精品解析：山东省青岛第二中学分校2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

青岛二中分校2023-2024学年度第二学期期末教学质量检测 高二数学试题 命题人：韩慧 审核人：王晓霞 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得集合，可求得. 【详解】依题得，则． 故选：C. 2. 下列函数中，是偶函数且值域为的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别判断每个选项函数的奇偶性和值域即可. 【详解】对A，，即值域为，故A错误； 对B，的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，故B错误； 对C，的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，故C错误； 对D，的定义域为，，故是偶函数，且，即值域为，故D正确. 故选：D. 3. 已知函数，在下列区间中包含零点的区间是（ ） A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. ( 3，4) 【答案】C 【解析】 【分析】 可判断函数单调性，将区间端点代入解析式，函数值为一正一负，该区间就必有零点. 【详解】为上增函数 由零点存在定理可知，在区间(2，3)存在零点. 故选：C 4. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断，，与和的大小关系即可求解. 【详解】因为为减函数，所以， 因为在单调递减，所以， 因为在单调递增，， 即，，， 所以， 故选：C. 5. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年3月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿克苏地区发生里氏3.1级地震的（ ） A. 10倍 B. 100倍 C. 1000倍 D. 10000倍 【答案】C 【解析】 【分析】设里氏5.1级和3.1级地震释放出的能量分别为和，利用公式，结合对数的运算性质可求出的值，从而得到的值． 【详解】设里氏5.1级和3.1级地震释放出的能量分别为和， 由，于是，则，因此， 所以它释放的能量是里氏3.1级地震的1000倍. 故选：C 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用二次函数的单调性结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】由可得，设, 因为函数在上递减，递增， 所以函数的单调递减区间为 故选：C. 7. 函数的部分图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的定义域排除B；由是奇函数排除C；由排除D，从而得出答案. 【详解】由，得，则的定义域是，排除B； 由， 得， 所以函数是奇函数，排除C； ，排除D. 故选：A． 8. 已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 当时， D. 函数的最小正周期为2 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，所以的周期为4，根据得到关于对称，画出的图象，从而数形结合得到AB错误；再根据求出时函数解析式；D选项，根据的最小正周期，得到的最小正周期. 【详解】因为，所以，故， 所以的周期为4， 又，所以，故关于对称， 又时，，故画出的图象如下： A选项，函数的图象关于点不中心对称，故A错误； B选项，函数的图象不关于直线对称，B错误； C选项，当时，，则，C错误； D选项，由图象可知的最小正周期为4， 又，故的最小正周期为2，D正确. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断；由代入消元结合函数的最值可判断C；由已知结合基本不等式及相关结论可判断D. 【详解】因为， 所以的符号不确定， 由不等式的性质知成立， 但不一定成立，故A正确，B错误； 因，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误. 故选：AC. 10. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ） A. 变量与具有正相关关系 B. 去除后的回归方程为 C. 重新求得的回归直线必过点 D. 去除后相应于样本点的残差为-0.05 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用重新求得的回归方程的斜率为1.2，即可判断选项；利用样本中心在回归直线上，求出，由此进行分析求出，从而得到去除后的回归方程，即可判断选项；利用回归方程求出去掉前的样本中心，分别去掉的两个数的平均数，即可判断选项C；求出，然后作差即可判断选项． 【详解】对A,因为重新求得的回归方程的斜率为1.2，故变量与具有正相关关系，故选项正确； 对C,将代入回归直线方程为，解得， 则样本中心为，去掉两个数据点和后， 由于， 所以去掉后的，没有变化，故样本中心还是， 故去除这两个数据点后的回归直线过点，故选项C正确； 对B,又因为去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2， 所以，解得， 所以去除后的回归方程为，故选项不正确； 对D,因为， 所以，故选项正确． 故选：． 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 幂函数的图像过点，则 B. 函数的定义域为，则的定义域为 C. ，是奇函数，是偶函数，则 D. 关于的方程与的根分别为，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，用待定系数法求解即可；对于B，根据复合函数定义域的求法求解即可；对于C，利用奇偶性推出周期，根据周期求解即可；对于D，利用、、的图象的对称性即可. 【详解】对于A，设，则，得，所以，故A正确； 对于B，因为函数的定义域为，即，所以， 由，得，即的定义域为，故B不正确； 对于C，因为是奇函数，所以，因为是偶函数，所以，所以，即， 所以，所以， 所以，，则的一个周期为， 所以，故C正确； 对于D，依题意得，， 所以分别为函数、的图象与函数的图象的交点的横坐标， 又因为、的图象都关于直线对称，自身关于直线对称， 所以函数、的图象与函数的图象的交点也关于对称， 联立，得，得， 因为的中点为，所以，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 函数恒过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】令，根据对数的性质，即可得出结果. 【详解】令，则，所以， 即函数恒过定点. 故答案为： 13. 设函数的最小值是，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，进而即得. 【详解】当时，， ∵的最小值是， ∴，解得：， 故实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知函数，则使得成立的实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】函数 的 定义域为 , 因为 , 所以 , 故函数 为偶函数， 当 时, , 且 在 上单调递减, 当 时, , 且 在 上单调递减, 而 , 故 在 上单调递减, 且 . 则使得成立， 需， 所以且， 所以且， 所以且 解得或， 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表： 物理方向 历史方向 总计 男生 13 a 23 女生 7 20 27 总计 b c 50 （1）计算a，b，c的值； （2）问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？ 附：，. 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），， （2）有95%的把握认为选修物理方向和历史方向是否与性别有关 【解析】 【分析】（1）借助列联表数据计算即可得； （2）计算卡方，与3.841比较大小即可得. 【小问1详解】 由，得， 由，得， 由，得； 【小问2详解】 ， 因为， 故有95%的把握认为选修物理方向和历史方向是否与性别有关． 16. 已知命题“使不等式成立”是假命题 （1）求实数m的取值集合； （2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得出命题的否定“，不等式”成立是真命题，然后由或求解即可； （2）根据题意得出集合是集合的真子集，然后列出不等式求解即可. 【小问1详解】 因为命题 “，不等式”成立是假命题， 所以命题的否定 “，不等式”成立是真命题， 所以或，解得或， 故集合； 【小问2详解】 因为，即， 所以， 因为是集合的必要不充分条件， 令集合，则集合是集合的真子集， 即，解得，所以实数的取值范围是 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数k的值； （2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出参数并检验即可得解； （2）分离参数并通过换元法可得，故只需求出不等式右边的最小值即可得解. 【小问1详解】 因为是奇函数， 所以，解得，此时符合题意． 【小问2详解】 原问题即为，即恒成立， 则， 设， 则， ，∴当时，y取得最小值26， 要使不等式在上恒成立，则， 18. 近年来，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速，我国养鸡企业发展也取得了显著成就．某小型养鸡场从2017年到2023年每年养鸡数量（单位：千只）的统计结果如下表所示． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 养鸡数量千只 2 3 7 5 8 11 13 （1）由统计表看出，可用线性回归模型拟合与 的关系，请用相关系数加以说明（系数精确到0.01）； （2）建立关于 的回归方程（系数精确到0.01），并预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量． 参考数据：． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 【答案】（1），因为相关系数 接近1，所以与 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合． （2），17760只． 【解析】 【分析】（1）根据公式得到相关系数，与 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合； （2）得到，得到线性回归方程，并代入，预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量. 【小问1详解】 由题意知，，， ， ， ， 则， 因为相关系数 接近1，所以与 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合． 【小问2详解】 由（1）得， ． 故与 的回归方程为． 将2026年对应的年份代码代入回归方程得， 所以预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量为17760只． 19. 已知函数，. （1）若，求函数在的值域； （2）若，求的值； （3）令，则，已知函数在区间有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）化简可得，利用二次函数单调性，即得解； （2）由已知可得的解析式，根据指数函数的运算可得，利用倒序相加即可求值； （3）由已知可得，令，函数等价为在上有零点，参变分离即得解. 【小问1详解】 若 ， 当上函数为增函数， 则函数的最大值为，函数的最小值为，则函数的值域为. 【小问2详解】 若，则， 则 ， 设， 则， 两式相加得，即， 则， 故. 【小问3详解】 ， 设，当，则， 则函数等价为， 若函数在区间有零点， 则等价为在上有零点， 即在上有解， 即在上有解， 即， 设，则，则， 则在上递增， 则当时，，当时，， ∴，即， 即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛二中分校2023-2024学年度第二学期期末教学质量检测 高二数学试题 命题人：韩慧 审核人：王晓霞 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是偶函数且值域为的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知函数，在下列区间中包含零点的区间是（ ） A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. ( 3，4) 4. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年3月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿克苏地区发生里氏3.1级地震的（ ） A. 10倍 B. 100倍 C. 1000倍 D. 10000倍 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象大致为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 当时， D. 函数的最小正周期为2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ） A. 变量与具有正相关关系 B. 去除后的回归方程为 C. 重新求得的回归直线必过点 D. 去除后相应于样本点的残差为-0.05 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 幂函数的图像过点，则 B. 函数的定义域为，则的定义域为 C. ，是奇函数，是偶函数，则 D. 关于的方程与的根分别为，，则 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 函数恒过定点______. 13. 设函数的最小值是，则实数的取值范围是__________． 14. 已知函数，则使得成立的实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表： 物理方向 历史方向 总计 男生 13 a 23 女生 7 20 27 总计 b c 50 （1）计算a，b，c的值； （2）问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？ 附：，. 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16. 已知命题“使不等式成立”是假命题 （1）求实数m的取值集合； （2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数k的值； （2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 18. 近年来，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速，我国养鸡企业发展也取得了显著成就．某小型养鸡场从2017年到2023年每年养鸡数量（单位：千只）的统计结果如下表所示． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 养鸡数量千只 2 3 7 5 8 11 13 （1）由统计表看出，可用线性回归模型拟合与 的关系，请用相关系数加以说明（系数精确到0.01）； （2）建立关于 的回归方程（系数精确到0.01），并预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量． 参考数据：． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 19. 已知函数，. （1）若，求函数在的值域； （2）若，求的值； （3）令，则，已知函数在区间有零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $