精品解析：黑龙江省哈尔滨市萧红中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

萧红中学2023-2024学年度八年级下学期数学学科·寒假学情测试 教师寄语：同学们，考试是检验学习成果的重要方式，愿你能发挥出最佳水平，向着心中的目标努力． 核心素养，须日积月累，收获于细微．会解诚可贵，求真价更高；综合分析，百折不挠！ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 观察图形，依次判断各选项中的图形能否沿一条直线对折后能完全重合即可． 【详解】解：选项A：该图形沿竖直的直线对折后，左右部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意要求； 选项B：该图形不论沿哪条直线对折，左右部分均不能完全重合，不是轴对称图形，符合题意要求； 选项C：该图形沿竖直的直线对折后，左右部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意要求； 选项D：该图形沿竖直的直线对折后，左右部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意要求； 故选B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. a2•a3=a6 B. y3÷y3=y C. 3m+3n=6mn D. （x3）2=x6 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的运算法则、幂的乘方、合并同类项的法则进行计算即可． 【详解】解：A、应为a2•a3=a5，故本选项错误； B、应为y3÷y3=1，故本选项错误； C、3m与3n不是同类项，不能合并，故本选项错误； D、（x3）2=x3×2=x6，正确． 故选D． 3. 下列二次根式是最简二次根式的为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简各选项，再结合最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式； B、＝2，不是最简二次根式； C、＝，不是最简二次根式； D、＝，不是最简二次根式． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、最简二次根式的定义等知识点．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 4. 无理数的倒数是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用倒数的定义分析和二次根式的化简即可得出答案；相乘为1的两个数即为倒数； 【详解】解：无理数 的倒数是： ＝ ． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、倒数的定义，正确化简二次根式是解题的关键； 5. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键. 6. 若分式中的、的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ） A. 是原来的20倍 B. 是原来的10倍 C. 是原来的 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】a，b的值同时扩大到原来的10倍可得（）×10，再与进行比较即可． 【详解】中的、的值同时扩大到原来的10倍，变为，分式的值不变． 故选：D 【点睛】本题考查了分式的变化问题，掌握分式的性质是解题的关键． 7. 如图，在已知中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质：等边对等角与三线合一逐一进行判定即可； 【详解】∵， ∴是等腰三角形 ∴ ∵， ∴，， 而和不一定相等， 故A错误，符合题意，B、C、D正确，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 8. 如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．根据题意可得拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， 【详解】解：根据题意得：拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， ∴． 故选：D 9. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，代数式求值，对已知等式两边平方，然后运用完全平方公式展开，最后整理即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 10. 下列说法中，正确的有（ ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④一腰和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识，根据全等三角形，轴对称，等腰三角形的性质等相关知识判断即可． 【详解】解：①两个全等的三角形不一定关于某直线对称，错误； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，正确； ③等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，错误； ④如果一个是顶角为锐角，一个顶角为钝角的等腰三角形，则不全等，故错误； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 当x______时，分式无意义. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义，即分母为零，建立等式，即可解题． 【详解】解：分式无意义， ，解得． 故答案为：． 12. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据提取公因式法和平方差公式，即可分解因式． 【详解】， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查提取公因式法和平方差公式，掌握平方差公式，是解题的关键． 13. 等腰三角形的两边分别4和9，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，灵活运用分类讨论思想成为解题的关键． 分腰长为4和9两种情况，分别运用三角形三边关系判定能否组成三角形，再求出周长即可解答． 【详解】解：①当腰长为4时，三角形的三边长为9、4、4，由，不符合三角形三边关系，因此这种情况不成立； ②当腰长为9时，三角形的三边长为9、9、4，由，能构成三角形，则其周长． 故答案为：22． 14. 计算：_______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据，且为正整数，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式运算，先化简各二次根式，退然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 16. 如果多项式是完全平方式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】∵多项式是完全平方式，， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，∠BAC=30°，P是∠BAC平分线上一点，PM∥AC交AB于M，PD⊥AC于D,若PD=3,则AM=_______. 【答案】 【解析】 【分析】过点P作PE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PE，根据两直线平行，同位角相等可得∠PME＝∠BAC，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PM＝2PE，根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠CAP，根据两直线平行，内错角相等可得∠CAP＝∠APM，从而得到∠BAP＝∠APM，然后根据等角对等边可得AM＝PM． 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于E， ∵P是∠BAC平分线上一点，PD⊥AC， ∴PD＝PE＝， ∵PM∥AC， ∴∠PME＝∠BAC＝30°， ∴PM＝2PE＝， ∵P是∠BAC平分线上一点， ∴∠BAP＝∠CAP， ∵PM∥AC， ∴∠CAP＝∠APM， ∴∠BAP＝∠APM， ∴AM＝PM＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质以及等角对等边的性质，熟记各性质并作辅助线构造出含30°角的直角三角形是解题的关键． 18. 已知：，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，求出的值，再将多项式进行因式分解，再利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 19. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角是，则这个等腰三角形的顶角度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵，， ∴， 即顶角的度数为． ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：或． 20. 如图，中，，为高线，若，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，截取，连接，证明为等腰三角形，进而得到，根据线段的和差关系即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接， ∵为高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 三、解答题（21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共60分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和实数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键 （1）利用平方差公式计算即可； （2）先计算算术平方根、负整数指数幂、零指数幂后，再进行加减法即可 【小问1详解】 【小问2详解】 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简，然后代x的值，进行二次根式化简． 【详解】解：原式= 当时，原式= 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 23. 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系，点A的坐标为． （1）画出将向下平移2个单位得到的； （2）画出与关于y轴对称的． 【答案】（1） 所作如下图所示： （2） 所作如下图所示： 【解析】 【分析】本题考查的是平移变换作图，轴对称作图，解题的关键在于掌握平移作图和轴对称作图的一般步骤． （1）将A、B、C按平移条件找出它的对应点、、，再顺次连接、、，即得到平移后的图形； （2）找出A、B、C关于y轴对称的对应点、、，再顺次连接、、，即得到． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 24. 教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式 （1）化简：______； （2）我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：． 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请你化简： （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． （1）分子、分母同时乘以，计算即可得答案； （2）利用平方差公式，分子、分母同时乘以，即可得答案； （3）先通过分母有理化化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：． 故答案为： 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 ． 25. 某社区计划对面积为平方米的区域进行清雪，全部清雪工作由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每小时能完成清雪工作的面积是乙队每小时能完成清雪工作的面积的倍，并且在独立完成面积为平方米区域的清雪时，甲队比乙队少用小时． （1）求甲乙两工程队每小时能完成清雪工作的面积； （2）若甲队清雪的费用是元/平方米，乙队清雪的费用是元/平方米，如果施工总费用不超过1万元，那么乙工程队至少需要施工多少小时？ 【答案】（1）甲每小时清雪平方米，乙每小时清雪50平方米 （2）乙队至少施工小时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙工程队每小时能完成清雪的面积为x平方米，则甲工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，根据“在独立完成面积为平方米区域的清雪时，甲队比乙队少用小时”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设乙工程队施工小时，根据施工总费用不超过万元列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙工程队每小时能清雪平方米，则甲工程队每小时能清雪平方米， ， 解得：， 经检验 符合题意且是方程的解， 平方米， 答：甲每小时清雪平方米，乙每小时清雪平方米； 【小问2详解】 设乙工程队施工小时， ， 解得：， 答：乙队至少施工小时． 26. 已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2） 解：，理由如下： ，， ， 又， ， ，， ， 即； （3）6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，余角的性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，求得，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得且， ， ， ， ，， 的面积． 27. 已知，平面直角坐标系中，在y轴正半轴上，在x轴负半轴上，点B关于y轴的对称点为点C，且． （1）如图1，求点B，点C的坐标； （2）如图2，，动点Q从点A出发，沿射线方向匀速直线运动，速度为每秒1个单位长度，动点P从点C出发，沿x轴正方向匀速直线运动，速度也为每秒1个单位长度，两点同时开始运动，作的平分线交x轴于点H，设线段的长度为d，动点的运动时间为t秒，请用含t的式子表示d（不要求写t的取值范围）； （3）如图4，在（2）的条件下，点E为的中点，点F为的中点，连接，，当时，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3） 证明：延长至点T，使得，连接，如图： ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， ∴为等边三角形 ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴ 延长至点G，使得，连接，如图： ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由求解出的值，再根据点B关于y轴的对称点为点C，即可求解； （2）分三种情况①当点Q在线段上时，②当点Q与点C重合时， ③当点Q在线段延长线上时，分别求解即可； （3）延长至点T，使得，连接， 证明，得到，，再证得，得到，，进一步得到，延长至点G，使得，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得证． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：由（1）可得：，点B关于y轴的对称点为点C， ， ∴为等边三角形， ， ①当点Q在线段上时，作交于点M，如图： ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵动点Q从点A出发，沿射线方向匀速直线运动，速度为每秒1个单位长度，动点P从点C出发，沿x轴正方向匀速直线运动，速度也为每秒1个单位长度，两点同时开始运动， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵平分， ∴ ， ， ②当点Q与点C重合时，； ③当点Q在线段延长线上时，作交延长线于点N，如图： ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵动点Q从点A出发，沿射线方向匀速直线运动，速度为每秒1个单位长度，动点P从点C出发，沿x轴正方向匀速直线运动，速度也为每秒1个单位长度，两点同时开始运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， 综上所得：； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萧红中学2023-2024学年度八年级下学期数学学科·寒假学情测试 教师寄语：同学们，考试是检验学习成果的重要方式，愿你能发挥出最佳水平，向着心中的目标努力． 核心素养，须日积月累，收获于细微．会解诚可贵，求真价更高；综合分析，百折不挠！ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. a2•a3=a6 B. y3÷y3=y C. 3m+3n=6mn D. （x3）2=x6 3. 下列二次根式是最简二次根式的为（　　） A. B. C. D. 4. 无理数的倒数是（　　） A. B. C. D. 2 5. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 6. 若分式中的、的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ） A. 是原来的20倍 B. 是原来的10倍 C. 是原来的 D. 不变 7. 如图，在已知中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 10. 下列说法中，正确的有（ ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④一腰和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 当x______时，分式无意义. 12. 分解因式：_________． 13. 等腰三角形的两边分别4和9，则这个等腰三角形的周长为______． 14. 计算：_______． 15. 计算：___________． 16. 如果多项式是完全平方式，则________． 17. 如图，∠BAC=30°，P是∠BAC平分线上一点，PM∥AC交AB于M，PD⊥AC于D,若PD=3,则AM=_______. 18. 已知：，则_____． 19. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角是，则这个等腰三角形的顶角度数为______． 20. 如图，中，，为高线，若，则______． 三、解答题（21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共60分） 21. 计算： （1） （2） 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系，点A的坐标为． （1）画出将向下平移2个单位得到的； （2）画出与关于y轴对称的． 24. 教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式 （1）化简：______； （2）我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：． 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请你化简： （3）计算：． 25. 某社区计划对面积为平方米的区域进行清雪，全部清雪工作由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每小时能完成清雪工作的面积是乙队每小时能完成清雪工作的面积的倍，并且在独立完成面积为平方米区域的清雪时，甲队比乙队少用小时． （1）求甲乙两工程队每小时能完成清雪工作的面积； （2）若甲队清雪的费用是元/平方米，乙队清雪的费用是元/平方米，如果施工总费用不超过1万元，那么乙工程队至少需要施工多少小时？ 26. 已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 27. 已知，平面直角坐标系中，在y轴正半轴上，在x轴负半轴上，点B关于y轴的对称点为点C，且． （1）如图1，求点B，点C的坐标； （2）如图2，，动点Q从点A出发，沿射线方向匀速直线运动，速度为每秒1个单位长度，动点P从点C出发，沿x轴正方向匀速直线运动，速度也为每秒1个单位长度，两点同时开始运动，作的平分线交x轴于点H，设线段的长度为d，动点的运动时间为t秒，请用含t的式子表示d（不要求写t的取值范围）； （3）如图4，在（2）的条件下，点E为的中点，点F为的中点，连接，，当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $