精品解析：山东省德州市天衢新区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023——2024 学年度第二学期期末测试 八年级数学试题 一、选择题(每小题4分，共48分) 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，3 B. 2，3，4 C. 2，3，5 D. 2，，3 3. 如图，中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，为斜边的中点．若，，则的长为（ ） A. 10 B. 6 C. 5 D. 4 6. 如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，３），那么一定有【 】 A. m>0，n>0 B. m>0，n<0 C. m<0，n>0 D. m<0，n<0 7. 下表是某公司员工月收入的统计表： 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 2500 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 则该公司员工月收入的中位数比众数多（ ） A. 400元 B. 2000元 C. 2250元 D. 2500 元 8. 已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行到达体育馆；在体育馆停留一段时间后，匀速步行到达图书馆；在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系．下列说法不正确是（ ） A. 体育馆与图书馆之间的距离为 B. 小明从体育馆到图书馆的步行速度为 C. 小明在体育馆停留了分钟 D. 小明从家去体育馆的速度比从图书馆回家的速度快 9. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题： “一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？” （说明：1丈10尺 ）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A 处，竹子底端为点B，尺，折断处为点 C，可以求得折断处离地面的高度为（ ） A. 4尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 10. 如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 下面的四个问题中都有两个变量： ①铁的密度为， 铁块的质量m（单位:）与它的体积V（单位:）； ②一个等腰三角形的周长为，它的底边长y（单位：） 与腰长x（单位：）； ③矩形的面积一定，一边长y与相邻的另一边长x； ④将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y（单位：）与放水时间x（单位：）；其中，两个变量之间的函数关系可以用形如（k，b是常数，）的式子表示的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ②③④ 12. 如图，点 P是矩形边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x， 的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题4分，共24分) 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 14. 一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有___________个绿球． 15. 如图，直线与直线的交点为A，则关于，的方程组的解是______． 16. 如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，连接，若，则___________． 17. 如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线交于，若,，则该矩形的周长为_______． 18. 图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的图形，按照如图（2）所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙． 则图形的总长度y与图形个数x之间的关系式为_________________； 三、解答题(共7题，共78分) 19. 计算： （1）； （2）． 20. 某校为了解学生一分钟跳绳个数的情况，随机抽取了60名学生进行调查，获得他们的一分钟跳绳个数（单位：个），对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．一分钟跳绳个数的频数分布直方图如图（数据分成4组： ）； b．一分钟跳绳个数在 这一组的是：180， 180， 182， 182， 183， 183， 183， 184， 184，185， 185， 185， 186， 186， 186， 188， 188， 189根据以上信息，回答下列问题： （1） （2）某同学的一分钟跳绳个数是187，由此可以推断这位同学的一分钟跳绳个数超过该校一半以上同学的一分钟跳绳个数，理由是 ； （3）该校准备确定一个一分钟跳绳个数嘉奖标准n（单位：个），对一分钟跳绳个数大于或等于n的学生进行嘉奖．若要使25%的学生获得嘉奖，则n的值可以是 ． 21. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且． 方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，． 方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接． 22. 小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． （1）函数的自变量x的取值范围是_________________； （2）下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 1 m 3 … 写出表中m的值； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图像； （4）小明结合该函数图像，解决了以下问题： ①对于图像上两点，，若，则_______（填“＞”，“＝”或“＜”）； ②当时，若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数的值，则k的取值范围是_______________． 23. 某百货公司计划购进A型和 B型两种节能灯共50盏，且全部售出．其进价和售价如下表所示： 节能灯 进价 (元/盏) 售价(元/盏) A型 40 50 B型 35 43 设该百货公司购进A型节能灯x盏，销售两种型号的节能灯共获利y元． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若该百货公司计划购进这两种节能灯的总成本不超过1900元，要使得所获利润最大，则应购进A 型和 B型节能灯各多少盏？并求出最大利润． 24. 综合与实践 问题情境：在数学活动课上，数学老师让同学们用一张矩形纸片进行探究活动． 小亮准备了矩形纸片，其中是的中点，将沿折叠，点的对应点为． 观察发现：（1）如图1，当点恰好在边上时，小亮发现与存在一定的数量关系，其数量关系是______． 探索猜想：（2）如图2，当点在矩形内部时，延长交边于点．试猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）当点在矩形内部时，若，直接写出线段与的数量关系． 25. 对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足，则称M为线段的垂点，特别地，对于垂点M，若或时，称M为线段的等垂点，在平面直角坐标系中，已知点． （1）如图1，在点中，线段的垂点是　 　； （2）已知点． ①如图2，当时，若直线上存在线段的等垂点，求b的值； ②如图3，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，直接写出t的取值范围是　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023——2024 学年度第二学期期末测试 八年级数学试题 一、选择题(每小题4分，共48分) 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A选项，，故不符合题意； B选项，是最简二次根式，故符合题意； C选项，，故不符合题意； D选项，，故不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，3 B. 2，3，4 C. 2，3，5 D. 2，，3 【答案】D 【解析】 【分析】欲求证是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意； B、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意； C、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意； D、因为，所以能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，解题关键是认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 如图，中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而得到，即可求出结果. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握是解题的关键. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的四则运算法则求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 5. 在中，，为斜边的中点．若，，则的长为（ ） A. 10 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，由斜边上中线等于斜边一半求得． 【详解】由勾股定理，, ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形性质，由相关定理得出线段间数量关系是解题的关键． 6. 如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，３），那么一定有【 】 A. m>0，n>0 B. m>0，n<0 C. m<0，n>0 D. m<0，n<0 【答案】D 【解析】 【详解】∵A，B是不同象限的点，而正比例函数的图象要不在一、三象限,要不在二、四象限， ∴由点A与点B的横纵坐标可以知： 点A与点B在一、三象限时：横纵坐标的符号应一致，显然不可能； 点A与点B在二、四象限：点B在二象限得n<0，点A在四象限得m<0. 故选D. 7. 下表是某公司员工月收入的统计表： 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 2500 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 则该公司员工月收入的中位数比众数多（ ） A. 400元 B. 2000元 C. 2250元 D. 2500 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．根据表格得众数是，该公司员工人数为人，则中位数是第名，根据表格得中位数是，即可得． 【详解】解：根据表格得众数是：，共出现11次， 该公司员工人数为：（人）， 则中位数是第名， 根据表格得中位数是：， 则该公司员工月收入的中位数比众数多：（元）， 故选：A． 8. 已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行到达体育馆；在体育馆停留一段时间后，匀速步行到达图书馆；在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系．下列说法不正确是（ ） A. 体育馆与图书馆之间的距离为 B. 小明从体育馆到图书馆的步行速度为 C. 小明在体育馆停留了分钟 D. 小明从家去体育馆的速度比从图书馆回家的速度快 【答案】D 【解析】 【分析】小明离开家的距离是离开家的时间的函数，图象中两段平行于轴的线段分别表示在体育馆和图书馆停留． 【详解】A、小明时从体育馆出发，到达图书馆，体育馆与图书馆之间的距离，该选项不符合题意． B、小明从体育馆到图书馆的步行速度，该选项不符合题意． C、小明在体育馆停留时间，该选项不符合题意． D、小明从家去体育馆的速度，小明从图书馆回家的速度，该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数的图象，能够正确分析函数图象表示的实际意义是解题的关键． 9. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题： “一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？” （说明：1丈10尺 ）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A 处，竹子底端为点B，尺，折断处为点 C，可以求得折断处离地面的高度为（ ） A. 4尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、根据勾股定理得出方程是解题的关键．设尺，则尺，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设尺，则尺， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 即， 解得：，即的长为尺； 故选：C． 10. 如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，折痕为与，，根据正方形的性质：正方形的对角线平分对角，可得，．所以剪口与折痕所成的角的度数应为． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，． ∴剪口与折痕所成的角的度数应为． 故选：B． 【点睛】本题通过折叠变换考查正方形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案． 11. 下面的四个问题中都有两个变量： ①铁的密度为， 铁块的质量m（单位:）与它的体积V（单位:）； ②一个等腰三角形的周长为，它的底边长y（单位：） 与腰长x（单位：）； ③矩形的面积一定，一边长y与相邻的另一边长x； ④将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y（单位：）与放水时间x（单位：）；其中，两个变量之间的函数关系可以用形如（k，b是常数，）的式子表示的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了变量之间的关系，正确写出函数解析式是解答本题的关键．根据变量之间的关系写出函数解析式即可求解． 【详解】解：①∵铁的密度为，铁块的质量m（单位：）与它的体积V（单位：）， ∴，故符合题意； ②∵一个等腰三角形的周长为，它的底边长y（单位：）与腰长x（单位：）， ∴，故符合题意； ③设矩形的面积为S，则，故不符合题意． ④设水箱中的水量为V，每小时放水，则，符合题意， 综上可知，①②④正确， 故选：C． 12. 如图，点 P是矩形边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x， 的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题以动点问题为背景，考查了分类讨论的数学思想以及函数图象的变化规律，理解题意，作出辅助线是解题关键．分三段来考虑点P沿A→D运动，的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，的面积不变；点P沿C→B的路径移动，的面积逐渐减小，同时考虑各段的函数解析式，据此选择即可得． 【详解】解：设矩形的长为a，宽为b，则 当点P在线段上时，，b是定值，y是x的一次函数， 点P沿A→D运动，的面积逐渐变大，且y是x的一次函数， 点P沿D→C移动，的面积不变， 点P沿C→B的路径移动，的面积逐渐减小，同法可知y是x的一次函数， 故选：A． 二、填空题(每小题4分，共24分) 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 14. 一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有___________个绿球． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，一元一次不等式的应用，设袋子中绿球有个，则根据概率计算公式得到球的总数为个，则白球的数量为个，再由每种球的个数为正整数，列出不等式求解即可． 【详解】解：设袋子中绿球有个， ∵摸到绿球的概率是， ∴球的总数为个， ∴白球的数量为个， ∵每种球的个数为正整数， ∴，且x为正整数， ∴，且x为正整数， ∴x的最小值为1， ∴绿球的个数的最小值为3， ∴袋子中至少有3个绿球， 故答案为：3． 15. 如图，直线与直线的交点为A，则关于，的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线的交点的意义即可解答． 【详解】解：由函数图像可知：直线与直线的交点为， 方程组的解是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义是解题的关键． 16. 如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，连接，若，则___________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分 故答案为： 【点睛】本题综合考查菱形的性质及垂直平分线的性质．掌握相关结论是解题关键． 17. 如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线交于，若,，则该矩形的周长为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，矩形的性质．连接，如图，利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到矩形的周长． 【详解】连接，如图， 由作法得垂直平分， 在中， 所以该矩形的周长为． 故答案为24． 18. 图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的图形，按照如图（2）所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙． 则图形的总长度y与图形个数x之间的关系式为_________________； 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可得用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：，根据规律即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 当两个图拼接时，总长度为：； 当三个图拼接时，总长度为：； 以此类推，可知：用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：， ∴y与x的关系式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据图形的拼接规律得出y与x的关系式是解题的关键． 三、解答题(共7题，共78分) 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简算术平方根，运算求解； （2）应用平方差公式简化运算求解． 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【点睛】本题考查实数的运算，灵活运用公式是解题的关键． 20. 某校为了解学生一分钟跳绳个数的情况，随机抽取了60名学生进行调查，获得他们的一分钟跳绳个数（单位：个），对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．一分钟跳绳个数的频数分布直方图如图（数据分成4组： ）； b．一分钟跳绳个数在 这一组的是：180， 180， 182， 182， 183， 183， 183， 184， 184，185， 185， 185， 186， 186， 186， 188， 188， 189根据以上信息，回答下列问题： （1） （2）某同学的一分钟跳绳个数是187，由此可以推断这位同学的一分钟跳绳个数超过该校一半以上同学的一分钟跳绳个数，理由是 ； （3）该校准备确定一个一分钟跳绳个数嘉奖标准n（单位：个），对一分钟跳绳个数大于或等于n的学生进行嘉奖．若要使25%的学生获得嘉奖，则n的值可以是 ． 【答案】（1）14 （2）某同学的一分钟跳绳个数是187，大于中位数181 （3）189 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，中位数，用样本估计总体．解题的关键是对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据，计算求解即可； （2）根据中位数进行判断作答即可； （3）由，可知从大到小，第15位数为189，然后作答即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：14 【小问2详解】 解：由题意知，样本数据的中位数是第30，31位数的平均数为， ∴可以估计该校大约有一半学生的一分钟跳绳个数多于181． ∵某同学的一分钟跳绳个数是187，大于中位数181， ∴可以推断这位同学的一分钟跳绳个数超过该校一半以上同学的一分钟跳绳个数． 故答案为：某同学的一分钟跳绳个数是187，大于中位数181 【小问3详解】 解：∵， 从大到小，第15位数为189， ∴n的值可以是189， 故答案为：189． 21. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且． 方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，． 方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接． 【答案】见解析 【解析】 【分析】方法一：延长到点，使，连接，，．证明四边形是平行四边形．得，，所以，从而得到四边形DBCF是平行四边形．则，． 又由，即可得出结论； 方法二：取中点，连接并延长到点，使，连接．先证明，得，，从而可证得四边形是平行四边形，得到，．继而可证得四边形是平行四边形，从而得出结论． 【详解】解：方法一 证明：如图，延长到点，使，连接，，． ∵点D，E分别是，边的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∴， ∴四边形DBCF是平行四边形． ∴，． 又∵， ∴，且． 方法二 证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接． ∵点D，E分别是，边的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，且． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22. 小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． （1）函数的自变量x的取值范围是_________________； （2）下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 1 m 3 … 写出表中m的值； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图像； （4）小明结合该函数图像，解决了以下问题： ①对于图像上两点，，若，则_______（填“＞”，“＝”或“＜”）； ②当时，若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数的值，则k的取值范围是_______________． 【答案】（1）全体实数； （2）0； （3）见解析； （4）①＜ ② 【解析】 【分析】（1）无论x取任何实数，该函数都有意义，则自变量x的取值范围是全体实数； （2）把代入函数，即可求得m的值； （3）根据表中的数值描点，连线即可得到函数图象； （4）①根据函数的增减性判断即可； ②当时，函数可化为，结合函数的图象即可解答． 【小问1详解】 无论x取任何实数，该函数都有意义，则自变量x的取值范围是全体实数； 故答案为：全体实数 【小问2详解】 把代入函数，得，所以． 【小问3详解】 该函数图象如图所示： 【小问4详解】 ①由图象可得，当时，图象从左到右下降，即y随x的增大而减小； 当时，图象从左到右上升，即y随x的增大而增大． ∴图像上两点，，当，则 故答案为：＜ ②当时， 若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数的值，则 故答案为： 【点睛】本题考查函数的性质及其图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 23. 某百货公司计划购进A型和 B型两种节能灯共50盏，且全部售出．其进价和售价如下表所示： 节能灯 进价 (元/盏) 售价(元/盏) A型 40 50 B型 35 43 设该百货公司购进A型节能灯x盏，销售两种型号的节能灯共获利y元． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若该百货公司计划购进这两种节能灯的总成本不超过1900元，要使得所获利润最大，则应购进A 型和 B型节能灯各多少盏？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）百货公司每天购买30盏A型环保节能灯和20盏B型两种环保节能灯，可使所获利润最大，最大利润为460元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数在实际问题中的应用．一元一次不等式的应用，根据题意建立一次函数模型是解题关键． （1）根据利润A型节能灯利润B 型节能灯利润即可求解； （2）根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴时， 答：百货公司每天购买30盏A型环保节能灯和20盏B型两种环保节能灯，可使所获利润最大，最大利润为460元． 24. 综合与实践 问题情境：在数学活动课上，数学老师让同学们用一张矩形纸片进行探究活动． 小亮准备了矩形纸片，其中是的中点，将沿折叠，点的对应点为． 观察发现：（1）如图1，当点恰好在边上时，小亮发现与存在一定的数量关系，其数量关系是______． 探索猜想：（2）如图2，当点在矩形内部时，延长交边于点．试猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）当点在矩形内部时，若，直接写出线段与的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由矩形和折叠的性质可得到，故而证得四边形矩形，结合，可得出矩形是正方形，即可得出答案． （2）如图，连接，矩形和折叠的性质，得出，即可得出答案． （3）设，，故．结合（2）可得，故，．在中，结合勾股定理，得，列出方程，即可得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）在矩形中， ∵是的中点， ∴， ∵将沿折叠 ∴，， ∴， ∴四边形矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∴． 答案为：． （2）．证明如下： 如图，连接， 在矩形中，，，． ∵是的中点， ∴． ∵沿折叠后得到， ∴，，， ∴． 在和中，，, ∴， ∴， ∴． （3）．证明如下： 设，， ∴． 由（2）得， ∴，． 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴． ∵， ∴， 即． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质、正方形的判定和性质，折叠的性质，掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 25. 对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足，则称M为线段的垂点，特别地，对于垂点M，若或时，称M为线段的等垂点，在平面直角坐标系中，已知点． （1）如图1，在点中，线段的垂点是　 　； （2）已知点． ①如图2，当时，若直线上存在线段的等垂点，求b的值； ②如图3，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，直接写出t的取值范围是　 　． 【答案】（1）； （2）①b的值为或；② 【解析】 【分析】（1）根据垂点的定义，逐一进行求解后，进行判断即可； （2）①设点M是直线上存在的线段的等垂点，则设，分在线段上方和下方，两种情况讨论求解即可；②根据新定义，得到 的垂点一定在直线上，分别求出的最大值和最小值即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点C不是线段的垂点； ∵， ∴， ∴点D是线段的垂点； ∵， ∴， ∴点E不是线段的垂点； ∵， ∴， ∴点F是线段的垂点； 综上所述，点D、F是线段的垂点； 故答案为：； 【小问2详解】 ①当时，点， 设点M是直线上存在的线段的等垂点，则设， 过点M作轴于点G，过点作轴于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：； 同理可得：， ∴，解得：； ∴b的值为或； ②∵． 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴直线的解析式为， 由垂点的定义可知，线段的垂点一定在直线上， ∵边上（包含顶点）存在线段的垂点， 当点在上时，， 当在直线上时，， 解得：， 当点在上时，得， 当在直线上时，， 解得：， ∴t的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用．理解垂点和等垂点的定义，正确的画出图形，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度大，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $