精品解析：辽宁省抚顺市清原满族自治县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间100分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填入题后相应的括号内） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. ，0，3，4，4的平均数是（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，11 4. 韩师傅到银州区某加油站加油，如图是所用加油机上的数据显示屏，其中自变量是（ ） A 金额 B. 油量 C. 单价 D. 金额和油量 5. 如图，矩形的对角线交于点O．若，，则的长为（　　） A. 6 B. 4 C. D. 8 6. 如图，直线交坐标轴于两点，则关于的不等式的解集是 A. B. C. D. 7. 在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮练习，每人投篮成绩的平均数都是9.3，方差分别，，，，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的长是（ ） A B. C. D. 2 9. 如图，一副三角板的直角边靠在一起，直角顶点重合，现将等腰沿方向平移一段距离，使顶点E恰好落在的边上，若，，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，E，F分别在，边上，四边形与关于直线对称，且点在边上，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④． 其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 端午节之前，学校对全校教师爱吃，，哪家公司粽子做调查，以决定最终向哪家公司采购，则调查所得数据中，最值得学校关注的统计量是______． 12. 若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为___________． 13. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为_______． 14. 学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发__________h后两人相遇． 15. 如图，以等边的边为对角线作正方形，过点作，交正方形的外角的平分线于点，若，则的周长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 我们在地理课上学过，海拔高度每上升，温度下降．某时刻，A市地面温度为．设高出地面处的温度为． （1）写出y与x之间的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； （2）已知A市一山峰高出地面，则这时山顶的温度大约是多少？ （3）此刻，有一架飞机飞过A市上空，若机舱内仪表显示飞机外面温度为，则飞机离地面的高度为多少? 18. 下表是某同学本学期体育素质历次测试成绩（百分制）如下表所示： 测试类别 平时测试 期中测试 期末测试 第1次 第2次 第3次 成绩 82 86 87 82 90 （1）该同学本学期五次测试成绩的众数为________，中位数为________； （2）该同学本学期体育素质平时测试的平均成绩为________； （3）如果本学期的总评成绩是将平时测验的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按照的比例计算所得，求该同学本学期体育素质的总评成绩． 19. 某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求长方形绿地的周长； （2）除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 20. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”． （1）如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”； （2）在中，，，若是“美丽三角形”，求的长． 21. 如图，在中，是的中点，连接，是的中点，过点作，与的延长线交于点，连接． （1）求证：四边形平行四边形； （2）填空：①当满足条件时，四边形是_______； ②当满足条件_______时，四边形是正方形． 22. 如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． （1）求直线的函数表达式和点B的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由． 23. 数学课上，张老师出示了一个问题：在菱形中，连接，可在直线上平移，得到，的平分线交射线于点． （1）小芳想，当点在的沿长线上时，如图1，线段和线段之间会有怎样的数量关系呢？请你作出判断：_______（填“”，“”或“”） （2）当点在线段上时，如图2，小琳同学对线段和线段之间的数量关系作出了判断：． ①小迪认为在图2中，不用添画辅助线，可以证明出小琳的结论； ②小芮觉得可以添画如图3的辅助线，构造全等三角形来证明小琳的结论； 请你选择用小迪或小芮的思路，写出一种证明过程． （3）小怡突发奇想：点在线段上，若，，当是等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间100分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填入题后相应的括号内） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的条件，掌握二次根式的条件是解题的关键．根据二次根式的条件即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 故选D． 2. ，0，3，4，4的平均数是（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的数据和平均数的计算方法求解即可． 本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的计算方法． 【详解】平均数． 故选：A． 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，11 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项计算可得. 【详解】选项A，12+12=（）2； 选项B，22+32≠42； 选项C，42+52≠62； 选项D，62+82≠112； 根据勾股定理的逆定理，只有选项A符合条件， 故答案选A． 考点：勾股定理的逆定理． 4. 韩师傅到银州区某加油站加油，如图是所用加油机上的数据显示屏，其中自变量是（ ） A. 金额 B. 油量 C. 单价 D. 金额和油量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了自变量，因变量，常量的定义，熟练掌握以上定义是解题的关键．根据定义判断即可． 【详解】金额随油量的变化而变化，所以油量是自变量，金额是因变量．单价是不变的，所以单价是常量． 故选：B． 5. 如图，矩形的对角线交于点O．若，，则的长为（　　） A. 6 B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，根据矩形性质得出，，根据直角三角形的性质得出，根据矩形性质求出． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 故选：B． 6. 如图，直线交坐标轴于两点，则关于的不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：kx+b＞0可看作是函数y=kx+b的函数值大于0，然后观察图象得到图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为x＞-2，这样即可得到不等式kx+b＞0的解集． kx+b＞0即函数y=kx+b的函数值大于0，图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为x＞-2， 所以不等式kx+b＞0的解集是x＞-2． 故选A． 考点：本题考查了一次函数与一元一次不等式 点评：对于一次函数y=kx+b，当y＞0时对应的自变量的取值范围为不等式kx+b＞0的解集． 7. 在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮练习，每人投篮成绩的平均数都是9.3，方差分别，，，，成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方差，正确理解方差的意义是解题关键． 直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可． 【详解】∵，，，， ∴． ∴成绩最稳定的是丙． 故选：C． 8. 如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出边是解题的关键．根据作图可知平分，结合，由三线合一求出长，根据勾股定理求出长，再根据直角三角形斜边中线的性质求出长，即可解答． 【详解】由作图可知，平分， ∵，， ，， ，点F为中点， ， 故选：A． 9. 如图，一副三角板的直角边靠在一起，直角顶点重合，现将等腰沿方向平移一段距离，使顶点E恰好落在的边上，若，，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质，勾股定理及平移的性质，知道平移的距离为是解决问题的关键． 由题意得，平移的距离为，根据含直角三角形的性质和勾股定理可设，则，则，解方程即可． 【详解】解：过作交于， ， 由题意得，平移的距离为， 在中，中，， ， ，， ，， ， 设，则， 则由勾股定理得：， 解得：， 平移的距离为， 故选：C． 10. 如图，在正方形中，E，F分别在，边上，四边形与关于直线对称，且点在边上，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④． 其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】结合正方形的性质和轴对称的性质，过点作交于，交于，则为矩形，可证明，，，可判断①正确；利用直角三角形两锐角互余可判断②正确；延长交于，与交于点，连接，，证明，，在同一直线上，过点作交与，可知，，，证明，进而可证，则为等腰直角三角形，得，可知，再利用平行线的性质结合，可得，可判断③正确；延长使得，可证，结合，可证，得，而，进而可得，可判断④正确；即可求解． 【详解】解：在正方形中，，， 过点作交于，交于，则矩形， ∴，， 由轴对称可知，，则， ∴， ∴， ∴，，故①正确； 由轴对称可知，，， 则， ∴， 又∵， ∴，故②正确； 延长交于，与交于点，连接，， 由轴对称可知，，，， 又∵， ∴， ∴，，则， 又∵， ∴， ∴，，则 由轴对称可知，点与点关于对称，则，， ∴ 又∵， ∴，即，，在同一直线上， 则， 过点作交与，可知，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，则为等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 又∵， ∴， 由上可知，， ∴，故③正确； 延长使得， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由上可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 而， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质等，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 端午节之前，学校对全校教师爱吃，，哪家公司的粽子做调查，以决定最终向哪家公司采购，则调查所得数据中，最值得学校关注的统计量是______． 【答案】众数 【解析】 【分析】本题考查了统计量的有关知识，解题的关键在于掌握各统计量的定义；首先，根据题意可知学校食堂最关注的为数据中出现次数最多的数；然后，依次寻找各选项中哪个统计量表示数据中出现次数最多的数，即为正确选项． 【详解】因为众数是数据中出现次数最多的数， 所以学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数； 故答案为：众数． 12. 若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．根据众数的定义可得的值，再依据中位数的定义即可得答案． 【详解】解：∵，，，，，的众数为， ∴， 把这组数据从小到大排列为：，，，，，， 则中位数为． 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线平分角，推出，再用求出即可． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 14. 学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发__________h后两人相遇． 【答案】0.35 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出小明和小亮的速度，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意和图象可得，小明0.5小时行驶了， ∴小明的速度为：， 小亮0.4小时行驶了， ∴小亮的速度为：， 设两人出发后两人相遇， ∴ 解得， ∴两人出发0.35后两人相遇， 故答案为：0.35 【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 15. 如图，以等边的边为对角线作正方形，过点作，交正方形的外角的平分线于点，若，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质求出，．证明点A，E，D共线，证明四边形是平行四边形得，然后求出、的长即可求解． 【详解】连接，交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴点A，E，D共线， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的 性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，证明点A，E，D共线是解答本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算； （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 17. 我们在地理课上学过，海拔高度每上升，温度下降．某时刻，A市地面温度为．设高出地面处的温度为． （1）写出y与x之间的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； （2）已知A市一山峰高出地面，则这时山顶的温度大约是多少？ （3）此刻，有一架飞机飞过A市上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为，则飞机离地面的高度为多少? 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确求出函数的解析式是解题关键． （1）求出高出地面，温度会下降，由此即可得； （2）将代入（1）的结论，求出的值即可得； （3）将代入（1）的结论，求出的值即可得． 【小问1详解】 解：由题意可知，高出地面，温度会下降， 则． 【小问2详解】 解：， 将代入得：， 答：这时山顶的温度大约是． 【小问3详解】 解：将代入得：， 解得， 答：飞机离地面的高度是． 18. 下表是某同学本学期体育素质历次测试成绩（百分制）如下表所示： 测试类别 平时测试 期中测试 期末测试 第1次 第2次 第3次 成绩 82 86 87 82 90 （1）该同学本学期五次测试成绩的众数为________，中位数为________； （2）该同学本学期体育素质平时测试的平均成绩为________； （3）如果本学期的总评成绩是将平时测验的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按照的比例计算所得，求该同学本学期体育素质的总评成绩． 【答案】（1）82分；86分 （2）85分 （3）分 【解析】 【分析】（1）由出现次数最多的数据是82分，可得众数的答案；把数据从小到大排列后，由最中间的数据是86分，可得中位数的答案； （2）利用算术平均数公式直接计算即可； （3）利用加权平均数公式直接计算即可． 【小问1详解】 解：5次测试成绩82出现了2次，出现的次数最多， ∴众数是82分， 把5次成绩按照从小到大的顺序排列如下： 82，82，86，87，90， 排在最中间的数据是86， ∴中位数是86． 故答案为：82分；86分 【小问2详解】 本学期体育素质平时测试的平均成绩为（分） 故答案：85分 【小问3详解】 该同学上学期数学学科总评成绩为： （分）． 【点睛】本题考查的是众数，中位数的含义，算术平均数与加权平均数的含义与计算，熟记平均数公式进行计算是解本题的关键． 19. 某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求长方形绿地的周长； （2）除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 【答案】（1）米 （2）3080元 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【小问1详解】 解：(米）， ∴长方形的周长为米． 【小问2详解】 解：(平方米)， 则(元)， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费3080元． 20. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”． （1）如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”； （2）在中，，，若是“美丽三角形”，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）作的中线，根据三线合一得出，勾股定理求得，根据美丽三角形的定义即可得出结论； （2）①作的中线，根据是“美丽三角形”,得出 ，根据勾股定理求得；②作的中线，勾股定理求得，根据美丽三角形的定义得出，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，作中线， ，是的中线， ，， 在中，由勾股定理得， ， 是美丽三角形. 【小问2详解】 解:①如图，作的中线，是“美丽三角形”, 当时，则 , 由勾股定理得 ②如图作的中线，是“美丽三角形”, 当时则， ， 在中，由勾股定理得 ， 则， 解得， ∴ 综上：或． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 21. 如图，在中，是的中点，连接，是的中点，过点作，与的延长线交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）填空：①当满足条件时，四边形是_______； ②当满足条件_______时，四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2）①菱形；②， 【解析】 【分析】（1）由，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，再由，等量代换得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）①由，为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证； ②添加条件为，，由，根据①得到四边形为菱形，再由，利用等腰三角形的三线合一得到，根据有一个角是直角的菱形为正方形即可得证． 【小问1详解】 证明：∵E为的中点，D为中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：①当满足条件时，四边形是菱形，理由为： ∵E为的中点，D为中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形； ∵，D是的中点， ∴ ∵四边形为平行四边形，； ∴四边形为菱形； ②当满足条件，时，四边形是正方形，理由为： 由①知当满足条件时，四边形是菱形， ∵，为中点， ∴为边上的中线， ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴四边形为正方形； 【点睛】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形与直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 22. 如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． （1）求直线的函数表达式和点B的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点B的坐标； （2）根据，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为． ∵图象经过点，， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵点C在x轴上， ∴， ∴当是直角三角形时，需分和两种情况． ①当时，点C在图中的位置： ∵点A和点均在x轴上， ∴轴． ∵， ∴； ②当时，点C在图中的位置： 设 ∵， ∴， ∴． 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 综上可知，在x轴上存在点C，使得是直角三角形，点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 23. 数学课上，张老师出示了一个问题：在菱形中，连接，可在直线上平移，得到，的平分线交射线于点． （1）小芳想，当点在的沿长线上时，如图1，线段和线段之间会有怎样的数量关系呢？请你作出判断：_______（填“”，“”或“”） （2）当点在线段上时，如图2，小琳同学对线段和线段之间的数量关系作出了判断：． ①小迪认为在图2中，不用添画辅助线，可以证明出小琳的结论； ②小芮觉得可以添画如图3的辅助线，构造全等三角形来证明小琳的结论； 请你选择用小迪或小芮的思路，写出一种证明过程． （3）小怡突发奇想：点在线段上，若，，当是等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1） （2）见解析 （3）1；； 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，根据平移得出，，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，即可证明，得出结论； （2）①根据菱形的性质得出，，，根据平移得出，，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，即可证明，得出结论； ②证明，得出，证明，得出； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，，， 根据平移可得：，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 证明：①∵四边形为菱形， ∴，，， 根据平移可得：，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴， 根据平移可知：， ∴， 即， 根据①得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：菱形中，， 根据平移可知：，， 当时，如图所示： 根据解析（2）可知：， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据解析（2）可知：， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据解析（2）可知：， 设，则， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知：的长度为：1；；． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平移的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$