精品解析：山东省枣庄市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

2023~2024学年高一教学质量检测 数学 2024.07 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、座号、试卷类型用2B铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上. 3.考试结束后，监考人员将试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 数据1，2，3，5，5，6，10，9，8，7的分位数是（ ） A. 6 B. C. 7 D. 8 3. 已知，则与垂直的单位向量可以为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形：①，，；②，，.则（ ） A. ①只有一个解，②有两个解 B. ①有两个解，②只有一个解 C. ①②都只有一个解 D. ①②都有两个解 6. 已知，均为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 7. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ） A. 2% B. 3% C. 6% D. 8% 8. 如图，梯形中，四边形是梯形在平面α内的投影（），则对四边形的判断正确的是（ ） A. 可能是平行四边形不可能是梯形 B. 可能是任意四边形 C. 可能是平行四边形也可能是梯形 D. 只可能是梯形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的实部为 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个绿球，1个黄球.若从中任取2个小球，则下列判断错误的是（ ） A. 恰有一个红球的概率为 B. 两个球都是红球的概率为 C. “有黄球”和“两个都是红球”互斥 D. “至少有一个绿球”和“至多有一个绿球”互对立 11. 如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（ ） 参考数据： A. 这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B. 这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C. 这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D. 这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 说明：1.第Ⅱ卷包括填空题与解答题两个大题； 2.第Ⅱ卷的答案必须用0.5mm黑色签字笔答在答题卡的指定位置上. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，把下列式子分解成一次因式的积：________. 13. 如图，正八面体是具有八个面，每个面都是全等的正三角形的立体结构图形，在自然界中，正八面体结构广泛存在于各种矿物、化合物和生物体中，它是一个具有高度对称性的结构，具有独特的物理、化学和生物性质.若正八面体的棱长为1，则其外接球的表面积为________. 14. 已知总体划分为2层，通过按比例分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，总的样本平均数为，则总的样本方差用上述已知量表示为________. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知同一个样本空间下的两个事件A，B满足，，在以下情况下求： （1）A与B互斥； （2）A与B独立； （3）A包含于B 16. 如图，在四棱锥中，是正三角形，平面，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图，在等边中，点E为底边BC中线AD的靠近点A的四等分点，过点E的直线分别与AB，AC交于点M，N.设，. （1）若，用，分别表示，； （2）若M为AB中点. （ⅰ）用，表示； （ⅱ）若，求的边长t. 18. 在三棱台中，，. （1）证明：平面平面ABC； （2）若三棱锥的体积是9，求三棱台的体积； （3）求二面角的正切值. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，为内一点. （1）证明：等腰三角形； （2）若，，，求的最小值； （3）若，，，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年高一教学质量检测 数学 2024.07 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、座号、试卷类型用2B铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上. 3.考试结束后，监考人员将试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：B. 2. 数据1，2，3，5，5，6，10，9，8，7的分位数是（ ） A. 6 B. C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】数据从小到大排列为：1，2，3，5，5，6，7，8，9，10， 又，所以分位数为第、两数的平均数，即为. 故选：B 3. 已知，则与垂直的单位向量可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设与垂直的单位向量为，依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】设与垂直的单位向量为， 则，解得或， 所以或. 故选：C 4. 如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，得出甲、乙两个元件的故障情况，即可得出结果. 【详解】因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障， 即甲、乙都没有故障，即事件和同时发生，即事件发生. 故选：D. 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形：①，，；②，，.则（ ） A. ①只有一个解，②有两个解 B. ①有两个解，②只有一个解 C. ①②都只有一个解 D. ①②都有两个解 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理结合边角关系判断即可. 【详解】对于①：由正弦定理可知， 因为，所以，则①只有一个解； 对于②：由正弦定理可知， 且，则有两解，因此②有两个解； 故选：A 6. 已知，均为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，均为单位向量，所以， 又在方向上的投影向量为，所以， 所以 . 故选：D 7. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ） A. 2% B. 3% C. 6% D. 8% 【答案】C 【解析】 【分析】由概率得出这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”，结合题设条件，估计第二个问题有人回答了“是”，从而得出所占比例. 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中， 随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为， 因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人， 而一年12个月中，奇数的占一半， 所以对第一个问题回答“是”的概率为 所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”， 从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”， 所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为． 故选：C 8. 如图，梯形中，四边形是梯形在平面α内的投影（），则对四边形的判断正确的是（ ） A. 可能是平行四边形不可能是梯形 B. 可能是任意四边形 C. 可能是平行四边形也可能是梯形 D. 只可能是梯形 【答案】D 【解析】 【分析】由平面平面，结合面面平行的性质证明，再由必然会相交于一点，得出四边形只可能是梯形. 【详解】由题意，因为，所以与确定平面， 与确定平面， 平面，平面，平面， 又在梯形中，平面， 平面，平面. 又平面，平面， 平面平面. 易知平面， 平面. 在平面中，与长度不相等，必然会相交于一点， 则平面与平面相交，必然会相交于一点， 则四边形只可能是梯形， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的实部为 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】求出，即可判断A、B，根据复数代数形式的乘法运算判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】因为，所以，则实部为，故A错误； ，故B正确； ， 所以为实数，故C错误； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确. 故选：BD 10. 一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个绿球，1个黄球.若从中任取2个小球，则下列判断错误的是（ ） A. 恰有一个红球的概率为 B. 两个球都是红球的概率为 C. “有黄球”和“两个都是红球”互斥 D. “至少有一个绿球”和“至多有一个绿球”互为对立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据古典概型，分别计算样本空间和事件空间，可得相应概率，判断A、B，再根据互斥事件和对立事件定义判断C、D，可得答案. 【详解】从6个球中任取2个球共有种取法， 设三个红球记为1，2，3，两个绿球记为，，一个黄球记为， 记事件A为恰有一个红球， ， 即恰有一个红球共18种取法，所以，故A错误； 记事件B为两个球都是红球，则， 所以，故B错误； 记事件为有黄球，表示2个球中至少有1个是黄球， 而两个球都是红球，不可能包含黄球，即C和B不可能同时发生，是互斥事件，故C正确； 记事件为至少有一个绿球，则D包含恰有1个绿球， 记事件为至多一个绿球， 则E也包含恰有1个绿球， 所以，所以“至少一个绿球”和“至多一个绿球”不是对立事件，故D错误. 故选：ABD． 11. 如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（ ） 参考数据： A. 这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B. 这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C. 这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D. 这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 【答案】AB 【解析】 【分析】讨论的大小，分别求出过河的时间，从而判断ABC；由平行四边形法则结合勾股定理判断D. 【详解】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为， ， 当为钝角时， 当为锐角时， 当为直角时， 则当为钝角时，， 当为锐角时，， 所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确； 对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误； 对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短， 由下图可知，设，则， 此时，船的航行时间，故D错误； 故选：AB 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 说明：1.第Ⅱ卷包括填空题与解答题两个大题； 2.第Ⅱ卷的答案必须用0.5mm黑色签字笔答在答题卡的指定位置上. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，把下列式子分解成一次因式的积：________. 【答案】 【解析】 【分析】由，则，运用平方差公式进行因式分解即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 如图，正八面体是具有八个面，每个面都是全等的正三角形的立体结构图形，在自然界中，正八面体结构广泛存在于各种矿物、化合物和生物体中，它是一个具有高度对称性的结构，具有独特的物理、化学和生物性质.若正八面体的棱长为1，则其外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出外接球的半径，代入公式即可. 【详解】因为正八面体的每个面都是全等的正三角形，各棱长均为1， 由对称性可知，连接任意相对的两个顶点， 它们都过其外接球的球心，即正八面体的中心, 即相对两个顶点的距离为外接球的直径， 因为正八面体具有高度对称性,所以,且两两垂直, 所以四边形是正方形, 在中, ， 即外接球的直径为, 所以外接球的半径为， 表面积. 故答案为：. 14. 已知总体划分为2层，通过按比例分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，总的样本平均数为，则总的样本方差用上述已知量表示为________. 【答案】 【解析】 【分析】结合按比例分配的分层抽样，根据方差的定义，写出总样本方差，又，，进而进行化简即可得证. 【详解】根据方差的定义，总样本方差为 ， 因为， 同理， 因此， . 故答案为：. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知同一个样本空间下的两个事件A，B满足，，在以下情况下求： （1）A与B互斥； （2）A与B独立； （3）A包含于B. 【答案】（1）0.5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，结合互斥事件的概率公式，求解即可； （2）由独立事件的乘法公式求解即可； （3）由事件的关系得出，进而得出. 小问1详解】 由，得， 即，所以， 若A与B互斥，即，于是有，. 【小问2详解】 若A与B独立，则，， 解得 【小问3详解】 因为A包含于B，所以， ，. 16. 如图，在四棱锥中，是正三角形，平面，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）首先证明平面，由（1）知，从而得到平面，则为与平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 取的中点，连接、， 因为是的中点，所以且， 又平面，平面，所以，又， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为是正三角形，为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 由（1）知，所以平面， 所以为与平面所成的角， 因为，又，所以四边形为直角梯形， 又，所以， 由（1）知， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 如图，在等边中，点E为底边BC的中线AD的靠近点A的四等分点，过点E的直线分别与AB，AC交于点M，N.设，. （1）若，用，分别表示，； （2）若M为AB的中点. （ⅰ）用，表示； （ⅱ）若，求的边长t. 【答案】（1）， （2）（ⅰ）（ⅱ）3 【解析】 【分析】（1）由结合向量的减法运算得出，再由结合平行四边形法则得出； （2）（ⅰ）由向量的运算得出，，结合得出点的位置，再由减法、数乘运算得出；（ⅱ）先由向量的运算表示，再由数量积运算得出t. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）设，因为三点共线， 所以存在唯一的实数，使得， 所以，即. 所以， 即. 由（1）可得，即，且. 解得，所以， （ⅱ）由， ，得， 即，即， 解得，所以的边长为. 18. 在三棱台中，，. （1）证明：平面平面ABC； （2）若三棱锥的体积是9，求三棱台的体积； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过作，交于点，连接，由勾股定理证明，进而由面面垂直的判定证明即可； （2）设三棱台所在三棱锥的高为，的面积为，由棱台的体积得出，再由三棱锥的体积求出，从而得出三棱台的体积； （3）由等腰三角形的性质结合二面角的定义，确定二面角的一个平面角，再由边角关系得出二面角的正切值. 【小问1详解】 证明：过作，交于点，连接， 在中，， ， 在中，， 所以为正三角形，所以， 在中，， 所以，所以. 又平面 平面所以平面平面 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 设三棱台的高为，的面积为， 则① ② 将②代入①得. 【小问3详解】 因为为的中点，所以. 因为为正三角形，为的中点，所以. 所以是二面角一个平面角. 在中，， 即二面角的正切值为2. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，为内一点. （1）证明：为等腰三角形； （2）若，，，求的最小值； （3）若，，，求的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式计算可得； （2）设，，在中利用正弦定理表示出，再在中利用余弦定理表示出，利用三角恒等变换公式化为的三角函数，结合正弦函数的性质计算可得； （3）设，即可求出，，由余弦定理得到，再由三角形相似得到，，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，即， 又，所以，所以，即，则， 所以为等腰三角形 【小问2详解】 依题意可得是边长为的等边三角形， 在中，设，， 由正弦定理，所以， 在中， 由余弦定理 ， 因为，所以，所以当，即时， 此时，所以. 【小问3详解】 设，则，为锐角， 所以，， 在中，由余弦定理及可得 ， 所以， 由，且， 所以，又， 所以， 所以， 所以，， 而 ， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题第二问解答的关键是转化为的三角函数，第三问关键是利用整体思想转化为、的关系式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$