福建省福州市长乐区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题

2023—2024学年第一学期期中阶段反馈练习 九年级数学 (全卷共4页.满分:150分.考试时间:120分钟) 友情提示:请将答案写在答题卡规定位置上,不得错位、越界答题. 一、选择题:(本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) ( A . B . C . D . )1.在以下绿色食品、可回收物、环保和节水标志中,是中心对称图形的是( ) 2.对于抛物线,下列说法错误的是( ) A.开口向上 ( 第3题 )B.对称轴是轴 C.顶点坐标是 D.y随x的增大而增大 3.如图,点A,B,C在⊙O上,,则的度数为( ) A. B. C. ( 第 6 题 )D. 4.正五边形绕它的对称中心旋转后能与自身完全重合,则旋转角度至少为( ) A. B. C. D. ( 第 5 题 )5.二次函数的图象如图所示,则下列结论错误的是( ) A. B. C. ( 第 6 题 )D. 6.下列说法正确的是(　 　) A.长度相等的弧是等弧 B.过三点可以确定一个圆 C.经过半径外端的直线是圆的切线 ( 第 7 题 )D.圆内接四边形对角互补 7.如图,,是的切线,,是切点,若,则 的度数为( ) A. B. C. D. 8.若点,在抛物线上,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 9．如图1,是北京故宫博物院内的太和殿上方的八角浑金蟠龙藻井,它展示出精美的 装饰空间和造型艺术.从分层构造上来看,太和殿藻井由三层组成:最外层为正方 ( A B C D 第9题 )井,中层为正八角井,内层为圆井,图2是图1抽象 出的平面图形,若最外层正方井ABCD的边长是2, 则内层圆井的面积为( ) A. B. C. D. 10.已知二次函数,其中,为常数,且,则函数的最小值为( ) A. B. C. ( 第 1 2 题 )D. 二、填空题:(本题共6小题,每小题4分,共24分) 11.抛物线向下平移2个单位长度后的解析式为 . 12.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,,则边心距OM的长 ( 第15题 )为 ． 13.在平面直角坐标系中,将点绕着旋转中心旋转, 得到点,则旋转中心的坐标为 . 14.若圆锥的底面半径为3,母线长为6,则圆锥的侧面积是 . 15.如图,在中,,,则它内切圆的 ( 第1 6 题 )半径为 . 16.如图,在中,,,,点E在边 BC上,将线段AE绕点E顺时针旋转得到FE,连接CF． 则CF的最小值为 . 三、解答题:(本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题8分)如图,在平面直角坐标系中,点的坐标是.画出△ABC关于原点对称的△,并写出点的对应点 的坐标. 18.(本题8分)如图,一名男生推铅球,已知铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是. (1)画出上述函数的图象； (2)观察图象,指出铅球推出的距离. 19.(本题8分)求证:圆内接菱形是正方形. 20.(本题8分)如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面时,水面宽,若观光船在水面宽不小于时才能顺利通过,则当水面下降后,观光船能否顺利通过? 21.(本题8分)长乐东渡麦芽糖享誉省内外,在某电商销售平台上十分畅销.原价每盒28元的麦芽糖每天可以卖出240盒,该麦芽糖每盒的成本为20元．根据该电商平台大数据的分析,若每盒涨价或降价1元,则每天就会少卖或多卖20盒,记该麦芽糖每盒售价为x元. (1)若每天的销售量为y盒,求y与x的函数关系式； (2)当每盒售价定为多少元时,电商平台销售该麦芽糖每天获得的利润最大?并求 出最大利润. 22.(本题10分)如图,在Rt△ABC中,,以AC为斜边向外作等腰直角三角形ACD,连接BD,将△DAB绕点D顺时针旋转90°,点B的对应点为E． (1)作出旋转后的三角形(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)； (2)求证:A,C,E三点在同一条直线上. 23.(本题10分)如图,是⊙O直径,点在⊙O上.在的延长线上取一点,连接,使. ( A B C D O )(1)求证:直线是⊙O的切线； (2)若,,求图中阴影部分的面积. 24.(本题12分)如图1,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,点是直线AC下方抛物线上的一动点. (1)求抛物线的解析式； (2)连接,,求面积的最大值； ( 图 2 ) ( 图 1 )(3)如图2,将线段绕点逆时针旋转得到线段,若点F在直线AC上,求点的坐标. 25.(本题14分)如图1,AB,CD是⊙O直径,,BE与CD交于点F. (1)求证:BE⊥CD； (2)如图2,点G在CD上,且. ①求证:； ②若,,求AC的长. ( 图 2 ) ( 图 1 ) 1 九数-2- 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024 学年第一学期期中阶段反馈练习参考答案 九年级数学 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1.C 2.D 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 8.A 9.A 10.C 二、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 九数-1- 11. y = 2x2 − 2 12. 3 13.(-1,2) 14.18π 15.103 16. 2 三、解答题:本题共 9 小题,共 86 分. 17.(本题 8 分)解:如图,△ 即为所求,（图略） 6 分 1 1 1A B C 点B 的对应点 1B 的坐标是 .8 分 ( 1, 2)− − 18.(本题 8 分) 解:(1) 2 51 212 3 3y x x= − + + 21 ( 4) 312 x= − − + 2 分(不写不扣分) 1− 6 7 81 2 3 4 1 2 3 1− 10 x y O 5 9 列表: x 0 2 4 6 8 10 y 5 3 8 3 3 8 3 5 3 0 描点并连线,函数的图象如图所示； 6 分(图象超过实际范围不扣分) (2)由图象可知:铅球推出的距离为10 8 分 m 19.(本题 8 分) 已知:如图,菱形 ABCD 内接于⊙O.1 分 求证:菱形 ABCD 是正方形.2 分（+图 1分）3 分 A B C D O  证明:∵四边形 ABCD 是菱形 ∴ 4 分 A C∠ = ∠ ∵菱形 ABCD 内接于⊙O ∴ 6 分 180A C∠ + ∠ = o ∴ 7 分 90A∠ = o ∴菱形 ABCD 是正方形.8 分 20.(本题 8 分) 解:以抛物线的顶点为原点,抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系 1 分 设抛物线的解析式为 2y ax= ,由题意知,抛物线经过 (2 2 分 2)−, O 2 1− y 2− x 2− ∴ 解得22 a− = × 2 12a = − ∴抛物线的解析式为 212y = − x 4 分 当水面下降1m时,水面的纵坐标为 3− 把 代入3y = − 212y x= − ,得 213 2 x− = − 解得 6x = ± 5 分 此时水面的宽度为 6 ( 6) 2 6− − = m 6 分 ∵2 6 5< 7 分 ∴观光船不能顺利通过.8 分 21.(本题 8 分) 解:(1)当 时, 1 分 28x > 240 20( 28) 20 800y x x= − − = − + 当 时, 2 分 28x < 240 20(28 ) 20 800y x= + − = − +x ∴y 与 x 的函数关系式为 ； 4 分(两种情况缺一个扣 1 分) 20 800y x= − + (2)设电商平台销售该麦牙糖每天获得的利润为 元,根据题意,得 w ( 20)( 20 800)w x x= − − + 5 分 220( 30) 2000x= − − + 6 分 ∵ 20 0− < ∴当 时,w取最大值为2000 7 分 30x = 答:当每盒售价定为 30 元时,电商平台销售该麦牙糖每天获得的利润最大,其最大 利润为2000元. 8 分 22.(本题 10 分) (1)如图,△DCE 是所求作的三角形．4 分(或过点 D 作 BD 的垂线,再截取 ) DE DB= (2)解:∵△ADC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形 ∴ , 5 分 90ADC∠ = o AD CD= A BC D E ∴ 6 分 45DAC DCA∠ = ∠ = o ∵ 90BAC∠ = o ∴ 7 分 135DAB∠ = o 由旋转得△DCE≌△DAB ∴ 8 分 135DCE DAB∠ = ∠ = o ∴ 9 分 180DCE DCA∠ + ∠ = o 即 A,C,E 三点共线． 10 分 23.(本题 10 分) (1)证明:连接 OC 1 分 C ∵AB 是直径 九数-2- ∴ 2 分 90ACB OCA OCB∠ = ∠ + ∠ = o A D B O ∵OA ,OC= BCD A∠ = ∠ ∴ 3 分 OCA A BC∠ = ∠ = ∠ D 5 分 ∴ 90OCD BCD OCB∠ = ∠ + ∠ = o ∴OC 4 分 CD⊥ ∵OC 是⊙O 的半径 ∴直线CD是⊙O的切 线； (2)解:∵ , 120ACD∠ = o 90ACB∠ = o 九数-3- o o ∴ 120 90 30A BCD∠ = ∠ = − =o o ∴ 6 分 60BOC A OCA∠ = ∠ + ∠ = o ∵ 4AB = ∴ 7 分 2OC = 在 Rt△OCD 中, 90 60 30D∠ = − =o o ∴ 4OD = ∴ 2 2 2 3CD OD OC= − = 8 分 ∴阴影部分的面积 OCD OBCS S= −△ 扇形 260 21 2 3 22 360 × π×= × × − 22 3 3 π= − .10 分 24.(本题 12 分) 解:(1)将 , , 代入( 4 0)A − , (1 0)B , (0 4)C −, 2y ax bx c= + + , 得 3 分 解得 16 4 0 0 4 a b c a b c c − + =  + + =  = − 1 3 4 a b c =  =  = − ∴此二次函数解析式为 ；4 分 2 3y x x= + − 4 BA O x y D C (2)连接 OD 设点 5 分 2( , 3 4)D t t t+ − ∴ ACD AOD COD COAS S S SΔ Δ Δ Δ= + − 21 [ ( 3 4)] 4 1 ( ) 4 4 42 2 1 2t t t= − + − × + − × − × × 22( 2) 8t= − + + 7 分 图 1 ∵ 2 0− < ∴当 时,2t = − ACD△ 面积最大,最大值为 8；8 分 (3)过点 D 作 轴于 H,过点 F 作 ,交 HD 延长线于点 G DH y⊥ FG DH⊥ G H F B A O x y D C 由旋转得OD , DF= 90ODF∠ = o ∴ 90FDG ODH∠ + ∠ = o ∵FG DH⊥ , 轴 DH y⊥ ∴ 90FGD DHO∠ = ∠ = o ∴ 90GFD FDG∠ + ∠ = o ∴ GFD ODH∠ = ∠ ∴ ≌ (AAS) 9 分 GDF△ HOD△ ∴GD , OH= GF DH= 图 2 设点 D 的坐标为 2( 3m m m+ −, 4) 则GF , DH m= = − 2 3 4GD OH m m= = − − + ∴ , 2 4 4GH GD DH m m= + = − − + 2 2 4GF OH m m− = + − 九数-4- 4)∴ 10 分 2 2( 4 4 2F m m m m+ − + −, 设直线 AC 的解析式为 y kx b= + 将 代入得 ( 4 0)A − , , (0 4)C −, 得 解得 4 0 4 k b b − + =  = − 1 4 k b = − = −    ∴直线 AC 的解析式为 4y x= − − ∵点 F 在直线 AC 上 ∴ 11 分 2 24 4 4 2m m m m− − + − = + − 4 解得 1 3 17 2m − −= , 2 3 17 2m − += (不合题意,舍去) ∴点 D 的坐标为 3 17 22  − − −    , . 12 分 25.(本题 14 分) (1)证明:连接 OE 1 分 OA B C D E F ∵AB,CD 是直径 ∴ AOD BOC∠ = ∠ ∵ CE AD= ∴ 2 分 COE AOD∠ = ∠ ∴ 3 分 COE BOC∠ = ∠ 图 1 又∵OE OB= ∴BE⊥OC 即 BE⊥CD； 4 分 (2)①证明:连接 CE,AE ∵AB 是⊙O 的直径 OA B C D E F ∴ 90AEB∠ = o 由(1)得 BE⊥CD, COE BOC∠ = ∠ G ∴ , 5 分 90OFB AEB∠ = ∠ = o CE BC= ∴ //AE CG 6 分 ∵ ,CAG ABE∠ = ∠ ACE ABE∠ = ∠ 图 2 ∴ CAG ACE∠ = ∠ ∴ 7 分 //AG CE ∴四边形 AGCE 是平行四边形 8 分 ∴ AG CE= ∴ ； 9 分 AG BC= (或连接 AD,证 ) AG AD BC= = ②解:由①得四边形 AGCE 是平行四边形 ∴ 10 分 6AE CG= = 由(1)得 BE⊥CD,且 CD 是直径 ∴F 是 BE 的中点 九数-5- ∴OF 是△ABE 的中位线 ∴ 1 32OF AE= = 11 分 设⊙O 的半径为 R 在 Rt△OBF 中, 2 2 2 2 3BF OB OF R= − = − 2 在 Rt△BCF 中, 2 2 2 2(2 14) ( 3)BF BC CF R= − = − − 2 OA B C D E F ∴ (2 14)2 − (R − 3)2 = R2 − 32 解得R1 = 7, R2 = −4 (不合题意,舍去)13 分 G ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB = 90o 图 2 ∴ AC = AB2 − BC 2 = 142 − (2 14)2 = 2 35 . 14 分