精品解析：辽宁省沈阳市大东区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

辽宁省沈阳市大东区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 (本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟) 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分) 1. 下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、不是中心对称图形，但是轴对称图形，故B选项不符合题意； C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变；由不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，，故原选项错误，不符合题意； B、，，故原选项错误，不符合题意； C、，，故原选项正确，符合题意； D、，，故原选项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（ ） A. abc B. 4ab2 C. ab2 D. 4ab2c 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案． 【详解】解：多项式8a3b2+12ab3c的公因式是：4ab2． 故选：B． 【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 4. 已知分式的值为0，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 5. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　 ） A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°， ②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质． 6. 十二边形的外角和为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形外角和，根据多边形的外角和定理求解即可，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 【详解】解：正十二边形的外角和的度数为， 故选：． 7. 沈阳的欧亚长青城到龙之梦要铺设一条长25千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设原计划每天铺设管道的长度为千米，根据“每天铺设管道的长度比原计划增加，结果提前7天完成．”列出方程，即可求解． 【详解】解：设原计划每天铺设管道的长度为千米，根据题意得： ． 故选：B 8. 如图，平行四边形中，对角线和交于点，若，，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形三边关系，由四边形是平行四边形，，，则，，再根据三角形三边关系即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 在中，由三角形三边关系得：，即， ∴， 故选：． 9. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连接．若，，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得的度数，然后利用三角形的外角的性质求得答案即可；本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，桌面上有一把直尺和一个透明的学具，其中，，，学具放置在直尺的一侧，边与直尺的边缘重合，点对应直尺的刻度为，现将学具沿直尺边缘平移到所在位置，点对应直尺的刻度为，连接，则边扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，平移的性质，相似三角形的判定与性质，过点作，垂足为，由勾股定理求出，再由平移的性质得，，再证明，根据性质求出，根据平行四边形面积计算方法即可得到结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 由平移得：平行于 所以四边形是平行四边形， 在，，， ∴由勾股定理得：， 由平移的性质可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 因式分解：＝______________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解． 【详解】解：， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，注意分解要彻底． 12. 满足的最小整数是____________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．移项合并同类项，求出不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， ∴满足的最小整数是0． 故答案为：0 13. 若方程 有增根 ，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 由于增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，所以将方程两边都乘化为整式方程，再把增根5代入求解即可． 【详解】解：方程两边都乘，得， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 把代入，得， 解得． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，垂足分别为点，，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角所对直角边是斜边的一半，由四边形是平行四边形，，则，又，，则，，故有，，再由角所对直角边得，，从而求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到（平移后点，，对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分类讨论，第一种情况：如图，当点在上时，过点作，当时；当时；第二种情况：当点在外时，过点作，当时；当时；根据平行线的性质，图形结合即可求解． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ，， ， 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ，， ， 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 当时，由图可知，，故不存在这种情况； 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查图形变换，掌握平行线的判定和性质，平移的性质，角度的和差计算方法的综合是解题的关键． 三、解答题(本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程) 16. （1）利用因式分解进行简便运算：． （2）化简：． 【答案】（1）40000；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式进行求解即可； （2）根据分式的混合计算法则求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，因式分解的应用，熟知相关计算法则是解题的关键． 17. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】不等式组的解集为，解集表示在数轴上表示见解析． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，再把解集表示在数轴上即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 解集表示在数轴上表示如图， 18. 如图，在中，平分，交于点，过点作于点． （1）求证∶； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，直角三角形的性质： （1）根据角平分线的性质，可得，再利用证明，即可求证； （2）根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ， ∴， 在和中， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∴． 19. 从2013年首次太空授课到2023年“天宫课堂”第四课开讲，精彩的课程在全国青少年心中播下了追逐航天梦想的种子，激发了他们探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A，B两款物理实验套装，其中B款套装的单价比A款套装单价的2倍少30元，用600元购买A款套装的数量是用450元购买B款套装数量的2倍． （1）求A，B两款套装的单价． （2）根据学校实际情况，需一次性购买A款套装和B款套装共100个，但要求A款套装和B款套装的总费用不超过8000元，学校最多可以购买多少个B款套装？ 【答案】（1）A款套装的单价是60元，B款套装的单价是90元 （2）学校最多可以购买66个B款套装 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设款套装的单价是元，则款套装的单价是元，根据用600元购买款套装的数量是用450元购买款套装数量的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可以购买个款套装，则购买个款套装，根据款套装和款套装的总费用不超过8000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设A款套装的单价是元，则B款套装的单价是元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：A款套装的单价是60元，B款套装的单价是90元． 【小问2详解】 解：设学校可以购买个B款套装， 根据题意，得， 解得． ∵是正整数，∴最多取66． 答：学校最多可以购买66个B款套装． 20. 某市三个城镇中心，，恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆． 解决问题： （1）以城镇为出发点，设计了两种连接方案： 如图，为中点)； 如图，为三边的垂直平分线的交点)； 请通过计算说明要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？ （2）尺规作图： 请在备用图中用尺规作图画出（）中你所选择的方案的图形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）方案铺设方案好，理由见解析； （2）作图见解析． 【解析】 【分析】（）如图所示，在中，根据勾股定理得，则铺设的通讯电缆长为，如图所示同理可得：铺设的通讯电缆长为，即可求解； （）如图，分别作的中垂线，交点即为点即为所求； 此题考查了尺规作图—垂直平分线，等边三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解本题的关键． 【小问1详解】 解：设等边三角形的边长为，如图所示， ∵为等边三角形，， ∴为的中点，即， 在中，根据勾股定理得：， 则铺设的通讯电缆长为； 如图所示， ∵为等边三角形，且为三角形三条高的交点， ∴，则，， 故， 解得：， 则， 则铺设的通讯电缆长为， ∴ ， 则方案铺设方案好； 【小问2详解】 如图，分别作的中垂线，交点即为点， ∴点即为所求； 21. 延时课上，实验中学八（2）某学习小组对北师大八下教材P150页的中位线定理进行了探究，请依据图中添加的辅助线完成中位线定理的证明． 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 已知：如图，中，分别是的中点．求证：，且． 证明：如图，延长至点，使，连接． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据题干给出的辅助线，先证明，再证明四边形是平行四边形，即可得证． 【详解】解：证明如下：根据题意知， 是的中点， ． 在与中， ， ， ， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了三角形中位线的证明，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 22. 我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． （1）若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； （2）若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； （3）若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【答案】（1）1 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键． （1）利用题干中的同解不等式的定义求解； （2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解； （3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式． 【小问1详解】 解：，解得：， ，解得：， ∵两不等式是同解不等式， ∴，解得：； 【小问2详解】 解：，解得：， ，解得：， ∵两不等式是同解不等式， ∴，即， ∵，是正整数， ∴为1或4或2， ∴或或； 【小问3详解】 解：，解得：， ∵不等式P和不等式Q是同解不等式， ∴， ，解得：， ∴， ∴，即，， ∴，即， ∴， ∴解得：， 即关于的不等式的解集为． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，求证：． 如图，小明同学发现：如果过作交于点，那么是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到，，之间的数量关系． 如图，小颖同学发现：如果过作交于点，那么是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到，，之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类此分析】 （2）王老师发现之前两名同学都运用数学的转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，王老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，探究线段，，之间的数量关系． 【学以致用】 （3）在中，，，点在边上，点在边上，连接不平行)，将线段绕点逆时针旋转角，得到线段，连接，，再过点作交于点，过点作交于点，当，，时，求的周长． 【答案】（） 见解析；（），理由见解析；（）的周长为或． 【解析】 【分析】（）若选择小明同学的思路，过作交于点，可证明是等边三角形，得，，再证明是等边三角形，得，，可证明，得，；若选择小颖同学的思路，过作交于点，可证明是等边三角形，推导出，，，再证明是等边三角形，得，，进而证明，得，则； （）取的中点，的中点，连接，则，，因为，，所以，可证明，则，再证明，则，再证明，得，则； （）根据题干条件画出图形，分类讨论即可求解． 【详解】（）证明：方法一：如图，过作交于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是中点， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：如图，过作交于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （）解：，理由： 取的中点，的中点，连接，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴，，， ∴，， 由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （）如图所示， 当时，则在下方， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴，，由旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：； 如图所示， 当时，则在上方，同理可得， 此时的周长为：， 综上可知：的周长为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识的应用，正确添加辅助线及分类讨论思想应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省沈阳市大东区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 (本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟) 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分) 1. 下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（ ） A abc B. 4ab2 C. ab2 D. 4ab2c 4. 已知分式的值为0，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　 ） A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20° 6. 十二边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 7. 沈阳的欧亚长青城到龙之梦要铺设一条长25千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形中，对角线和交于点，若，，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连接．若，，则为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，桌面上有一把直尺和一个透明的学具，其中，，，学具放置在直尺的一侧，边与直尺的边缘重合，点对应直尺的刻度为，现将学具沿直尺边缘平移到所在位置，点对应直尺的刻度为，连接，则边扫过的面积为（ ） A B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 因式分解：＝______________． 12. 满足的最小整数是____________． 13. 若方程 有增根 ，则________． 14. 如图，在中，，，，垂足分别为点，，，，则_____． 15. 如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则______． 三、解答题(本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程) 16. （1）利用因式分解进行简便运算：． （2）化简：． 17. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 18. 如图，在中，平分，交于点，过点作于点． （1）求证∶； （2）若，求的长． 19. 从2013年的首次太空授课到2023年“天宫课堂”第四课开讲，精彩的课程在全国青少年心中播下了追逐航天梦想的种子，激发了他们探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A，B两款物理实验套装，其中B款套装的单价比A款套装单价的2倍少30元，用600元购买A款套装的数量是用450元购买B款套装数量的2倍． （1）求A，B两款套装的单价． （2）根据学校实际情况，需一次性购买A款套装和B款套装共100个，但要求A款套装和B款套装的总费用不超过8000元，学校最多可以购买多少个B款套装？ 20. 某市三个城镇中心，，恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆． 解决问题： （1）以城镇出发点，设计了两种连接方案： 如图，为中点)； 如图，为三边的垂直平分线的交点)； 请通过计算说明要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？ （2）尺规作图： 请在备用图中用尺规作图画出（）中你所选择的方案的图形（保留作图痕迹，不写作法）． 21. 延时课上，实验中学八（2）某学习小组对北师大八下教材P150页的中位线定理进行了探究，请依据图中添加的辅助线完成中位线定理的证明． 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 已知：如图，中，分别是的中点．求证：，且． 证明：如图，延长至点，使，连接． 22. 我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． （1）若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； （2）若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； （3）若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，求证：． 如图，小明同学发现：如果过作交于点，那么是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到，，之间的数量关系． 如图，小颖同学发现：如果过作交于点，那么是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到，，之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 类此分析】 （2）王老师发现之前两名同学都运用数学的转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，王老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，探究线段，，之间数量关系． 【学以致用】 （3）在中，，，点在边上，点在边上，连接不平行)，将线段绕点逆时针旋转角，得到线段，连接，，再过点作交于点，过点作交于点，当，，时，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$