精品解析：安徽省黄山市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

黄山市2023-2024学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 有一组数据为：5，6，7，7，8，9，9，10，10，则该组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 7.5 2. 设为直线，，两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. ，且，则 B. ，且，则 C. ，且，则 D. ，且，则 3. 已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 设事件与事件满足：，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件不是相互独立事件 B. 事件与事件不是相互独立事件 C. 事件与事件是相互独立事件 D. 事件与事件不是相互独立事件 5. 如果复数满足，那么复数可能是（ ） A. B. C. D. 6. “黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象．根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为．假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续三天中至少有两天下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 中，，.为中点，为线段上靠近点的四等分点，将沿翻折，使到的位置，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义域在的函数图象的两个端点为、，向量，设是图象上任意一点，其中，，若不等式恒成立，则称函数是定义在上的“级线性近似函数”，其中最小的正实数称为该函数的线性近似系数，现给出下列两个定义在上的函数：（1）；（2）则这两个函数的线性近似系数的和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样从含有100个个体的总体中抽取一个容量为50的样本，个体被抽到的概率是0.2 B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C. 当总体由有明显差异的几部分构成时，可以采用分层随机抽样 D. 若样本数据，，，的标准差为9，则数据，，，标准差为81 10. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形的棱长为3，动点在内，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平面所成的角的正弦值为 C. 始终为钝角三角形 D. 点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，，则___________. 13. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 14. 如图1，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.（如图2）.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列四个判断中，正确的个数有___________个. ① ② ③ ④. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从1～30这30个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被3整除，事件表示选到的数能被5整除，求下列事件的概率. （1）这个数既能被3整除也能被5整除； （2）这个数能被3整除或能被5整除； （3）这个数既不能被3整除也不能被5整除. 16. 已知锐角三角形的三条边分别为，，，所对的角分别为，，，其外接圆的半径为，且. （1）若，求； （2）如图，点在边上，且，求的取值范围. 17. 为进一步推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识大宣传活动.举办了“网络防骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值，根据频率分布直方图计算样本成绩的平均数和下四分位数； （2）已知若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记总的样本平均数为，样本方差为. 证明：； （3）已知落在的平均成绩是59，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组样本成绩的总平均数和总方差. 18. 一般地，任何一个复数，称为虚数单位，都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作，叫做复数的三角形式. 特别是当时，，即是欧拉发明的欧拉公式——复数的指数形式，建立了三角函数和指数函数的关系.请你根据材料解决以下问题： （1）设复数，，求，的三角形式； （2）设复数，，其中，求； （3）在中，已知为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：. 温馨提示：使用复数以外的方法证明不给分. 19. 如图，在三棱锥中，侧面是边长为4的等边三角形，底面为直角三角形，其中为直角顶点，.点为棱的中点，，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形.设. （1）设点在平面的射影，当二面角从0增加到的过程中，求线段扫过的区域的周长； （2）若是以为底边的等腰三角形； （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当为何值时，多面体的体积恰好为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄山市2023-2024学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 有一组数据为：5，6，7，7，8，9，9，10，10，则该组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 7.5 【答案】B 【解析】 【分析】由中位数的概念进行求解. 【详解】解：这一组数据按从小到大为：，共9个， 则中位数位于这组数据的第5个数据，为8， 故选：B 2. 设为直线，，两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. ，且，则 B. ，且，则 C. ，且，则 D. ，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合线，面间的位置关系依次判断即可． 【详解】对于A项，根据条件，或平行、相交都有可能，故A项错误； 对于B项，根据条件，或都有可能，故B项错误； 对于C项，由线面垂直的性质知，显然正确； 对于D项，根据条件，或都有可能，故D项错误， 故选：C 3. 已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解作答. 【详解】向量，，则， 与同向的单位向量为， 所以在上的投影向量为. 故选:D. 4. 设事件与事件满足：，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件不是相互独立事件 B. 事件与事件不是相互独立事件 C. 事件与事件是相互独立事件 D. 事件与事件不是相互独立事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件概率公式，即可判断选项. 【详解】因为，所以事件和事件是相互独立事件，故C正确， 则与，与和和都是相互独立事件. 故选：C 5. 如果复数满足，那么复数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将选项代入条件，利用模的公式进行验证. 【详解】A.时，，故A错误； B.，则，故B错误； C. ，则，故C错误； D. ，则，故D正确. 故选：D 6. “黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象．根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为．假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续三天中至少有两天下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式分别求出恰有两天下雨的概率和恰有三天下雨的概率，然后相加，即可得到结果. 【详解】该地区黄梅时节连续三天中恰有两天下雨的概率为， 该地区黄梅时节连续三天中恰有三天下雨的概率为， 所以该地区黄梅时节连续三天中至少有两天下雨的概率为. 故选：B 7. 中，，.为中点，为线段上靠近点的四等分点，将沿翻折，使到的位置，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交于点，说明异面直线与所成角的大小等于，结合面面垂直的性质以及解三角形知识即可求解. 【详解】 过点作交于点，所以， 因为为线段上靠近点的四等分点，，所以，， 而， 所以，而是中点，所以， 在三角形中，， 由余弦定理有， 由于，点是中点，所以，由折叠关系可知，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以， 在三角形中，，由余弦定理有， 因为，所以异面直线与所成角的大小等于， 故所求为. 故选：A. 8. 定义域在的函数图象的两个端点为、，向量，设是图象上任意一点，其中，，若不等式恒成立，则称函数是定义在上的“级线性近似函数”，其中最小的正实数称为该函数的线性近似系数，现给出下列两个定义在上的函数：（1）；（2）则这两个函数的线性近似系数的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得点的横坐标相等，点在线段上，然后可得，然后对每个函数逐一求解即可. 【详解】因为， 所以点的横坐标相等，点在线段上，所以， 对于，由函数，得，， 直线方程为， 而在上的值域是， ，线性近似系数为． 对于，由函数可得，，方程为， 由三角函数图象与性质可知，线性近似系数为， 故所求为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于充分理解新定义，并得到，由此即可顺利得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样从含有100个个体的总体中抽取一个容量为50的样本，个体被抽到的概率是0.2 B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C. 当总体由有明显差异的几部分构成时，可以采用分层随机抽样 D. 若样本数据，，，的标准差为9，则数据，，，标准差为81 【答案】BC 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的特征，计算出相应的概率可判断A；根据平均数求出，再利用方差公式进行计算可判断B；根据分层随机抽样的定义可判断C；先计算，，，的方差，再计算，，，的方差可判断D. 【详解】对于A，用简单随机抽样从含有100个个体的总体中抽取一个容量为50的样本， 个体被抽到的概率是，故A错误； 对于B，，所以，则这组数据的方差是 ，故B正确； 对于C，当总体由有明显差异的几部分构成时，可以采用分层随机抽样，故C正确； 对于D，若样本数据，，，的标准差为9，则数据的方差为， 所以，，，的方差为， 则，，，的标准差为，故D错误. 故选：BC. 10. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】转化为以向量为基底表示向量，利用平面向量基本定理的推理，即可判断A，并判断B，利用A的结果，结合数量积的公式表示，即可判断C，利用基底表示向量和，再利用数量积的运算律，即可判断D. 【详解】，因为点三点共线， 所以，故A正确； 因为，所以， 即，则，故B正确； 因为，所以， ，故C错误； , ，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，正方形的棱长为3，动点在内，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平面所成的角的正弦值为 C. 始终为钝角三角形 D. 点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正方体中，证明线线垂直；利用线面角定义，先找到角，再计算夹角的正弦值；在三角形中，利用余弦定理求角判断三角形形状；根据题意先找到点的轨迹形状是圆的一半，计算长度得答案； 【详解】对于A，正方形中，平面, 因为平面,所以， 动点在内，当不可能与点重合时，不成立，A错误； 对于B，正方形中， 是平面内两条相交直线，平面， ，设点交平面于点, 所以点到平面的高为， 则为与平面所成的角，且， 所以与平面所成的角的正弦值为，B正确； 对于C，由选项B可知, 进而在直角三角形中，， 在中，由余弦定理可得 , 所以为钝角，C正确； 对于D.根据选项B可知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆的一部分， 又因为是等边三角形，且, 可知点的轨迹为以为圆心，为半径的圆的一半， 则点的轨迹为长度为，D正确； 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型 空间中轨迹问题的解答思路： （1）根据已知条件确定和待求点相关的平行、垂直关系； （2）用动点的坐标表示相关点的坐标，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （3）根据轨迹形状即可求解出轨迹长度其他量； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由复数除法运算以及模的计算公式即可求解. 【详解】，. 故答案为：. 13. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，解得：. 故答案为： 14. 如图1，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.（如图2）.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列四个判断中，正确的个数有___________个. ① ② ③ ④. 【答案】3 【解析】 【分析】通过空间直线、平面的位置关系作出相应角，结合解直角三角形得出对应三个角的正余弦值一一判定即可. 【详解】 对于②，如图所示，连接，因为平面与平面的交线为，所以， 又因为直线与圆的另一个交点为，所以，即平面与平面的交线为就是直线， 因为，分别是，的中点，所以， 而平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以，所以 由题意易知：，面，则面，而面，则，即二面角的大小，故②正确； 对于③，； 由Q满足，点是中点，平面，则，面， 结合题意此时四边形为矩形，则直线与平面所成的角， 即； 过Q作，且使得，连接，显然，此时四边形为平行四边形，， 则异面直线与所成的角，结合上面说明得面， 而面，则，即. ∴，故③正确； 对于①，由③可知，注意到，所以，故①正确； 对于④，故④错误； 故正确的序号有：①②③，共3个. 故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过定义法找到对应的线线角、线面角以及面面角之间的关系，从而建立适当的“桥梁”，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从1～30这30个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被3整除，事件表示选到的数能被5整除，求下列事件的概率. （1）这个数既能被3整除也能被5整除； （2）这个数能被3整除或能被5整除； （3）这个数既不能被3整除也不能被5整除. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】利用样本空间法，列举满足条件的样本，再利用古典概型概率公式，即可求解. 【小问1详解】 事件表示既能被3整除也能被5整除，包含元素， 所以, 所以既能被3整除又能被5整除的概率为； 【小问2详解】 事件表示能被3整除或能被5整除，包含， 所以， 所以能被3整除或能被5整除的概率为； 【小问3详解】 事件表示既不能被3整除也不能被5整除，共有个元素， 所以， 所以既不能被3整除也不能被5整除的概率为. 16. 已知锐角三角形的三条边分别为，，，所对的角分别为，，，其外接圆的半径为，且. （1）若，求； （2）如图，点在边上，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换得，即可求解； （2）由正弦定理得，进行求解． 【小问1详解】 解：由正弦定理得，， 由，得 ， 得， 因为，所以， 得， 得， 因为，所以， 解得． 【小问2详解】 解：因为，所以， 由（１）得，得，， 得， 由正弦定理得，， 得， 得， 因为，所以，得， 得， 则，得， 则的取值范围为： 17. 为进一步推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识大宣传活动.举办了“网络防骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值，根据频率分布直方图计算样本成绩的平均数和下四分位数； （2）已知若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记总的样本平均数为，样本方差为. 证明：； （3）已知落在的平均成绩是59，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组样本成绩的总平均数和总方差. 【答案】（1）；平均数为；下四分位数为； （2）证明：， ，， 总体方差， 又， ， ， 因为， ， ， 同理， 故， ； （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，求，再代入平均数公式，求平均数，并代入百分位数公式，即可求解； （2）利用总体方差公式，以及总体方差公式，进行推导，即可证明； （3）代入总体平均数和总体方差公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， 解得：； 平均数为， 前2组的频率和为， 前3组的频率和为， 所以下四分位数在第3组，设为， 则，得 所以下四分位数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的频率是，频数是，的频率是，频数是 所以总体平均数， 总体方差. 18. 一般地，任何一个复数，称为虚数单位，都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作，叫做复数的三角形式. 特别是当时，，即是欧拉发明的欧拉公式——复数的指数形式，建立了三角函数和指数函数的关系.请你根据材料解决以下问题： （1）设复数，，求，的三角形式； （2）设复数，，其中，求； （3）在中，已知为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：. 温馨提示：使用复数以外的方法证明不给分. 【答案】（1）， （2） （3）证明：以为原点，为实轴正方向确定复平面，并不妨设点在实轴上方，则点在复平面上分别表示复数. 所以. 【解析】 【分析】（1）利用正弦和余弦的和差公式计算即可； （2）利用三角形式和辐角主值的定义求解； （3）以为原点，为实轴正方向确定复平面，然后分别确定点在复平面上表示的复数为，再将三角形式转化为代数形式并求其模长. 【小问1详解】 由于，. 故 ， . 综上，. 【小问2详解】 我们有 ， 且 . 据，知，，，. 所以，，故. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，并利用新定义和新工具解决已有的问题. 19. 如图，在三棱锥中，侧面是边长为4的等边三角形，底面为直角三角形，其中为直角顶点，.点为棱的中点，，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形.设. （1）设点在平面的射影，当二面角从0增加到的过程中，求线段扫过的区域的周长； （2）若是以为底边的等腰三角形； （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）当为何值时，多面体的体积恰好为2. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：取的中点，连接， 因为是以为底边的等腰三角形， 所以，， 因为，所以，可得， 因为，平面， 所以平面，平面，可得， 又因为，，平面， 所以平面； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）延长到，使，由面面垂直的判定定理得平面平面，所以点在平面上的投影在线段的中垂线上，根据二面角的变化得射影的轨迹就是线段，得在平面上的射影所扫过的平面区域为，求出周长即可； （2）（ⅰ）取的中点，利用线面垂直的判定定理可得答案；（ⅱ）多面体的体积为三棱锥体积的一半，利用体积相等得可得答案. 【小问1详解】 延长到，使，由为直角顶点， ，所以，所以为等边三角形， 连结，所以，， 又，平面， 得平面，平面，平面平面， 所以平面平面， 所以点在平面上的投影在线段的中垂线上（如图所示）， 当二面角为时，点三点重合， 当二面角为时，点与重合， 所以射影的轨迹就是线段， 所以在平面上的射影所扫过的平面区域为， 又是边长为4的正三角形，， 则周长为， 故所求平面区域的周长为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）， 因为多面体的体积恰好为2， 所以多面体的体积为三棱锥体积的一半， 设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 因为四边形为平行四边形，所以，， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 则，所以，则, 则， 又， 所以 所以， 设点到平面的距离为， ， 所以， 所以， 所以， 所以，整理得， 解得或，因为，所以. 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是利用体积相等，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $