12.2用待定系数法求解一次函数（第3课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十二章 一次函数 12.2 一次函数 第三课时 用待定系数法求解一次函数 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解和掌握用待定系数法求一次函数的解析式，了解待定系数法的思维方式与特点;（重点） 2. 明确两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数的基本事实; 3.通过一次函数图象和性质的研究，体会数形结合在解决问题中的作用，并能运用性质、图象及数形结合解决相关函数问题．（难点） 情景导入 1.直线 y＝kx(k≠0)与直线 y＝kx＋b有何关系？ 答：直线y＝kx＋b(k≠0)是平行于y＝kx的一条直线， 直线y＝kx＋b(k≠0)可以看作是 由y＝kx平移|b|个长度单位得到(当b＞0向上平移，b＜0向下平移)． 旧知回顾 2．直线y＝kx＋b(k≠0)经过象限是怎样的？ 答：当k＞0，b＞0时，经过一、二、三象限； 当k＞0，b＜0时，经过一、三、四象限； 当k＜0，b＞0时，经过一、二、四象限； 当k＜0，b＜0时，经过二、三、四象限． 上节课我们学习了正比例函数与一次函数的图象及性质 我们使用图象法知道了函数的两点便可以由此画出它的图象，那么若我们知道了函数的两点坐标，是否能求出它的解析式呢？本节课我们来探讨这个问题 1 2 3 4 x -1 -2 o 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 -4 y y=2x y=2x+3 1.用待定系数法求正比例函数解析式 新知探究 体育课上李磊将铅球沿着斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t(s)的关系如右图所示： (1)请帮忙写出v与t的关系式. (2)请计算下滑6 s时物体的速度是多少？ v (m/s) t(s) O 5 2 解：（1）v=2.5t; （2）v=2.5×6=15.0 (m/s). 1.求正比例函数 的表达式． 解：由正比例函数的定义知 m2－8＝1且m－3≠0， ∴m＝－3， ∴y＝－9x. 方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 练一练 课本例4：如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5; 当x=5时，y=2. 2.用待定系数法求一次函数解析式 新知探究 你能画出它的图象，并写出函数解析式吗？ 概念总结 像这样，通过先设定函数解析式（确定函数模型），再根据条件确定解析式中的未知系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法. 解：因为y是x的一次函数，设其表达式为y=kx+b. 所以，函数表达式为 y=-3x+17, 图象如图所示是条直线. 4k+b=5, 5k+b=2, k=-3, b=17, 由题意得 解得 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 y x （4,5） （5,2） y=-3x+17 概念归纳 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b. 2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组. 3.解这个二元一次方程组得k，b. 4.进而求出一次函数的表达式. 因为一次函数的一般形式是y=kx+b（k，b为常数，k≠0），要求出一次函数的解析式，关键是要确定k和b的值（即待定系数）. 函数解析式 y=kx+b 满足条件的两点 (x1,y1),(x2,y2) 一次函数的图象直线l 选取 解出 画出 选取 概念归纳 2.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量的取值范围是－3≤x≤ 6，相应函数值的范围是－5≤y≤ －2 ，求这个函数的解析式. 分析：(1)当－3≤x≤ 6时，－5≤y≤ －2，实质是给出了两组自变量及对应的函数值； (2)由于不知道函数的增减性，此题需分两种情况讨论. 答案： 练一练 3.正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式． 解：设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b. ∵点A(4，3)是它们的交点， ∴代入上述表达式中， 得3＝4k1，3＝4k2＋b. ∴k1＝ ， 即正比例函数的表达式为y＝ x. ∵OA＝ ＝5，且OA＝2OB， ∴OB＝ . ∵点B在y轴的负半轴上， ∴B点的坐标为(0，－ )． 又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上， ∴－ ＝b， 代入3＝4k2＋b中，得k2＝ . ∴一次函数的表达式为y2＝ x－ . 解：设直线l为y=kx+b, 4.已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的表达式. 　　∵l与直线y=-2x平行， 又∵直线过点（0，2）， ∴2=-2×0+b, ∴b=2, ∴直线l的表达式为y=-2x+2. ∴k= -2. 练一练 根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式． 总结归纳 课本练习 1.已知y = ax +b，当x =-2 时，y =2；当x = 2 时，y = 6.求a和b的值. 2.某一次函数的图象如图，根据图象求此一次函数表达式. 3.已知一次函数 y = kx +2 的图象与直线 y = 3x 平行.求k 的值. 4.一次函数的图象经过点 P（-2，3），且与直线平行.求这个函数表达式. D C 随堂练 A 随堂练 C 8 y＝x－1 y＝－2x＋4 随堂练 随堂练 待定系数的值 待定系数法 y＝kx＋b 方程组 y＝kx＋b 分层练习-基础 D A 分层练习-基础 D C 分层练习-基础 2 －2 减小 分层练习-基础 分层练习-基础 A 分层练习-巩固 C 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 用待定系数法求一次函数的解析式 2. 根据已知条件列出关于k、b的方程组； 1. 设所求的一次函数表达式为y=kx+b； 3. 解方程，求出k、b; 4. 把求出的k，b代回表达式即可. 课堂小结 1．一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行且经过点A(1，－2)，则kb的值为(　　) A．－2　 　 B．2　　 C．－4　　 D．－8 2．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(2，－1)、(－3,4)两点，则它的图象不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．(杭州中考)在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax＋a(a≠0)的图象经过点P(1,2)，则该函数的图象可能是(　　) A． INCLUDEPICTURE"H024A.TIF" B． C． D． 4．(绍兴中考)若三点(1,4)、(2,7)、(a,10)在同一直线上，则a的值等于(　　) A．－1 B．0 C．3 D．4 5．(抚顺中考)若一次函数y＝2x＋2的图象经过点(3，m)，则m＝ . 6．(六盘水中考)如图，直线l过A(0，－1)、B(1,0)两点，则直线l的解析式为 . 7．已知一次函数的图象平行于直线y＝－2x＋1，且与直线y＝3x－6的交点在x轴上，则此一次函数的解析式为 . 8．如图，一次函数y＝kx＋3的图象经过点A(1,4)． (1)求这个一次函数的表达式； (2)试判断点B(－1,5)、C(0,3)、D(2,1)是否在这个一次函数的图象上． 解：(1)将点A(1,4)代入表达式y＝kx＋3，得k＋3＝4，k＝1.∴y＝x＋3； (2)将各点的坐标代入表达式y＝x＋3，得点B：y＝－1＋3＝2≠5，不在函数图象上；点C：y＝0＋3＝3，在函数图象上；点D：y＝2＋3＝5≠1，不在函数图象上． 知识点：用待定系数求一次函数表达式 (1)先设出函数的表达式，再根据已知条件确定表达式中的 ，从而写出这个函数表达式的方法叫做 ． (2)待定系数法确定一次函数表达式的步骤：①设一次函数表达式为 ；②根据已知条件，列出关于待定系数的 ；③解方程组求出待定系数；④把求出的待定系数代入 中得到结论． 1．一次函数y＝kx＋b的图象与y轴的交点的纵坐标为－5，且当x＝1时，y＝－2，那么这个函数的表达式是(　　) A．y＝4x－6　 B．y＝－3x－5　 C．y＝3x＋5　 D．y＝3x－5 2．如图，直线AB对应的函数关系式是(　　) A．y＝－eq \f(3,2)x＋3 B．y＝eq \f(3,2)x＋3 C．y＝－eq \f(2,3)x＋3 D．y＝eq \f(2,3)x＋3 3．一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行且经过点A(1，－2)，则kb的值为(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．－8 4．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(2，－1)、(－3,4)两点，则它的图象不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知一次函数y＝kx＋b(k、b为常数且k≠0)的图象经过点A(0，－2)和点B(1,0)，则k＝ ，b＝ . 6．已知一次函数的图象经过点(0,3)和点(2,1)，则这个一次函数y随x的增大而 ． 7．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，求这个一次函数的表达式． 解：因为B点在正比例函数y＝2x的图象上，横坐标为1，所以y＝2×1＝2，所以B(1,2)．设一次函数表达式为：y＝kx＋b，因为一次函数的图象过点A(0,3)，与正比例函数y＝2x的图象相交于点B(1,2)，所以可得出方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝3,k＋b＝2))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝3,k＝－1))，则这个一次函数的表达式为y＝－x＋3. 8．根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为(　　) x －2 0 1 y 3 p 0 A．1　　　 B．－1　　 C．3　　 D．－3 9．已知一次函数y＝kx＋b中自变量x的取值范围为－2≤x≤6，相应函数值的范围为－11≤y≤9，则此函数的解析式为(　　) A．y＝eq \f(5,2)x－6 B．y＝－eq \f(5,2)x＋4 C．y＝eq \f(5,2)x－6或y＝－eq \f(5,2)x＋4 D．y＝eq \f(2,5)x－6或y＝－eq \f(2,5)x＋4 10．直线y＝kx＋b经过点(0,5)，与坐标轴围成的三角形的面积为5，则函 数的解析式为 . y＝eq \f(5,2)x＋5或y＝－eq \f(5,2)x＋5 11．已知函数y＝(m＋1)x＋2m－6. (1)若函数图象过(－1,2)，求此函数的表达式； (2)若函数图象与直线y＝2x＋5平行，求其函数的表达式； (3)求满足(2)条件的直线与直线y＝－3x＋1的交点，并求这两条直线与y轴所围成的三角形面积． 解：(1)依题意，得2＝(m＋1)×(－1)＋ 2m－6＝m－7，解得m＝9.故此函数的表达式为y＝10x＋12；　 (2)依题意，得m＋1＝2，所以m＝1.所以函数的表达式为y＝2x－4； (3)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝2x－4,y＝－3x＋1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－2)).所以两直线的交点是(1，－2)．所求三角形的面积为eq \f(1,2)×(4＋1)×1＝eq \f(5,2). 12．已知两直线l1∶y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，则有k1·k2＝ －1. (1)应用：已知y＝2x＋1与y＝kx－1垂直，求k； (2)直线经过A(2,3)，且与y＝－eq \f(1,3)x＋3垂直，求解析式． 解：(1)∵l1⊥l2，则k1·k2＝－1，∴2k＝－1，∴k＝－eq \f(1,2)； (2)∵过点A的直线与y＝－eq \f(1,3)x＋3垂直，∴设过点A直线的函数解析式为y＝3x＋b，把A(2,3)代入得，b＝－3，∴解析式为y＝3x－3. 13．如图，已知直线y＝x＋3的图象与x、y轴交于A、B两点．直线l经过原点，与线段AB交于点C，把三角形AOB的面积分成2∶1的两部分．求直线l的表达式． 解：由题意，可求得A(－3,0)、B(0,3)， ①如图1，当直线l把△ABO的面积分为S三角形AOC∶S三角形BOC＝2∶1时，过点C分别作CF⊥OA于点F，CE⊥OB于点E，则S三角形AOB＝eq \f(1,2)×3×3＝eq \f(9,2)，则S三角形AOC＝eq \f(2,3)S三角形ABO＝eq \f(2,3)×eq \f(9,2)＝3.所以eq \f(1,2)AO·CF＝3，即eq \f(1,2)×3×CF＝3，所以CF＝2.同理，解得CE＝1.所以C(－1,2)．所以直线l的表达式为y＝－2x.②如图2，当S三角形AOC∶S三角形BOC＝1∶2时，同样可求得直线l的表达式为y＝－eq \f(1,2)x.综上所述，直线l的表达式为y＝－2x或y＝－eq \f(1,2)x. 　用待定系数法确定函数解析式． 【例1】已知直线y＝kx＋b经过点A(1,4)，且平行于直线y＝－2x. (1)求该直线的函数解析式； (2)如果这条直线经过点P(m,2)，求m的值． 【思路分析】直线的位置关系可以利用k的关系来确定，两直线平行，k1＝k2，两直线相交，k1≠k2. 【规范解答】(1)∵直线y＝kx＋b平行于直线y＝－2x，∴k＝－2.又∵直线y＝kx＋b过点A(1,4)，∴4＝－2×1＋b，∴b＝6.∴函数解析式为y＝－2x＋6；　(2)∵直线经过点P(m,2)，∴2＝－2m＋6，∴m＝2. 【方法归纳】一次函数y＝kx＋b的图象是平行于直线y＝kx的一条直线，根据此性质易确定k的值；点在直线上，则此点的横、纵坐标应满足直线的解析式，据此可求得b的值． 【例2】已知一次函数y＝kx＋b的图象过点(eq \f(5,2)，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积为5，求此一次函数的解析式． 【思路分析】设直线y＝kx＋b交x轴于点A，交y轴于点B，由三角形的面积为5可求出OB的长，从而可得到点B的坐标，注意点B的坐标分在y轴正半轴和负半轴两种情况，再用待定系数法即可求解． 【规范解答】设直线y＝kx＋b交x轴于A，交y轴于B，∵S△AOB＝eq \f(1,2)×eq \f(5,2)×OB＝5，∴OB＝4，∴B(0,4)或(0，－4)．当B(0,4)时，设y＝kx＋4，代A(eq \f(5,2)，0)得eq \f(5,2)k＋4＝0，k＝－eq \f(8,5)，∴y＝－eq \f(8,5)x＋4；当B(0，－4)时，设y＝kx－4，代A(eq \f(5,2)，0)得eq \f(5,2)k－4＝0，k＝eq \f(8,5)，∴y＝eq \f(8,5)x－4，∴y＝－eq \f(8,5)x＋4或y＝eq \f(8,5)x－4. $$