计算 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级暑假预习课讲义 第九讲 有理数的乘方（解析版） 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 乘方的意义 1.求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即 2.乘方的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）零的正整数次幂都是零。 【注意】（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写。 （2） 与乘方有关的探求规律问题是一类重要类型题。 例1-1 .代数式可以表示为（    ） A． B． C． D．n2 【答案】C 【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得. 【详解】解：代数式可以表示为； 故选：C. 【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键. 例1-2 .表示的意义是（    ） A．2个6相乘的相反数 B．6个2相乘 C．6个2相乘的相反数 D．6个相乘 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方的定义． 根据有理数乘方的定义解答可得． 【详解】解：表示的意义是6个2相乘的积的相反数， 故选：C． 知识点2乘方的运算 1. 乘方的运算 利用乘方的定义将有理数的乘方运算转化为乘法运算，先确定符号，再计算幂的绝对值。 例2-1 .的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，熟知有理数的乘方计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 例2-2.下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则，化简绝对值的方法计算出每个选项中的两个数即可得到答案． 【详解】解：A、与不相等，不符合题意； B、与相等，符合题意； C、与不相等，不符合题意； D、与不相等，不符合题意．     故选：B． 例2-3 .生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案． ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…， ∴尾数每4个一循环， ∵2022÷4＝505……2， ∴22022的个位数字应该是：4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键． 2.乘方的逆运算 例2-4.一个数的平方为16，则这个数是（   ） A．4 B．-4 C．4或-4 D．8或-8 【答案】C 【分析】根据有理数乘方的逆运算即可得． 【详解】因为， 所以这个数是4或， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的运算法则是解题关键． 例2-5 .若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘方的逆运算即可得出结论． 【详解】解：若 ∴a=±b，故A、B、C不一定成立； ∴，故D正确 故选D． 【点睛】此题考查的是有理数的乘方逆运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． 知识点3 有理数的四则混合运算 再先乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 例3-1 .在计算时，首先计算的应该是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序是解题的关键． 根据有理数的混合运算顺序可直接进行排除选项． 【详解】解：∵在计算时，首先计算的应该是， 故选C． 例3-2 .计算与解释． 小杨同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ 根据小杨同学的计算过程，回答下列问题： (1)他的计算过程是否正确？__________（填写“正确”或“错误”）； (2)如有错误，他在第__________步出错了（只填写序号），并请写出正确的解答过程． 【答案】(1)错误 (2)①；解答过程见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据小杨的解答过程，可知他的计算错误； （2）根据小杨的解答过程，可以发现他在第①步出错了，然后先算括号内的式子，再算乘除法，最后算加法即可解答本题． 【详解】（1）解：由小杨的解答过程可知，他的计算过程是错误的， 故答案为：错误； （2）解：由小杨的解答过程可知，他在第①步出错了， 正确解答过程： 解：原式 ． 故答案为：①． 知识点4 有理数四则运算的应用 在实际问题中，将实际问题转化为数学问题的方法与小学列式计算解应用题一样，先根据实际问题分析题意，抓住能够表示运算关系的关键词语，列出算式，再根据有理数混合运算顺序计算解决问题。 例4-1 .已知水结成冰的温度是，酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低．要使这杯酒精冻结，需要（    ）分钟． A．86 B．78 C．70 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 【详解】解：（分钟）， 故选：A． 例4-2．我国古代科举制度始于隋，成于唐，兴盛于明．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取．若明代某年会试录取人数为100，则南卷录取人数为（　　） A．10 B．35 C．55 D．100 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．用100乘以南卷录取人数所占的比例，即可求解． 【详解】解：根据题意得：南卷录取人数为． 故选：C 例4-3．把一筐苹果分给三个班的同学，班每人3个还剩10个；班每人4个还剩11个；班每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有 个． 【答案】67 【分析】本题考查数的整除性问题，解题的关键是掌握求几个数的最小公倍数的方法．设这筐苹果有个，可知是除以3余数为1，除以4余数为3，除以5余数为2的数；当时，除以3余数为1，除以4余数为3，除以5余数为2，又，即可得的最小值为；故这筐苹果至少有67个． 【详解】解：设这筐苹果有个， 班每人3个还剩10个； 除以3余数为1； 班每人4个还剩11个； 除以4余数为3； 班每人5个还剩12个， 除以5余数为2； 是除以3余数为1，除以4余数为3，除以5余数为2的数； 当时，除以3余数为1，除以4余数为3，除以5余数为2， 而根据题意知：， 的最小值为， 这筐苹果至少有67个． 故答案为：67． 知识点5 含乘方的有理数混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再计算绝对值 例5-1．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】8 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】根据定义，得， 故答案为：8． 例5-2．计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）根据有理数的乘除法法则计算即可． （3）按照有理数混合运算的顺序，先乘方再乘除最后算加减的顺序进行计算； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 例5-3．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料，设①， 将等式两边同时乘以3，则②， 由，得：， ， ； （2）根据材料，设③， 将等式两边同时乘以④， 由，得：， , ． 3、 易错点点拨 易错点1乘方的意义理解出错 例1．的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 错解：A 错因 把乘方的底数看错，2的4次方的相反数，不是-2的4次方 正解 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数幂的概念，有理数的乘方计算，对于式子，其中a叫做底数，m叫做指数，据此结合有理数乘方计算法则求解即可． 【详解】解：的底数是2，指数是4，其结果为， 故选：D． 易错点2 乘方的运算出错 例2 .下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 错解：D 错因：把当运算出错 正解 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则，化简绝对值的方法计算出每个选项中的两个数即可得到答案． 【详解】解：A、与不相等，不符合题意； B、与相等，符合题意； C、与不相等，不符合题意； D、与不相等，不符合题意．     故选：B． 易错点3 逆用乘方的意义出错 例3 .的立方等于 ，平方等于的数是 ． 错解：8 4 正解 【答案】 8 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据立方和平方的定义进行求解即可． 【详解】解：的立方等于，平方等于的数是， 故答案为：，． 易错点4 混合运算中运算顺序出错 计算： 错解：原式==-10-81=-10-8=-18 正解 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先求绝对值，再利用有理数的混合运算法则先算除再算乘法，最后加法计算即可． 【详解】解： 原式 ． 4、 针对训练 1 乘方的意义 1.下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可． 【详解】解：A、的底数是2，∴此选项的说法错误，故不符合题意； B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意； C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意； D、的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意，故选：D． 2.计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘法的定义：m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为，由此求解即可．本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键． 【详解】m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为， 故的结果是，故选A． 3.对于式子，下列说法不正确的是（    ） A．指数是3 B．底数是 C．结果为 D．表示3与相乘 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义解答． 【详解】解：式子中： 指数是3，故A选项正确； 底数是，故B选项正确； 结果为，故C选项正确； 表示3个相乘，故D选项错误； 2乘方的运算 1.计算：(1)－(－3)3 (2)(－)2； (3)(－)3 (4)(－1)2015. 【答案】见解析 【解析】可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；或者先用符号法则来确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值． (1)－(－3)3＝－(－33)＝33＝3×3×3＝27； (2)(－)2＝×＝； (3)(－)3＝－(××)＝－； (4)(－1)2015＝－1. 【方法总结】乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；－1的奇数次幂是－1，－1的偶数次幂是1. 2 .下列四组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘方的运算，绝对值化简，以及相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 先根据乘方运算的法则、绝对值的法则进行计算，再根据相反数的定义逐一判定即可． 【详解】解：A、，，是相反数，故A符合题意； B、，，不是相反数，故B不符合题意； C、，，不是相反数，故C不符合题意； D、，，不是相反数，故D不符合题意． 故选：A． 3 .若，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据乘方的意义列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵，∴，故选C． 【点睛】本题主要考查了乘方的意义，正确得出是解答本题的关键． 4.计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 5.若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵∴ ∴∴，故选：D． 6.观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴尾数，，，的规律是4个数一循环， ∵， ∴的个位数字是， 又∵， ∴的结果的个位数字与的个位数字相同， ∴的结果的个位数字是． 故选：A． 【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 3 有理数的四则混合运算 1.若使的运算结果最小，则□里应填入的符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题目中的数字，将选项中的运算符号代入求值，即可解答本题，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】∵， 又∵， ∴的值最小， ∴□里应填的运算符号是×， 故选：C． 2.按如图所示的程序分别输入﹣2进行计算，请写出输出结果（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解答】解：由题意可得， 当输入﹣2时，﹣2+4+（﹣3）+1＝0＜2， 0+4+（﹣3）+1＝2＝2， 2+4+（﹣3）+1＝4＞2， 即当输入﹣2时，输出结果为4， 故选：A． 3.计算下列各题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键； （1）按照从左往右的顺序计算，即可； （2）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后加减，即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4 有理数四则运算的应用 1.某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G； ②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行； ③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 25 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成； （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元． 【答案】 86 38 【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出算式准确计算． （1）在完成C的同时完成A、B，然后完成D，E的同时完成F，最后完成G，列式计算即可； （2）根据题意可以缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，然后列出算式进行计算即可． 【详解】解：（1）在完成C的同时完成A、B，最少需要28天，完成D，E的同时完成F最少需要天，完成G需要25天， ∴在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少需要： （天）； 故答案为：86； （2）（天）， ∴至少需要将整个任务缩短6天， ∵B，E，F，G不可缩短， ∴工序最多可以缩短天， ∵天， ∴只缩短工序2天，A工序可以不缩短，然后工序每缩短1天，C工序就要缩短1天， ∴当缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，正好可以将工期缩短到80天，此时增加的投入最少，且最少为： （万元）， 故答案为：38． 2．甲、乙两人分别在A，B两条生产线上加工零件，在A生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B生产线，甲每天加工7个B零件，乙每天加工8个B零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得： （1）甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件 个； （2）若一个A零件、一个B零件组成一套产品，则14天最多能加工 套产品． 【答案】 24 106 【分析】（1）直接根据题意列式计算即可； （2）由于A、B零件要配套，则A、B零件的数量都要多；然后发现甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件24个，甲在B生产线连续工作3天最能加工B零件21个；乙在A生产线连续工作3天最多能加工A零件个，乙在B生产线连续工作3天最多能加工B零件个；则每3天甲、乙轮流生产可使A、B零件的数量，最后两天甲产A零件18件，乙生产B零件16件符合题意，最后确定最大数量即可． 【详解】解：（1）由题意可得：甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件的个数为： （个） 故答案为24． （2）∵一个A零件、一个B零件组成一套产品， ∴ 14天A、B两种零件同时产出数量最多 ∵甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件24个，甲在B生产线连续工作3天最能加工B零件21个；乙在A生产线连续工作3天最多能加工A零件个，乙在B生产线连续工作3天最多能加工B零件个 ∴每3天甲、乙轮流生产可使A、B零件的数量，最后两天甲产A零件18件，乙生产B零件16件 ∴14天最多能加工24+21+24+21+16=106． 故答案为106． 【点睛】本题主要考查了列式计算、统筹解决问题等知识点，理解题意、发现生产规律是解答本题的关键． 5．陈大爷参加了农村合作医疗保险，条款规定：参保者住院医疗费补偿设起付线，乡镇级医疗机构为元，在起付线以上的部分按的补偿率给予补偿．即补偿费（医疗费起付线）补偿率．今年一月份李爷爷意外受伤骨折，在镇定点医院住院天，医疗费用共计元，按条款规定，陈大爷只需自己付多少元？ 【答案】元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．根据补偿费（医疗费起付线）补偿率，先求出补偿费，医疗费补偿费自己付的钱，据此列式解答． 【详解】解：（元） （元） 答：陈大爷只需自己付元． 5 含乘方的有理数混合运算 1．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，先用乘法运算律计算乘法，再算括号里面的，再把除法转化成乘法计算即可． 【详解】解： 2．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： = = =． 3．用“※”定义一种新运算，规定，如， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，新定义下的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）， ． 5、 能力提升 提升1 乘方的意义 1 .－14表示的意义是 【答案】1的4次方的相反数/1的4次幂的相反数 【分析】根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：表示1的4次方的相反数， 故答案为：1的4次方的相反数． 【点睛】本题考查了乘方的意义，理解有理数乘方的意义是解题的关键． 2.把下列各式写成幂的形式： （1）； （2）（－3.7）×（－3.7）×（－3.7）×（－3.7）×5×5； （3）． 【答案】（1）；（2）（－3.7）4×52；（3） 【分析】原式各项利用乘方的意义变形即可得到结果． 【详解】解：（1）； （2）（－3.7）×（－3.7）×（－3.7）×（－3.7）×5×5＝（－3.7）4×52； （3） 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 3.下列各数：，，，，负数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先化简各数，再判定是否是负数即可． 【详解】解：，，，，， ∴负数有，，，共3个， 故选C 【点睛】本题考查负数的判定，熟练掌握有理数的乘方计算、求一个数绝对值和相反数是解题的关键． 提升2乘方的运算 1.为任意整数，则下列四组数字都不可能是的末位数字的应是（    ） A．3，4，9，0 B．2，3，7，8 C．4，5，6，7 D．1，5，6，9 【答案】B 【分析】分别计算0至9这10个数字的平方，观察其末位数字，从而得出结果． 此题考查了整数的乘方，由于a为任意实数，分析出计算0至9这10个数字的平方，是解题的关键． 【详解】，，，，，，，，，， ∴1个数的平方的末位数字可以是0， 1， 4， 5， 6， 9， ∴没有一个数的平方的末位数字能得到2，3，7，8， ∴a为任意整数，的末位数字不可能是2，3，7，8． 故选：B． 2.计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 3.若，则______. 【答案】﹣1 【详解】 ∵ ∴ 解得： 故答案为：-1 4.某种细菌培养过程中每半小时分裂次，每次一分为二，若这种细菌由个分裂到个，那么这个过程要经过 小时． 【答案】 【分析】每半小时分裂一次，一个变为2个，实际是21个．分裂第二次时，2个就变为了22个．根据有理数的乘方的定义可得． 【详解】解：由题意可得：， 因为每半小时分裂1次， 则这个过程要经过：小时． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方在实际生活中的应用，应注意观察问题得到规律． 5.（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 提升3 有理数的四则混合运算 1.“24点”游戏的规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24或．现有1，8，10，四个数，则列出一个求“24点”的式子是 ． 【答案】（或等，答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则列式即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：例如：，， 故答案为：（或等，答案不唯一）． 2.定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为；（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则： 若n＝49，则第2020次“F运算”的结果是（　　） A．152 B．19 C．62 D．31 【答案】D 【解答】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝49为奇数应先进行F①运算， 即3×49+5＝152（偶数）， 需再进行F②运算， 即152÷23＝19（奇数）， 再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数）， 再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数）， 再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数）， 再进行F②运算，即98÷21＝49， 再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…， 即第1次运算结果为152，…， 第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…， 可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152， 则6次一循环， 2020÷6＝336…4， 则第2020次“F运算”的结果是31． 故选：D． 提升4 有理数四则运算的应用 1 .某儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以每件47元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表所示： 售出件数 7 6 5 5 4 3 售价/元 0 问该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？ 【答案】472元 【分析】本题主要考查正负数的实际运用，有理数的混合运算，关键在于根据表格计算出一共卖了多少钱． 【详解】解：根据题意， ， ∵， ∴， ∴售完这30件连衣裙后，赚了472元． 2．漳浦梁山，群峰并峙，巍峨秀丽，绵亘百余里．某日，小颖、小丽和小红利用温差测量梁山莲花峰的高度，小颖在山脚测得温度是．设漳浦地区的高度每增加米，气温大约下降． (1)若此时小丽在山顶测得温度是，则莲花峰的高度大约是多少米？ (2)若此时小红所在的高度为米，则小红在米处的温度大约是多少℃？ 【答案】(1)1000米 (2) 【分析】此题考查的是有理数的加法运算，掌握加法的交换律与结合律是解决此题的关键． （1）根据题意，可得温度变化值，再根据高度每增加米，气温大约下降进行列式求解即可； （2）根据高度变化，温度变化规律列式求解即可． 【详解】（1）解： （米） 答：莲花峰的高度约是1000米． （2）解： ， 答：小红在750米处的温度大约是． 3．在一次数学测验中，七年（2）班的平均分为87分，把高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数，下表是该班一个小组10名同学的成绩变化情况： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩变化 0 (1)该小组10名同学的成绩最低分是多少？最高分是多少？ (2)最高分比最低分高多少？ (3)该组10名同学的成绩总分是多少？ (4)若该组10名同学的成绩平均分不低于87分，将得到奖励，每高一分，每人奖励2个本，否则不奖励，那么该组10名同学是否受到奖励？若奖励，共奖励多少个本？ 【答案】(1)最低分为72分，最高分为100分 (2)28分 (3)890分 (4)是，奖励40个本 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简． （1）分别求出各同学的成绩即可； （2）由（1）中同学的成绩求出最高分与最低分的差即可； （3）根据10名同学的平均分为87分，再由这些同学成绩的变化情况进行解答； （4）由该班10名同学的总分求出其平均分，再根据若该组10名同学的成绩平均分不低于87分，将得到奖励，每高一分，每人奖励2个本，否则不奖励即可得出结论． 【详解】（1）解：∵1号同学的成绩：分； 2号同学的成绩：分； 3号同学的成绩：分； 4号同学的成绩：分； 5号同学的成绩：分； 6号同学的成绩：分； 7号同学的成绩：分； 8号同学的成绩：分； 9号同学的成绩：分； 10号同学的成绩：分， ∴最低分为72分，最高分为100分； （2）解：∵最低分为72分，最高分为100分， ∴分； （3）解：∵七年（2）班的平均分为87分， ∴10名同学的总成绩（分）； （4）解：∵该组10名同学的总成绩是890分， ∴，， ∴该组10名同学受到奖励，共奖励40个本． 提升5 含乘方的有理数混合运算 1．用灵活而合理的方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)100 (3)1 (4)5050 【分析】本题考查了乘法公式的有理数混合运算，含乘方有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为，再将算式变为，根据乘法分配律，将算式变为，然后计算出括号里面的加法，再将除法化为乘法，约分可得，然后将2003拆分为2002＋1，根据乘法分配律，将算式变为，约分可得，再根据带符号搬家，得，然后计算出结果即可； （2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为，然后将化为假分数，再根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； （3）先把382拆分为，然后根据乘法分配律，将算式变为，，加上括号，变为，然后计算出括号里面的减法，最后可得分子和分母都是相同的算式，约分可得结果为1； （4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n为自然数），将算式变为，然后首尾依次相加，将算式变为进行简算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 2．【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”． 【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商” (1)【概念理解】直接写出结果：_______________． (2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号） ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ____________________；__________． (4)计算：． 【答案】(1) (2)①④ (3)， (4) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、有理数的混合运算： （1）根据所给的例子进行计算即可； （2）结合除方的定义进行分析即可； （3）根据除方的运算方式进行求解即可； （4）结合除方的运算方式运算即可； 解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：； （2）解：①任何非零数的2次商都等于这两个数相除，所以结果为1，该说法正确， ②对于任何正整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以原说法错误， ③，，则，原说法错误， ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确， 故答案为：①④； （3）解：由题意可得： =， =， 故答案为：，； （4）解： = = = = = =． 3．求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（）记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方的形式 仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ________；________；________． (3)由（2）中的算式归纳：有理数a（）的圈n（）次方写成乘方的形式等于________． (4)计算 【答案】(1)， (2)：，， (3) (4) 【分析】（1）分别按公式进行计算即可； （2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果； （3）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则； （4）先将原式化成乘方形式，再按含乘方的有理数混合运算法则计算即可. 【详解】（1）解：依题意得：，， 故答案是：，； （2）依题意得：， ， ； 故答案为：，，； （3）依题意得：． 故答案为：； （4） 【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 学科网（北京）股份有限公司 $$