精品解析：山东省德州市乐陵市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

七年级2023-2024学年第二学期期末质量检测数学试题 （满分150分， 间120分钟） 亲爱的同学们： 打开试卷的同时，你一个学期辛勤努力即将会有一番见证．望你沉着冷静，勇敢接受挑战，争取考出自己的最佳水平！ 一、选择题：本大题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确得选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出得答案超过一个均记零分． 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，能够证明的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知,满足方程组，则无论取何值，,恒有关系式是( ) A. B. C. D. 5. 下列不等式变形中，一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 6. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A. 调查一饮用水库的水质情况 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查台州市七年级学生的睡眠时间 D. 调查某班学生的视力情况 7. 小明一家在自驾游时，发现某公路上对行驶汽车的速度有如下规定，设此段公路上小客车的速度为千米小时，则满足的条件是（ ） 最高限速 小客车 120 大型客车 100 货车 90 最低限速 60 A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲乙持钱各几何？”其大意是：今有甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50．问甲、乙两人共带了多少钱？设甲带钱为x，乙带钱为y，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 老师和同学们玩猜数游戏．老师在心里想一个以内的数字，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错．甲问：“小于吗？”老师摇头．乙问：“不大于吗？”老师点头．丙问：“不小于吗？”老师点头．老师心里想的数字x所在的范围为（　　） A. B. C. D. 10. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如6615用算筹表示就是 ，则2023用算筹可表示为（ ） A. B. C. D. 11. 五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（ ） A. 12 B. 123 C. 14 D. 15 12. 对任意两个实数a，b定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，． 那么等于（ ）． A. B. 3 C. 6 D. 第Ⅱ卷 （非选择题 共102分） 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求写最后的结果，每小题填对得4分． 13. 计算：__________； 14. 已知10个数据：0，1，1，2，2，3，3，3，3，7，其中3出现的频数是____________． 15. 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则_________°． 16. 已知点，若轴，且线段的长为5，则的值为______． 17. 情境题游戏活动型，现有，，，，五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程． 若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为则取的两张卡片为______． 18. [x]表示不超过x的最大整数．如，．则下列结论： ①； ②若，则x的取值范围是 ； ③当 时， 的值为1或2； ④是方程唯一一个解． 其中正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4 （1）求证：BD∥CE （2）若∠A＝40°，求∠F的值． 21. 为了解本校八年级学生的暑期课外阅读情况，某数学兴趣小组抽取了50名学生进行问卷调查． （1）下面的抽取方法中，应该选择（ ） A.从八年级随机抽取一个班的50名学生 B.从八年级女生中随机抽取50名学生 C.从八年级所有学生中随机抽取50名学生 （2）对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表： 暑期课外阅读情况统计表 阅读数量（本） 人数 0 5 1 25 2 3本及以上 5 合计 50 统计表中的__________，补全条形统计图； （3）若八年级共有800名学生，估计八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生人数； （4）根据上述调查情况，写一条你的看法． 22. 已知与互为相反数． （1）求2a－3b的平方根； （2）解关于x的方程． 23. 根据下表素材，完成表中的两个任务 背景 在中国传统节日“端午节”期间，某爱心企业准备购买粽子慰问敬老院老人． 素材1 某商场开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售， 其中甲品牌粽子打九折，乙品牌粽子打八折． 素材2 已知打折前，买5盒甲品牌粽子和5盒乙品牌粽子共需900元； 打折后，买6盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子共需796元． 问题解决 任务1 确定单价 打折前，甲、乙两种品牌粽子每盒分别多少元？ 任务2 拟定方案 在商场促销期间，某爱心企业准备敬老院购买甲、乙两种品牌粽子 共50盒，总费用不超过3500元，问最多可购买多少盒甲品牌粽子？ 24. 某数学实验小组在探究“关于的二次三项式的性质（、为常数）”时，进行了如下活动． （1）【实验操作】 取不同的的值，计算代数式的值． … 0 1 … … 6 3 2 … 根据上表，计算出、的值； （2）【观察猜想】 实验小组组员通过观察表格，提出以下猜想： ①代数式的值随着的增大而减小； ②当时，代数式有最小值，最小值是2． 上述猜想中正确的是：______（填写序号） （3）验证猜想】 请对正确的猜想进行证明； （4）【归纳运用】 根据实验经验解决下列问题： 如图所示，小丽想借助院中互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个长方形小菜园．当为何值时，长方形小菜园的面积最大，并求出最大面积． 25. 如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图1中补全图形，并证明：； （2）过点C作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级2023-2024学年第二学期期末质量检测数学试题 （满分150分， 间120分钟） 亲爱的同学们： 打开试卷的同时，你一个学期辛勤努力即将会有一番见证．望你沉着冷静，勇敢接受挑战，争取考出自己的最佳水平！ 一、选择题：本大题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确得选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出得答案超过一个均记零分． 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】A.是有理数，故A错误； B、是有理数，故B错误； C、是有理数，故C错误； D、是无理数，故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 2. 如图，能够证明的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、∵∠1＝∠2 ∴c∥d，故A选项错误； B、根据∠4＝∠5能推出a∥b，故B选项正确； C、∵∠4＋∠3＝180°， ∴c∥d，故C选项错误； D、因为∠1与∠5是对顶角，不能推出a∥b，故D选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的判定，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，点的坐标：分别对应第一、二、三、四象限，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴点所在的象限是第二象限， 故选：B． 4. 已知,满足方程组，则无论取何值，,恒有关系式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程组中两个方程相加得出，整理后即可得出答案． 【详解】解：由方程组， ①②得：， 即， 故选：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，本题基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，此题实际是对消元法的考核． 5. 下列不等式变形中，一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】A. ∵，∴当m>0时，，故该选项不一定成立，不符合题意； B. ∵，∴当时，，故该选项不一定成立，不符合题意； C. ∵，，∴不一定成立，例如：3>-4，-1>-2，3×（-1）<（-4）×（-2），故该选项不一定成立，不符合题意； D. ∵，∴，∴，故该选项一定成立，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A. 调查一饮用水库的水质情况 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查台州市七年级学生的睡眠时间 D. 调查某班学生的视力情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，熟练掌握全面调查和抽样调查的概念是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，根据以上原则逐项判断即可． 【详解】解：A、调查一饮用水库的水质情况，适合采用抽样调查，不符合题意； B、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合采用抽样调查，不符合题意； C、调查台州市七年级学生的睡眠时间，适合采用抽样调查，不符合题意； D、调查某班学生的视力情况，适合采用全面调查，符合题意； 故选：D． 7. 小明一家在自驾游时，发现某公路上对行驶汽车的速度有如下规定，设此段公路上小客车的速度为千米小时，则满足的条件是（ ） 最高限速 小客车 120 大型客车 100 货车 90 最低限速 60 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意已知小客车的最高限速和所有车辆的最低限速，易得出小客车的速度范围． 【详解】解：由题意小客车的最高限速为千米小时，而所有车辆的最低限速为千米小时， ， 因此小客车的速度范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，确定不等式组解集的原则是解题的关键． 8. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲乙持钱各几何？”其大意是：今有甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50．问甲、乙两人共带了多少钱？设甲带钱为x，乙带钱为y，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲带钱为x，乙带钱为y，根据题意列方程组即可． 【详解】解：设甲带钱为x，乙带钱为y， 由题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题关键． 9. 老师和同学们玩猜数游戏．老师在心里想一个以内的数字，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错．甲问：“小于吗？”老师摇头．乙问：“不大于吗？”老师点头．丙问：“不小于吗？”老师点头．老师心里想的数字x所在的范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵甲问：“小于50吗？”老师摇头， ∴①； ∵乙问：“不大于75吗？”老师点头， ∴②； ∵丙问：“不小于60吗？”老师点头， ∴③， ①②③联立可得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了列不等式，求不等式的解集，解题的关键是准确翻译老师的意思． 10. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如6615用算筹表示就是 ，则2023用算筹可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，遇零则置空，再对比即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：2023用算筹可表示为 故选D 【点睛】本题考查的是新定义的理解，理解新定义的含义是解本题的关键． 11. 五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（ ） A. 12 B. 123 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．设购买豆沙馅的x个，根据“两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元”可得，解不等式组即可求出购买豆沙馅的可能个数，再结合总钱数不超过15元，蛋黄鲜肉馅的至少买一个，即可得出不同的购买方案． 【详解】解：设购买豆沙馅的x个，根据题意得： ， 解得：， 当时，，即蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个、4个； 同理，当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 因此，有（种）不同的购买方案， 故选C． 12. 对任意两个实数a，b定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，． 那么等于（ ）． A. B. 3 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，无理数的大小比较，理解新定义是比较两数的大小是解题的关键．根据新定义先计算，进而计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ； 故选A 第Ⅱ卷 （非选择题 共102分） 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求写最后的结果，每小题填对得4分． 13 计算：__________； 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的运算法则计算，即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练运用计算法则是解题的关键． 14. 已知10个数据：0，1，1，2，2，3，3，3，3，7，其中3出现的频数是____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了频数的概念，掌握概念是解决本题的关键．根据频数的概念即可得出答案即可． 【详解】解：因为10个数据中，3出现的次数有4次，故3出现的频数是4． 故答案为：4． 15. 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则_________°． 【答案】 【解析】 【分析】此题要求的度数，可先求得其邻补角的度数，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”以及折叠的性质就可求解的度数． 【详解】解：四边形是长方形， ， ，（两直线平行，内错角相等） 由折叠得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 16. 已知点，若轴，且线段的长为5，则的值为______． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查了与坐标轴平行的点的坐标的关系．若轴，则，的纵坐标相同，因而；线段的长为5，即，解得或，进一步计算即可求解． 【详解】解：若轴，则，的纵坐标相同，因而； 线段的长为5，即，解得或． 当，时，； 当，时，； 故答案：3或． 17. 情境题游戏活动型，现有，，，，五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程． 若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为则取的两张卡片为______． 【答案】和 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，把解代入卡片逐项验证即可，解题的关键是正确理解二元一次方程组的解． 【详解】解：把分别代入各卡片得： 卡片：，不符合题意； 卡片：，符合题意； 卡片：，符合题意； 卡片：，不符合题意； 卡片：，不符合题意； ∴解为的两张卡片为和， 故答案为：和． 18. [x]表示不超过x的最大整数．如，．则下列结论： ①； ②若，则x的取值范围是 ； ③当 时， 的值为1或2； ④是方程的唯一一个解． 其中正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据定义的新运算：表示不超过的最大整数．一一进行判断即可． 【详解】解：①当时，，不相等，故原来的说法错误； ②若，则x取值范围是是正确的； ③当时， 当时， 当时， 故当时，的值为1或2是正确的； ④的范围为0～1， 即 或都是方程故原来的说法错误． 故答案为②③． 【点睛】本题主要考查定义新运算问题，根据定义的新运算进行解答即可. 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（）根据实数的运算，先去括号，化简绝对值，再加减即可求解； （）利用加减消元法求解即可； 此题考查了实数的运算和二元一次方程组的求解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：（）原式 ； （） 得：， 解得：， 把代入得：， ∴方程组的解为． 20. 已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4 （1）求证：BD∥CE （2）若∠A＝40°，求∠F的值． 【答案】（1）证明见详解；（2） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件根据对顶角相等可得，再根据平行线的判定即可得到结论； （2）由（1）结论与以及等量代换可得，进而可推出AC∥DF，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵（已知），（对顶角相等） ∴（等量代换） ∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行） （2）∵BD∥CE（已证） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∴ ∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行） ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等）． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键，注意两者的区别，体现了逻辑推理的核心素养． 21. 为了解本校八年级学生的暑期课外阅读情况，某数学兴趣小组抽取了50名学生进行问卷调查． （1）下面的抽取方法中，应该选择（ ） A.从八年级随机抽取一个班的50名学生 B.从八年级女生中随机抽取50名学生 C.从八年级所有学生中随机抽取50名学生 （2）对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表： 暑期课外阅读情况统计表 阅读数量（本） 人数 0 5 1 25 2 3本及以上 5 合计 50 统计表中的__________，补全条形统计图； （3）若八年级共有800名学生，估计八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生人数； （4）根据上述调查情况，写一条你的看法． 【答案】（1）C （2）15；见解析 （3）320人 （4）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】（1）根据所抽取的样本必须具有广泛性和代表性，即可解答； （2）用样本容量减去总计量为0本，1本以及3本及以上的人数可得a的值，再补全条形统计图即可； （3）用800乘以样本中暑期课外阅读数量达到2本及以上所占百分比即可得出结论； （4）根据统计表的数据提出建议即可． 【小问1详解】 为了解本校八年级学生的暑期课外阅读情况，应该选择从八年级所有学生中随机抽取50名学生，这样抽取的样本具有广泛性和代表性， 故选：C； 【小问2详解】 ； 故答案为：15； 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 （人） 答：八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生约为320人． 【小问4详解】 本次调查大部分同学一周暑期课外阅读数量达不到3本，建议同学们多阅读，培养热爱读书的良好习惯（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了抽样调查的可靠性，频数分布表以及条形统计图，熟练掌握条形统计图是解题的关键． 22. 已知与互为相反数． （1）求2a－3b的平方根； （2）解关于x的方程． 【答案】（1）的平方根为；（2）． 【解析】 【分析】（1）先由相反数的定义列出等式，再根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出a、b的值，然后代入，根据平方根的定义求解即可； （2）先将a、b的值代入，再利用平方根的性质求解即可． 【详解】（1）由相反数的定义得： 由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得： 解得 则 故的平方根为； （2）方程可化为 整理得 解得． 【点睛】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方根的定义等知识点，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握． 23. 根据下表素材，完成表中的两个任务 背景 在中国传统节日“端午节”期间，某爱心企业准备购买粽子慰问敬老院老人． 素材1 某商场开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售， 其中甲品牌粽子打九折，乙品牌粽子打八折． 素材2 已知打折前，买5盒甲品牌粽子和5盒乙品牌粽子共需900元； 打折后，买6盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子共需796元． 问题解决 任务1 确定单价 打折前，甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ 任务2 拟定方案 在商场促销期间，某爱心企业准备为敬老院购买甲、乙两种品牌粽子 共50盒，总费用不超过3500元，问最多可购买多少盒甲品牌粽子？ 【答案】任务1：甲品牌粽子每盒100元，乙品牌粽子每盒80元；任务2：最多可购买11盒甲品牌粽子． 【解析】 【分析】任务1：设打折前，甲、乙两种品牌粽子每盒分别为x元和y元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即得出答案； 任务2：设购买a盒甲品牌粽子，则需购买盒乙品牌粽子，根据题意可列出关于a的一元一次不等式，求出a的取值范围，再结合题意即得出答案． 【详解】解：任务1：设打折前，甲、乙两种品牌粽子每盒分别为x元和y元， 根据题意有：， 解得：． 答：甲品牌粽子每盒100元，乙品牌粽子每盒80元； 任务2：设购买a盒甲品牌粽子，则需购买盒乙品牌粽子， 根据题意有：， 解得：， ∴最多可购买11盒甲品牌粽子． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 24. 某数学实验小组在探究“关于的二次三项式的性质（、为常数）”时，进行了如下活动． （1）【实验操作】 取不同的的值，计算代数式的值． … 0 1 … … 6 3 2 … 根据上表，计算出、的值； （2）【观察猜想】 实验小组组员通过观察表格，提出以下猜想： ①代数式的值随着的增大而减小； ②当时，代数式有最小值，最小值是2． 上述猜想中正确的是：______（填写序号） （3）【验证猜想】 请对正确的猜想进行证明； （4）【归纳运用】 根据实验经验解决下列问题： 如图所示，小丽想借助院中互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个长方形小菜园．当为何值时，长方形小菜园的面积最大，并求出最大面积． 【答案】（1）， （2）② （3）②证明见解析 （4）当时，面积最大值为 【解析】 分析】（1）根据表中数据，组成方程组，解之即可得出答案； （2）根据表中数据可判断①；通过整理式子和非负数的性质解答②即可； （3）证明与（2）②相同； （4）设，根据长方形的面积列出代数式，再根据非负数的性质求最值． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 可得方程组， 解得， 所以，； 【小问2详解】 解：①的说法不正确． 由表格中数据知，当时，，当时，， ∵，， 所以y随x的增大而增大，这个说法不正确； ②的说法正确， 由（1）知， ∵， ∴， 当时，那么， ∴时，代数式有最小值，最小值是2， ∴上述猜想中正确的是②； 故答案为：②； 【小问3详解】 解：对②进行证明： 由（1）知， ∵， ∴， 当时，那么， ∴时，代数式有最小值，最小值是2； 【小问4详解】 解：设，则， 因为矩形的面积S为， ∴， ∵， ∴， 则， ∴当时，S有最大值，最大值为9， ∴当时，长方形小菜园的面积最大，最大面积为． 【点睛】本题主要考查的是解二元一次方程组、长方形面积以及对式子整理能力等知识内容，难度中等偏上，对代数式进行正确整理是解题的关键． 25. 如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图1中补全图形，并证明：； （2）过点C作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②． 【解析】 【分析】（1）作，根据平行线的性质证明即可； （2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：补全图形如图所示，作， ∵将线段沿平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 【小问2详解】 解：①分两种情况： 点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得； 点在直线的下方时，如图所示： ， ∴， 整理，得； ②作，如图所示： ∵， ∴点到直线的距离就是线段的长， ∵， ∴点到直线的最大距离就是线段的长，此时，作于点，如图所示： 由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$