精品解析：山东省青岛莱西市（五四制）2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题

2023—2024学年度第二学期期末质量检测 初二数学试题 （考式时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共16小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 一个不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是( ) A. 3个球都是黑球 B. 3个球都是白球 C. 3个球中有黑球 D. 3个球中有白球 【答案】C 【解析】 【分析】根据袋子中球的个数以及每样球的个数对摸出的3个球的颜色进行分析即可． 【详解】解：袋中一共6个球，有4个黑球和2个白球，从中一次摸出3个球，可能3个都是黑球，也可能2个黑球1个白球，也可能2个白球1个黑球，不可能3个都是白球， 因此3个球都是黑球、3个球中有白球是随机事件，3个球都是白球是不可能事件，3个球中有黑球是必然事件，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了确定事件及随机事件，解题的关键是熟练掌握事件的分类，事件分为随机事件和确定事件，而确定事件又分为必然事件和不可能事件． 2. 若，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； B、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； C、∵，∴，∴，故原选项正确，符合题意； D、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 B. 如果两条直线不平行，那么这两条直线必定相交 C. 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等 D. 过一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质，平面内两线的位置关系，平行线的性质和平行公理逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是真命题，符合题意； B、同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线必定相交，原命题是假命题，不符合题意； C、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补，原命题是假命题，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原命题是假命题，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握三角形的外角的性质，平面内两线的位置关系，平行线的性质和平行公理是解题的关键． 4. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据平行线性质可得，进而根据三角形外角性质得出，再由即可证明． 【详解】解：如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：D． 5. 如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入先求出，再代入求出．解题的关键是理解方程组解的定义． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴分别为方程和的解， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴被“”“”遮住的两个数分别是，． 故选：A． 6. 用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A. ①×2﹣② B. ②×（﹣3）﹣① C. ①×（﹣2）+② D. ①﹣②×3 【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项分别计算，即可解答． 【详解】方程组利用加减消元法变形即可． 解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意； B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意； C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意； D、①﹣②×3无法消元，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元． 7. 如图，是中平分线，于点E，，则（ ） A. 14 B. 26 C. 56 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】如图：作交于点F，根据角平分线的性质可得，再由求解即可． 【详解】解：如图，作交于点F， ∵平分，，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式等知识点，根据角平分线的性质定理得到是解题的关键． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意可得 故选D． 9. 已知关于，的二元一次方程，下表列出了当分别取值时对应的值．则关于的不等式的解集为（） … －2 －1 0 1 2 3 … … 3 2 1 0 －1 －2 … A. x＜1 B. x＞1 C. x＜0 D. x＞0 【答案】A 【解析】 【分析】将x=0、y=1和x=1、y=0代入ax+b=y得到关于a、b的方程组，解之得出a、b的值，从而得到关于x的不等式，解之可得答案． 【详解】解：根据题意，得：， 解得a=-1，b=1， 则不等式-ax-b＜0为x-1＜0， 解得x＜1， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于x的不等式，并熟练掌握解一元一次不等式的步骤和依据． 10. 如图，点P，Q是等边边，上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中与交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 的形状可能是等边三角形 D. 的度数随点P，Q的运动而变化 【答案】D 【解析】 【分析】点P，Q以相同的速度向点B，C方向运动，得到；根据等边三角形的性质，证明；根据等边三角形的判定方法证明的形状可能是等边三角形，利用外角的性质，求出的度数，进行判断即可． 【详解】解：∵点P，Q以相同的速度向点B，C方向运动， ∴；故选项A正确； ∵为等边三角形， ∴， 又， ∴；故选项B正确； 当为的中点时，， ∵， ∴是等边三角形；故选项C正确； ∵， ∴， ∴， ∴是个定值；故选项D错误； 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 11. 王芳抛一枚硬币10次，有8次正面朝上，当她抛第11次，正面朝上的概率__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一枚硬币只有正反两面，抛掷硬币正反出现的概率是相同的即可得到答案． 【详解】解：一枚硬币只有正反两面，抛掷硬币正反出现的概率是相同的， 抛掷一枚硬币，硬币落地后，正面朝上的概率是， 当她抛第11次，正面朝上的概率， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是概率的公式，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关． 12. 如图，，，，则度数是_________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据三角形外角的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：， ， 是的外角， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，已知，且点分别与点对应，，，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质及线段的和差，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键． 先根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和即可得出，然后将对应线段的长度代入计算即可得出答案． 【详解】 ， ，， 故答案为：6． 14. 如图，将一副直角三角板如图所示放置，使含角的三角板的一条直角边和含的三角板的一条直角边重合，则的度数为_____． 【答案】75°##75度 【解析】 【分析】两个直角三角板的内角分别为和，利用直角三角形两锐角互余，对顶角相等，三角形外角等于与其不相邻的两个内角的和即可求得． 【详解】解：如图 故答案为． 【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，对顶角相等，三角形外角等于与其不相邻的两个内角的和等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 15. 若函数与的图象相交于第四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数交点问题，涉及二元一次方程组、直角坐标系和不等式组，熟练掌握一次函数交点求法及坐标系象限特征是解题的关键．先列式求出交点坐标，再利用第四象限点的特征列不等式组，求解即可． 详解】解：联立得：， 解得：， 即交点坐标为， ∵交点在第四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，要使输出的y值大于100，则输入的最小正整数x是_______ 【答案】21 【解析】 【分析】分x为偶数与奇数两种情况，根据题中的程序框图计算即可得到结果. 【详解】解：若x为偶数，根据程序框图得：20×4+13=80+13=93＜100， 22×4+13=88+13=101＞100， 若x为奇数，根据程序框图得：19×5=95＜100， 21×5=105＞100， 则输入的最小正整数x是21， 故答案为：21. 【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解本题的关键. 三、作图题 17. （1）已知：如图； 求作：直线，使（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的图形中，取中点E，作射线交于点F，若的面积为4，，那么直线与间的距离等于____________． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查作图−作已知角的相等角、平行线的判定． （1）根据题意在三角形外作以点A为顶点，为边的与相等的角即可求解； （2）求出的面积，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图，直线即为所求； ∵， ∴； （2）如图，∵， ∴， ∴， 设直线与直线之间的距离为h， ∴， ∴， 故答案为：． 四、解答题（本题共9小题，满分66分） 18. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组， （1）利用代入消元法解二元一次方程； （2）先化简，再利用加减消元法解二元一次方程组． 【小问1详解】 解：， 把①代入②得，， 解得， 把代入①得，， ∴是方程组的解． 【小问2详解】 解：整理得，， 由得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴是方程组的解． 19. 解不等式组，并写出它的正整数解． 【答案】，1，2，3 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集，再确定不等式的正整数解即可． 【详解】解：， 由不等式①，得． 由不等式②，得． 所以不等式组的解集为． 不等式组的正整数解为1，2，3． 【点睛】本题考查求不等式组的正整数解，正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键． 20. 如图，已知点B、C、E在一直线上，、都是等边三角形，连接、，试说明的理由． 解：、都是等边三角形， ∴_______________，（等边三角形三条边都相等）， __________（______________________________）， ____________________， 即， 在与中， （________）， （___________________________________）． 【答案】；；等边三角形三个内角都等于；；SAS；全等三角形的对应边相等 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质证明即可求解． 【详解】解：∵、都是等边三角形， ∴，（等边三角形三条边都相等）， （等边三角形三个内角都等于）， ∴， 即， 在与中， ， ∴ （）， ∴（全等三角形的对应边相等）， 故答案为：；；等边三角形三个内角都等于；；；全等三角形的对应边相等． 21. 如图，现有一个转盘被平均分成等份，分别标有、、、、、六个数字，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指向分界线时重新转动）． （1）转动转盘，转出的数字大于的概率是______． （2）现有两张分别写有和的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，这三条线段能构成三角形的概率是多少？ 【答案】（1） （2）这三条线段能构成三角形的概率是 【解析】 【分析】（1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种，由概率公式可得； （2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，由概率公式可得． 【小问1详解】 解：转盘被平均分成等份，转到每个数字的可能性相等，共有种可能结果，大于的结果有种，分别为4、5、6、7， 转出的数字大于的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设三角形的第三边为x， ∵和为三角形的两边， ∴即 转盘被平均分成等份，转到每个数字的可能性相等，共有种可能结果，其中能够成三角形的结果有种，分别为2、3、4、5、6， 这三条线段能构成三角形的概率是． 【点睛】本题主要考查概率公式的运用及三角形三边间的关系，熟练掌握三角形三边间的关系和概率公式是解题的关键． 22. 证明：有两个角互余的三角形是直角三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，由三角形的内角和得，再根据可得，然后根据直角三角形的定义可得出结论． 【详解】解：已知：， 求证：为直角三角形． 证明：如图， 在中，， ， ， ， 为直角三角形． 23. 如图，一次函数和的图象交于点A． （1）求交点A的坐标； （2）直接将答案填在横线上： ①当x取何值时，？ ； ②当x取何值时，？ ； ③当x取何值时，与均小于0？ ． 【答案】（1） （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）联立，解方程组即可得出点A的坐标； （2）①令解不等式即可；②令，解不等式即可；③令，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：由题意得 解得 所以，点A坐标为． 【小问2详解】 解：①令， 解得：， ∴当时，； 故答案为：； ②令， 解得：， ∴当时，； 故答案为：； ③令， 解得：， ∴当时，与均小于0； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了两条直线的交点坐标与二元一次方程组的解，不等式与一次函数的关系，解题的关键是根据题意列出方程组或不等式，准确计算． 24. 如图，是的角平分线，，交于点E． （1）求证：． （2）当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）相等，见解析 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；  （2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（1）得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． 25. 七年级某班为了促进学生的学习，对有进步的学生进行奖励．童老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品．经过了解得知；该超市的、两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买这两种笔记本共30本． （1）如果他们购买奖品共花费了300元，则这两种笔记本各买了多少本？ （2）童老师根据学生情况，决定所购买的种笔记本的数量要不少于种笔记本数量，但又不多于B种笔记本数量2倍．请问购买这两种笔记本各多少时；花费最少，此时的花费是多少元？ 【答案】（1）他们购买A种笔记本15本，B种笔记本15本 （2）购买这两种笔记本各15本时，花费最少，此时的花费是300元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，将实际问题转化为一次函数的知识进行求解，难度一般． （1）设他们购买A种笔记本x本，B种笔记本y本，根据题意列方程组即可解答； （2）设他们买A种笔记本本，买这两种笔记本共花费元，则B种笔记本买了本．由此可得,由一次函数的性质即可确定花费最少的情况. 【小问1详解】 解：设他们购买A种笔记本x本，B种笔记本y本，依题意得： ， 解得． ∴他们购买A种笔记本15本，B种笔记本15本； 【小问2详解】 设他们买A种笔记本本，买这两种笔记本共花费元，则B种笔记本买了本． 由题意可知：， A种笔记本的数量要不少于B种笔记本数量，但又不多于B种笔记本数量2倍， ∴， 解得：， ∴． ∵， W随n的增大而增大， ∴当时，W取到最小值为元． 26. 【问题初探】（1）如图①，点B在线段上，于点A，于点C，，且．求证：． 【问题改编】如图②，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到（即），将边绕点C逆时针旋转得到（即）．连接，延长交交于点F． （2）求证：点F是的中点； （3）连接，若，则_______（直接写结果）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）过点E作，交的延长线于点G，证明，得到，证明，即可得证； （3）利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点F是的中点． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是证明三角形全等． 27. 用五个大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示的图案，若点的坐标为，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和平面直角坐标系，设长方形纸片的长为，宽为，点到轴的距离为5，到轴的距离为，可得关于和的二元一次方程组，求得和的数值，结合点在平面直角坐标系中的位置，即可求得点的坐标． 【详解】解：设长方形纸片的长为，宽为． 依题意，得： 解得： ， ∴， 又点在第二象限， ∴点的坐标为． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期期末质量检测 初二数学试题 （考式时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共16小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 一个不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是( ) A. 3个球都是黑球 B. 3个球都是白球 C. 3个球中有黑球 D. 3个球中有白球 2. 若，则下列关系式正确的是（ ） A B. C. D. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 B. 如果两条直线不平行，那么这两条直线必定相交 C. 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等 D 过一点有且只有一条直线与这条直线平行 4. 如图是一款手推车平面示意图，其中，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A. ①×2﹣② B. ②×（﹣3）﹣① C. ①×（﹣2）+② D. ①﹣②×3 7. 如图，是中的平分线，于点E，，则（ ） A. 14 B. 26 C. 56 D. 28 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于，的二元一次方程，下表列出了当分别取值时对应的值．则关于的不等式的解集为（） … －2 －1 0 1 2 3 … … 3 2 1 0 －1 －2 … A x＜1 B. x＞1 C. x＜0 D. x＞0 10. 如图，点P，Q是等边边，上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中与交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 的形状可能是等边三角形 D. 的度数随点P，Q的运动而变化 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 11. 王芳抛一枚硬币10次，有8次正面朝上，当她抛第11次，正面朝上的概率__________． 12. 如图，，，，则的度数是_________． 13. 如图，已知，且点分别与点对应，，，则___________． 14. 如图，将一副直角三角板如图所示放置，使含角的三角板的一条直角边和含的三角板的一条直角边重合，则的度数为_____． 15. 若函数与的图象相交于第四象限，则的取值范围是______． 16. 如图，要使输出的y值大于100，则输入的最小正整数x是_______ 三、作图题 17. （1）已知：如图； 求作：直线，使（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的图形中，取中点E，作射线交于点F，若的面积为4，，那么直线与间的距离等于____________． 四、解答题（本题共9小题，满分66分） 18. 解方程组： （1）； （2）． 19. 解不等式组，并写出它的正整数解． 20. 如图，已知点B、C、E在一直线上，、都是等边三角形，连接、，试说明的理由． 解：、都是等边三角形， ∴_______________，（等边三角形三条边都相等）， __________（______________________________）， ____________________， 即， 在与中， （________）， （___________________________________）． 21. 如图，现有一个转盘被平均分成等份，分别标有、、、、、六个数字，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指向分界线时重新转动）． （1）转动转盘，转出的数字大于的概率是______． （2）现有两张分别写有和的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，这三条线段能构成三角形的概率是多少？ 22. 证明：有两个角互余的三角形是直角三角形． 23. 如图，一次函数和的图象交于点A． （1）求交点A的坐标； （2）直接将答案填在横线上： ①当x取何值时，？ ； ②当x取何值时，？ ； ③当x取何值时，与均小于0？ ． 24. 如图，是角平分线，，交于点E． （1）求证：． （2）当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 25. 七年级某班为了促进学生的学习，对有进步的学生进行奖励．童老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品．经过了解得知；该超市的、两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买这两种笔记本共30本． （1）如果他们购买奖品共花费了300元，则这两种笔记本各买了多少本？ （2）童老师根据学生情况，决定所购买的种笔记本的数量要不少于种笔记本数量，但又不多于B种笔记本数量2倍．请问购买这两种笔记本各多少时；花费最少，此时的花费是多少元？ 26. 【问题初探】（1）如图①，点B在线段上，于点A，于点C，，且．求证：． 【问题改编】如图②，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到（即），将边绕点C逆时针旋转得到（即）．连接，延长交交于点F． （2）求证：点F是的中点； （3）连接，若，则_______（直接写结果）． 27. 用五个大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示的图案，若点的坐标为，则点的坐标为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $