专题2.6 一元二次函数、方程和不等式全章十大压轴题型归纳（拔尖篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.6 一元二次函数、方程和不等式全章十大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 题型1 利用作差法、作商法比较大小 1．（23-24高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（    ） A． B． C． D．，大小关系不确定 2．（2024高三·上海·专题练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 4．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 题型2 利用不等式的性质求取值范围 1．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一·全国·专题练习）已知30＜x＜42，16＜y＜24，分别求下列范围. (1)x＋y (2)x－3y (3)． 4．（23-24高一上·广西河池·阶段练习）（1）已知实数满足，求和的取值范围. （2）已知，求的取值范围. 题型3 利用不等式的性质证明不等式 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 2．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 3．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立： (2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则. 4．（23-24高一·全国·课后作业）若，则. (1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：； (2)证明不等式：. 题型4 条件等式求最值 1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 2．（23-24高三下·河北·开学考试）已知，均为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 4．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知，． (1)若，证明：． (2)若，求的最小值． (3)若，求的最大值． 题型5 利用基本不等式证明不等式 1．（2024·全国·模拟预测）已知正实数满足．求证： (1)； (2)． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 3．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知. (1)若，求的最小值； (2)若，证明：. 4．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）证明下列不等式 (1)已知，，，且，求证：. (2)已知，，，求证： . 题型6 基本不等式的恒成立问题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知，． (1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若不等式恒成立，求实数m的最小值； (3)若．且恒成立，求正实数a的最小值． 题型7 基本不等式的有解问题 1．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）使关于x的不等式有解的实数k的最大值是（    ） A． B． C． D．不确定 3．（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）关于的不符式； (1)若，求不等式的解集． (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围． 4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知函数，. （1）若关于x的不等式在有解，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式. 题型8 由一元二次不等式的解确定参数 1．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 3．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知关于不等式的解集为． (1)求实数； (2)解关于不等式． 4．（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知不等式的解集为 (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 题型9 一元二次不等式恒成立问题 1．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东深圳·期中）设函数，. (1)若，，求的最小值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知二次函数，对任意都有，且． (1)求函数的解析式； (2)若对于，不等式恒成立，求x的取值范围． 题型10 一元二次不等式有解问题 1．（23-24高一下·湖北·期中）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知，其中a是常数. (1)若的解集是，求a的值，并求不等式的解集； (2)若不等式有解，且解区间的长度不超过5个单位长度，求实数a的取值范围. 4．（23-24高一上·山东济南·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时， （i）解关于x的不等式； （i）若存在 ，使得，求实数a的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 一元二次函数、方程和不等式全章十大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 题型1 利用作差法、作商法比较大小 1．（23-24高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（    ） A． B． C． D．，大小关系不确定 【解题思路】利用作差法判断即可. 【解答过程】， ∵，为正数，且，，则， ∴， ∴， 故选：C. 2．（2024高三·上海·专题练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【解答过程】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D. 3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【解题思路】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【解答过程】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 4．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【解题思路】（1）用作差比较法即可； （2）结合（1）的结论即可证明. 【解答过程】（1）若，则. 证明：. 因为，所以，又，故， 因此. （2）在锐角三角形中，由（1）得， 同理， . 以上式子相加得. 题型2 利用不等式的性质求取值范围 1．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可. 【解答过程】因为，所以， 对于A，，,, 综上可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误； 故选：D. 2．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，结合不等式的性质求解即可. 【解答过程】由题意，，故， 即. 故选：D. 3．（2024高一·全国·专题练习）已知30＜x＜42，16＜y＜24，分别求下列范围. (1)x＋y (2)x－3y (3)． 【解题思路】（1）直接根据不等式基本性质的同向可加性可求解. （2）先求得的范围，再根据同向可加性求解. （3）根据第（2）小问的范围结合反比例函数性质求得的范围，再根据同向可乘性即可求解. 【解答过程】（1）因为30＜x＜42，16＜y＜24，所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66. （2）因为30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，所以30－72＜x－3y＜42－48， 故－42＜x－3y＜－6. （3）因为30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，所以, 所以,所以,故. 4．（23-24高一上·广西河池·阶段练习）（1）已知实数满足，求和的取值范围. （2）已知，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据不等式的可加性和可乘性即可求解范围， （2）利用整体法，结合不等式的性质即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以， 又因为，所以， 所以的取值范围是. 因为，所以， 因为，所以， 所以的取值范围是. （2）令，即， 则有，解得， 而，于是， 所以，，即， 所以. 题型3 利用不等式的性质证明不等式 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【解题思路】（1）（2）利用不等式的性质推理即得. 【解答过程】（1）由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2）由，，得，即， 又，所以． 2．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【解题思路】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【解答过程】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 3．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立： (2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则. 【解题思路】（1）糖水变甜了得出不等式，，作差法比较大小即可； （2）根据三角形两边之和大于第三边，再结合（1）中不等式放缩即可证明. 【解答过程】（1）糖水变甜了得出不等式，. 证明： . .， ，. （2）设的三边长分别为，则有， 由（1）已证不等式可得：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以，. 4．（23-24高一·全国·课后作业）若，则. (1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：； (2)证明不等式：. 【解题思路】(1)令即可求解，利用不等式性质即可证明不等式；(2)从原不等式入手，对原不等式变形，通过分类讨论与之间的大小关系即可证明. 【解答过程】证明：(1)当时，，故， 由，且， 利用不等式性质可得，； (2)欲证， 只需证明，即， ①当时，显然不等式成立， ②当时，不妨令，即，故， 由于，显然成立， 故原不等式成立； 同理，当时，原不等式也成立. 综上所述，对于任意，，均成立. 题型4 条件等式求最值 1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 【解题思路】将条件等式化成，由，利用1的代换法和基本不等式即可求得最小值. 【解答过程】解：由，得，又， 所以 . 当且仅当时等号成立. 故选：B. 2．（23-24高三下·河北·开学考试）已知，均为正实数，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】先将化为，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得. 【解答过程】因为，均为正实数，且，得， 所以， 又， 当且仅当即时取等号，所以. 故选：B. 3．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【解题思路】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解； （2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值. 【解答过程】（1）因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； （2）由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 4．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知，． (1)若，证明：． (2)若，求的最小值． (3)若，求的最大值． 【解题思路】（1）依题意可得，要证，即证，利用基本不等式计算可得； （2）利用基本不等式得到关于的不等式，解得即可； （3）依题意可得，再利用基本不等式得到关于的不等式，解得即可. 【解答过程】（1）因为， 所以， 又，，则， 要证，即证， 即证， 而，当且仅当，即时等号成立， 所以原命题得证； （2）因为，且， 所以，当且仅当时取等号， 所以或（舍去），当且仅当时取等号， 所以的最小值为. （3）因为， 所以，则， 又，当且仅当时等号成立， 即，所以，显然，所以，当且仅当时等号成立， 即的最大值为. 题型5 利用基本不等式证明不等式 1．（2024·全国·模拟预测）已知正实数满足．求证： (1)； (2)． 【解题思路】（1）由题意，根据基本不等式可得，利用作差法，结合立方和公式和基本不等式计算即可证明； （2）由题意可得，结合基本不等式计算即可证明. 【解答过程】（1）由，且可得， 故，当且仅当时等号成立． ， ，当且仅当时等号成立． （2） ， 当且仅当时等号成立．故． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【解题思路】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【解答过程】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴ ， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 3．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知. (1)若，求的最小值； (2)若，证明：. 【解题思路】 （1）变形得到，故，利用基本不等式求出最值； （2）变形后只需证，利用基本不等式“1”的妙用证明出结论. 【解答过程】（1）因为， 所以， 当时等号成立， 所以的最小值为2. （2）因为且， 要证， 即证， 即证， 整理得， 所以即证， 而 ，等号在时成立， 所以成立. 4．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）证明下列不等式 (1)已知，，，且，求证：. (2)已知，，，求证： . 【解题思路】（1）利用“1”的代换，结合加法法则，根据基本不等式即可证明； （2）利用基本不等式结合乘法法则即可证明. 【解答过程】（1） ， 当且仅当时，取等号. （2），，， ，，， ， 当且仅当时等号成立. 题型6 基本不等式的恒成立问题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【解答过程】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 2．（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【解答过程】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A. 3．（23-24高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）利用乘“1”法及基本不等式计算可得； （2）依题意可得，参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【解答过程】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 故的取值范围为． 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知，． (1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若不等式恒成立，求实数m的最小值； (3)若．且恒成立，求正实数a的最小值． 【解题思路】（1）将恒成立，转化为恒成立，再由，利用基本不等式求得其最小值即可； （2）将恒成立，转化为恒成立，再由，利用基本不等式求得其最小值即可； （3）根据，，利用基本不等式求解. 【解答过程】（1）解：∵， ∴， ∴恒成立等价于恒成立． 又， ∴， 当且仅当，即，即，时等号成立． ∴， ∴． 故实数m的取值范围是． （2）∵，， ∴恒成立等价于恒成立． 又，当且仅当，即时取等号， ∴，即． ∴实数的最小值为－4． （3）∵，， ∴，当且仅当，即时等号成立． 又恒成立， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故正实数的最小值为4． 题型7 基本不等式的有解问题 1．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可. 【解答过程】因为，且， 所以． 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得或， 所以m的取值范围是． 故选：D． 2．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）使关于x的不等式有解的实数k的最大值是（    ） A． B． C． D．不确定 【解题思路】问题等价于求解的最大值，由均值不等式可得，当且仅当时取等号；当且仅当时取等号；即可求出的最大值，得解. 【解答过程】解：由均值不等式可得，当且仅当时取等号；当且仅当时取等号； 当且仅当，即时等号成立； 的最大值为，的最大值也为. 故选：B. 3．（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）关于的不符式； (1)若，求不等式的解集． (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）利用一元二次不等式的解法直接求解即可， （2）将问题转化为当时，有解，然后利用基本不等式求出的最小值即可求得实数的取值范围． 【解答过程】（1）当时，，即， ，解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， ， 因为时，不等式有解， 所以当时，有解， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数的取值范围为. 4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知函数，. （1）若关于x的不等式在有解，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式. 【解题思路】（1）利用分离常数法将转化为，结合基本不等式求得的取值范围. （2）将不等式转化为且，然后对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【解答过程】（1）在有解，即在有解， 因为， 所以，， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以. （2），，且， 1）时，不等式化为，解得，即原不等式的解集为； 当时，方程的两个根为和. 2）时，，所以原不等式解得或，即原不等式的解集为； 3）时，，所以原不等式解得，即原不等式的解集为； 4）时，，原不等式无解； 5）时，，所以原不等式解得，即原不等式的解集为. 题型8 由一元二次不等式的解确定参数 1．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解. 【解答过程】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D. 2．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【解题思路】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而否定选项A和选项B，求得不等式的解集判断选项C；求得不等式的解集判断选项D. 【解答过程】关于的不等式的解集为 则且关于的方程的根为，， 则，解之得， 由，可得选项 A判断错误； ，故选项 B判断错误； 不等式可化为，解之得，故选项 C判断正确； 不等式可化为，即， 解之得或，故选项 D判断错误. 故选：C. 3．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知关于不等式的解集为． (1)求实数； (2)解关于不等式． 【解题思路】（1）根据不等式的解集，结合根与系数的关系列出方程即可得到结果； （2）由题意得到不等式对应的方程的两根，然后根据两根的大小讨论即可得到结果. 【解答过程】（1）不等式的解集为， 方程的根为， ，解得． （2）由（Ⅰ）原不等式可化为，即， 原不等式对应的方程的根为， 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 4．（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知不等式的解集为 (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【解题思路】（1）根据已知可得方程的2个根为2，3，由韦达定理解得，从而得不等式，结合不等式有且仅有10个整数解可得答案； （2）分、、、、、讨论解不等式可得答案. 【解答过程】（1），原不等式等价于恒成立， 且的解集为，故方程的2个根为2，3， 故由韦达定理， 恒成立， 可得恒成立，所以， 解得， ， 故， 不等式有且仅有10个整数解，故， 所以的取值范围为； （2）1､当时，由（1）得时， ， 即：， ①当时，原不等式解集为； ②当时，原不等式解集为； ③当时，原不等式解集为. 2､当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为， 由韦达定理：恒成立， 解得， ， 该不等式解集为或， 3､当时， ，则无解. 4､当时， ，则. 综上：当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 题型9 一元二次不等式恒成立问题 1．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分和讨论，结合恒成立问题分析求解即可. 【解答过程】当时，原不等式为：，对恒成立； 当时，原不等式恒成立，需，解得， 综上得． 故选：C． 2．（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【解答过程】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 3．（23-24高一上·广东深圳·期中）设函数，. (1)若，，求的最小值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得； （2）依题意可得在上恒成立，即可得到，解得即可. 【解答过程】（1）因为且， 所以，即， 又，，所以， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为. （2）因为在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以在上恒成立， 因为，所以，解得， 即实数的取值范围为. 4．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知二次函数，对任意都有，且． (1)求函数的解析式； (2)若对于，不等式恒成立，求x的取值范围． 【解题思路】（1）由题意可得函数关于对称，再根据求出即可； （2）不等式即为，将当作参数，分，和三种情况讨论，利用分离参数法求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以函数关于对称， 则，解得， 所以； （2）不等式即为， 当时，则恒成立， 而， 所以，即， 因为， 所以； 当时，恒成立，此时； 当时，则恒成立， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为． 题型10 一元二次不等式有解问题 1．（23-24高一下·湖北·期中）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案． 【解答过程】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当时，即， 若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集； 若时，原不等式为，无解，不符合题意； ②当时，即， 若的解集是空集，则有，解得， 则当不等式的解集不为空集时，有或且， 综合可得：实数的取值范围为； 故选：C． 2．（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 化简不等式，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得的取值范围. 【解答过程】依题意，至少存在一个，使得关于的不等式成立， 即至少存在一个，使得关于的不等式成立， 画出以及的图象如下图所示，其中. 当与相切时， 由消去并化简得， . 当与相切时， 由消去并化简得①， 由解得，代入①得， 解得，不符合题意. 当过时，. 结合图象可知的取值范围是. 故选：A. 3．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知，其中a是常数. (1)若的解集是，求a的值，并求不等式的解集； (2)若不等式有解，且解区间的长度不超过5个单位长度，求实数a的取值范围. 【解题思路】（1）由题意可得方程的两个根分别为和6，从而可求出，进而可得不等式的解集； （2）由不等式有解，可得，设方程的两个根为，利用根与系数的关系，由题意得，平方化简变形得，再结合前面的式子代入可求出实数a的取值范围. 【解答过程】（1）因为的解集是， 所以方程的两个根分别为和6， 所以， 所以， 由，得，解得或， 所以不等式的解集， （2）由有解，得，解得或， 设方程的两个根为，则 ，， 由题意得， 所以， 所以，解得， 综上，或， 即实数a的取值范围为. 4．（23-24高一上·山东济南·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时， （i）解关于x的不等式； （i）若存在 ，使得，求实数a的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意，转化为得到和是方程的两个实数根据，列出方程组，即可求解； （2）（i）由，求得，把不等式，转化为，分类讨论，即可求得不等式的解集； （i i）由（i）中不等式的解集，结合存在，使得，分类讨论，即可求解. 【解答过程】（1）解：由函数，因为不等式的解集为， 可得和是方程的两个实数根据， 则，解得. （2）解：（i）由函数， 因为，可得，即， 所以， 由不等式，即， 当时，即时，解得或； 当时，即时，即为 解得； 当时，即时，解得或， 综上可得，当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （i i）由（i）知，当时，不等式解集为， 若存在，使得，则满足，解得； 当时，不等式的解集为， 此时不存在，使得； 当时，不等式的解集为， 此时不存在，使得， 综上可得，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$