第04讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式拓展提升（11类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第04讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式拓展提升 题型01一元二次不等式（根与系数的关系） 【典例1】（23-24高一上·重庆北碚·阶段练习）已知不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【典例2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知不等式的解集为. (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)若为非零实数，解关于的不等式：. 【变式1】（多选）（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 【变式2】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）关于的不等式，下列说法正确的是（       ） A．若关于的二次不等式的解集为或，则二次函数的零点为 B．若关于的二次不等式的解集为或，则的解集为 C．若关于的二次不等式的解集为则R，则且 D．若关于的二次不等式的解集与关于的二次不等式的解集相同，则 【变式3】（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则下列选项中结论正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【变式4】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知函数，设关于的方程的两实根为，方程的两实根为． (1)若，求与的关系式； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 题型02分式不等式 【典例1】（23-24高一上·上海黄浦·期中）解关于的不等式：． 【典例2】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）回答下列各题： (1)求不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集. 【变式1】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）求下列不等式的解集：. 【变式2】（23-24高三上·山东菏泽·期中）解不等式：. 【变式3】（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）求下列不等式的解集： . 题型03一元二次不等式（含参）的求解 （两根大小不确定从两根相等开始讨论） 【典例1】（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数． (1)若的解集为，求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 【典例2】（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式. 【变式1】（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）解关于x的不等式； 【变式2】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数. (1)解关于的不等式：； 题型04一元二次不等式（含参）的求解（首项系数含参从0开始讨论） 【典例1】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末） （1）当时，求关于x的不等式的解集． 【典例2】（23-24高一上·陕西渭南·期末）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【变式1】（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，解关于x的不等式． 【变式2】（23-24高一上·天津·期末）函数. (1)若的解集是或，求不等式的解集； (2)当时，求关于的不等式的解集. 题型05一元二次不等式（含参）的求解（不可因式分解型） 【典例1】（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）回答下面两题： (1)解关于x的不等式． 【典例2】（23-24高一上·重庆·期末）若函数， 1)当时，求的解集. 题型06基本不等式（凑配法） 【典例1】（山东省威海市2021-2022学年高二下学期期末统考数学试题）成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 【变式1】（23-24高一上·吉林长春·期末）函数（）的最小值为 ． 【变式2】（23-24高一上·上海嘉定·期末）当，则的最小值为 . 题型07基本不等式（分离法） 【典例1】（2024高一·全国·专题练习）已知，则的最大值是 【典例2】（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，的最小值为 . 【变式1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）已知，求的最小值； 【变式2】（23-24高一上·四川成都·阶段练习） (1)求函数的最小值． 【变式3】（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）（1）已知，求函数的值域； 题型08 基本不等式（换元法） 【典例1】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【典例2】（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知正数满足，则的最小值为 . 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）设为实数，若，则的最大值是 ． 【变式2】（23-24高一下·浙江衢州·阶段练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【变式3】（23-24高一上·山西·期中）若非零实数，满足，则的最大值为 . 【变式4】（23-24高三上·重庆云阳·阶段练习）已知且， 则的最小值为 题型09基本不等式（常数代换“1”的代换） 【典例1】（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 . 【典例2】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【变式2】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）若，且，则的最小值为 ． 【变式3】（2024·四川成都·模拟预测）已知实数，若，则的最小值为 ． 题型10基本不等式（消元法） 【典例1】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 【典例2】（23-24高一下·浙江宁波·开学考试）已知，，，则的最小值为 . 【变式1】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 【变式2】（23-24高二下·上海金山·阶段练习）已知正数、满足，则的最小值为 . 题型11基本不等式（对钩函数） 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）当时，的最小值为 . 【变式1】（23-24高二上·河南郑州·期中）函数的最小值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式拓展提升 题型01一元二次不等式（根与系数的关系） 【典例1】（23-24高一上·重庆北碚·阶段练习）已知不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集和一元二次方程的根的关系，利用韦达定理可求得；将所求不等式变为，根据一元二次不等式的解法可求得结果. 【详解】的解集为 且方程的两根为：和 ，解得：     即，解得： 的解集为 故选: 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，关键是能够根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的根的关系求得的值.属于中档题. 【典例2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知不等式的解集为. (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)若为非零实数，解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得的解集为，利用一元二次不等式的解集与对应方程根的关系可得，；的解集为，利用一元二次不等式恒成立可得，进而解不等式，结合题意即可求解； （2）由（1），结合含参一元二次不等式的求法，对a、b进行分类讨论，即可求解. 【详解】（1）因为，不等式的解集为， 故的解集为且的解集为， 所以的根为，，故，化简得，， 又的解集为，即恒成立， 所以，解得， 不等式等价于，即， 所以，由题意得，解得， 综上所述，的取值范围为. （2）若，由（1）得原不等式可化为，即， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为； 若，原不等式等价于的解集为且的解集为， 所以方程的根为2和3， 则，，所以，， 不等式恒成立，故，解得， 不等式，解得或， 综上所述，当时，解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式1】（多选）（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 【答案】BC 【分析】结合一元二次不等式与二次函数的关系及函数的平移得到，从而得到，即可判断A、B、C，由韦达定理得到，利用基本不等式判断D. 【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中）， 所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，， 又关于一元二次不等式的解集为， 即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，， 又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的， 又开口向下，对称轴为， 由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）： 所以， 则，所以，，所以，故A错误，B正确； 又，，所以，故C正确； 因为、为关于的方程的两根， 所以，， 又，所以，所以， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 显然，所以，故D错误. 故选：BC 【变式2】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）关于的不等式，下列说法正确的是（       ） A．若关于的二次不等式的解集为或，则二次函数的零点为 B．若关于的二次不等式的解集为或，则的解集为 C．若关于的二次不等式的解集为则R，则且 D．若关于的二次不等式的解集与关于的二次不等式的解集相同，则 【答案】BC 【分析】对A，由零点的定义即可判断； 对B，对由韦达定理可得，，则可化为，结合a的符号求解即可； 对C，解集为R，则抛物线图象开口向上且与x轴无交点，即且 对D，解集相同可以都是空集、都是R、都是特定解，前两种只需a及判别式的符号满足即可 【详解】对A，若关于的二次不等式的解集为或，则二次函数的零点为-3和1，A错； 对B，由A得，，，， 故，解得，B对； 对C，关于的二次不等式的解集为R，则抛物线图象开口向上且与x轴无交点，即且，C对； 对D，关于的二次不等式的解集与关于的二次不等式的解集相同，若解集均为，则只需且，以及且，则不一定成立，D错； 故选：BC 【变式3】（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则下列选项中结论正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【答案】AB 【分析】由题意，方程有且只有一个根，所以，即，再利用基本不等式和不等式的性质，即可求解. 【详解】解：由题意，方程有且只有一个根，所以，即， 对A：等价于，显然，所以A选项正确； 对B：，故B选项正确； 对C：因为不等式的解集为，所以，所以C选项错误； 对D：因为不等式的解集为，且， 则方程的两根为， 所以， 所以，故D选项错误. 故选：AB. 【变式4】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知函数，设关于的方程的两实根为，方程的两实根为． (1)若，求与的关系式； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及可求解； （2）由（1）得，结合均为负整数可求解； （3）由韦达定理可得，结合即可证明. 【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，， 所以． 由得，即， 所以，即． （2）由（1）得，因为均为负整数， 所以或或， 显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，． 故所求函数解析式为． （3）由题意得， 又由，得，故， 所以． 题型02分式不等式 【典例1】（23-24高一上·上海黄浦·期中）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】变换得到，考虑，，三种大情况，再考虑，，三种小情况，解不等式得到答案. 【详解】因为，则，即，等价于， 当时，，解得； 当时，解得； 当时，， ①当，则，不等式解集为； ②当，则，不等式解集为； ③当，则，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 【典例2】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）回答下列各题： (1)求不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）按照分式不等式的解法计算即可； （2）对二次项系数的正负及根的情况进行分类讨论，分别求得相应的解集. 【详解】（1）可化为， 解得：， 所以原不等式的解集为：. （2）， 当，不等式为，不等式的解集为； 当时，不等式化为，不等式的解集为 当时，方程的两个根分别为：. 当时，两根相等，故不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为或. 综上：当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 【变式1】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）求下列不等式的解集：. 【答案】 【详解】由可得， 化简得：， 即， 解得或， 所以不等式的解集为. 【变式2】（23-24高三上·山东菏泽·期中）解不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】将分式不等式转化为整式不等式，讨论a的取值范围，结合解一元二次不等式，即可得答案. 【详解】原不等式等价转化为， 当时，，解得. 当时，即，解得. 当时，，解得或. 当时，，解得或. 综上，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 【变式3】（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）求下列不等式的解集： . 【答案】 【详解】因为， 所以，则，即， 故，解得， 所以的解集为. 题型03一元二次不等式（含参）的求解 （两根大小不确定从两根相等开始讨论） 【典例1】（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数． (1)若的解集为，求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意分析可知的根为，利用韦达定理运算求解； （2）根据题意整理得，分类讨论的符号解不等式. 【详解】（1）因为的解集为， 可知的根为， 所以，解得， 故，． （2）由，可知，即， 当时，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或． 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． 【典例2】（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）把恒成立问题转化为对于一切实数x恒成立，用判别式法列式求解即可； （2）分类讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由题意，不等式对于一切实数x恒成立， 等价于对于一切实数x恒成立，所以， 解得. （2）不等式等价于． 当即时，不等式可化为，原不等式的解集； 当即时，不等式可化为，原不等式的解集为：； 当即时，不等式可化为，此时． 综上所述：①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 【变式1】（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）解关于x的不等式； 【答案】（1）答案见详解 【分析】（1）原不等式可化为，分类讨论解集； 【详解】（1）原不等式可化为， 讨论与的大小． ①当，即时，不等式的解为，或； ②当，即时，不等式的解为； ③当，即时，不等式的解为，或； 综上：当时，不等式的解为，或； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为，或； 【变式2】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数. (1)解关于的不等式：； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）根据条件得到，利用含参的一元二次不等式的解法，对进行讨论，即可求出结果； 【详解】（1）由，得到，即， 当，即时，得到， 当时，得到， 当，即时，得到， 综上所述，时，原不等式的解为， 当时，原不等式的解为， 当时，原不等式的解为. 题型04一元二次不等式（含参）的求解（首项系数含参从0开始讨论） 【典例1】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末） （1）当时，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）答案见解析 （1）含参讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由， 即， 若，则， 若，则，所以， 若，则，所以， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【典例2】（23-24高一上·陕西渭南·期末）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）讨论a是否为0，不为0时，结合一元二次不等式恒成立列出不等式组，即可求得答案； （2）将化简为，分类讨论，比较的大小，即可得答案. 【详解】（1）不等式对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立， 当时，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 故实数的取值范围为； （2）由可得，即， 即 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为 故原不等式的解集为：当时，解集为； 当时，解集为； 当，时，解集为； 【变式1】（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，解关于x的不等式． 【答案】(1)，． (2)答案见解析 【分析】（1）将不等式的解转化为对应方程的解，根据根与系数的关系解得答案. （2）变换得到，考虑，，，几种情况，解不等式得到答案. 【详解】（1）将代入，可得， 所以不等式即为不等式，可转化为， 所以原不等式的解集为， 所以． 综上，． （2）不等式可化为，即． 因为， 所以当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，； 当，即，原不等式的解集为． 【变式2】（23-24高一上·天津·期末）函数. (1)若的解集是或，求不等式的解集； (2)当时，求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用已知解集求出参数，解不含参数的不等式即可. （2）分类讨论求解不等式即可. 【详解】（1）由题意得的解集是或，故的解是或，由韦达定理得，，解得，，故求的解集即可，解得， （2）由得，故求的解集即可， ，开口向上，化简得， 令，解得或， 当时，，此时解集为， 当时，解得，此时令，解得 当时，解得，此时令，解得， 综上当时，，当时，. 题型05一元二次不等式（含参）的求解（不可因式分解型） 【典例1】（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）回答下面两题： (1)解关于x的不等式． 【答案】(1)见解析 （1）当时，，得， 当时，， 的两个根分别为，，， 此时不等式的解集为， 当时，，即，此时不等式的解集为， 当，得，此时不等式的解集为， 当，即时， 的两个根分别为，，， 此时不等式的解集为， 综上可知，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 【典例2】（23-24高一上·重庆·期末）若函数， 1)当时，求的解集. 【答案】答案见解析 【分析】（1）利用含参的一元二次不等式的解法，分，，和三种情况讨论，即可求出结果. 【详解】（1），，所以，即， 又， 当，即时，的解集为； 当，即时，若，解集为，若，解集为； 当，即或时，的两根为，，且有， 此时，的解集为或， 综上所述，当时，的解集为； 当，解集为，当，解集为； 当或时，的解集为或. 题型06基本不等式（凑配法） 【典例1】（山东省威海市2021-2022学年高二下学期期末统考数学试题）成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本均值不等式求最值再结合充分必要条件与集合之间的关系即可求解. 【详解】因为，，当且仅当时去等号，即时取等号； 所以使得，的充要条件为，而充分不要条件应该为的真子集，所以应选. 故选：A 【典例2】（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立. 故答案为： 【变式1】（23-24高一上·吉林长春·期末）函数（）的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·上海嘉定·期末）当，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】对原式变形后借助基本不等式即可得. 【点睛】时，，， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 题型07基本不等式（分离法） 【典例1】（2024高一·全国·专题练习）已知，则的最大值是 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得原函数的最大值. 【详解】，则， 所以，， 当且仅当时，因为，即当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 【典例2】（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，的最小值为 . 【答案】 【分析】将所求代数式变形为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，则， 当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值． 故答案为： 【变式1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）已知，求的最小值； 【答案】（1）； 【分析】配凑法形成积定后即可用基本不等式求最值. 【详解】（1），，， ， 当且仅当时，即时取得等号， ，即最大值为. 【变式2】（23-24高一上·四川成都·阶段练习） (1)求函数的最小值． 【答案】(1) 【分析】（1）将看作一个整体，对函数分子进行凑配化简，再利用基本不等式即可求得函数的最小值. 【详解】（1）因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值. 【变式3】（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）（1）已知，求函数的值域； 【答案】（1）； 【分析】（1）设，得到，且，化简，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解； 【详解】（1）设，因为，可得，且， 故， 因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立． 所以函数的值域为． 题型08 基本不等式（换元法） 【典例1】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】依题意可得且，从而将目标式化为，再换元，利用基本不等式计算可得. 【详解】∵，，，∴，且， 则 令， 原式 ， 当且仅当，即取等号，故的最小值为. 故答案为： 【典例2】（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，则且，即可得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值. 【详解】因为，，令，则且， 因为，所以， 所以，即，所以， 又，当且仅当，即时取等号， 所以或（舍去）， 所以的最小值为，当且仅当、时取等号. 故答案为： 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）设为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】设，将已知函数用表示，整理成关于的一元二次方程，根据方程有解，用求出判别式法的范围即可. 【详解】由化简可得， 令，则，所以，即， 所以，解得， 所以的最大值是，此时，． 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·浙江衢州·阶段练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【答案】 【分析】令，进行换元可得，，结合基本不等式运算求解. 【详解】令，则， 可得，即， 且， ∵， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， ∴， 即的最大值是. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·山西·期中）若非零实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设出，，则，故，由基本不等式求出，得到. 【详解】令，，则， 所以， 因为，所以, 所以，所以， 从而，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值. 故答案为：. 【变式4】（23-24高三上·重庆云阳·阶段练习）已知且， 则的最小值为 【答案】 【分析】由题知，进而令，将的最小值转化为的最小值，再根据基本不等式求解即可. 【详解】解：由得， 所以，整理得， 令，则， 所以 ， 当且仅当时取等号， 此时. 故答案为： 题型09基本不等式（常数代换“1”的代换） 【典例1】（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据，将化简可得，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可. 【详解】由可得， 因为，所以，即，则， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 【典例2】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得. 【详解】 因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 【变式3】（2024·四川成都·模拟预测）已知实数，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由乘“1”的方法，利用基本不等式求最值. 【详解】由， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为为. 故答案为：. 题型10基本不等式（消元法） 【典例1】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 【典例2】（23-24高一下·浙江宁波·开学考试）已知，，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，用含y的式子表示x，再利用均值不等式求解作答. 【详解】由得：，而，，则有， 于是， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 【变式1】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 【变式2】（23-24高二下·上海金山·阶段练习）已知正数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将题给条件转化为，再利用二次函数在给定区间上的值域即可求得的最小值. 【详解】正数、满足，则 则， 又时，，则， 则的最小值为. 故答案为： 题型11基本不等式（对钩函数） 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）当时，的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据对勾函数的单调性求最值. 【详解】设，则， 又由得， 而函数在上是增函数， 因此时，取得最小值， 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·河南郑州·期中）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出有最小值. 【详解】， 因为， 所以根据对勾函数在上单调递增，可知当，即时，有最小值，故答案为： 【点睛】此题考查了对勾函数求最值，考查分析问题的能力，属于基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$