精品解析：辽宁省辽阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下学期期末质量监测 八年级数学试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用不等式表示：是非负数，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形中，属于多项式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 年月日，“逐梦寰宇问苍穹中国载人航天工程三十年成就展”在中国国家博物馆展出，下列航天图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的方程有增根，则k的值是（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 5. 如图，在中，，D是上一点，连接，若平分，设和的面积分别是，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三边长分别为a，b，c，且满足，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 指出下列命题中的假命题（ ） A. 三个角都相等的三角形是等边三角形 B. 一条直角边相等且另一条直角边上的中线也相等的两个直角三角形全等 C. 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 9. 如图，把绕着点顺时针旋转，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，，则的度数是（ ） A B. C. D. 10. 如图，的对角线与相交于点O，E、F是对角线上不同的两点，在下列添加的条件中，不能判定四边形AECF为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5道小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是____． 12. 分解因式__________． 13. 若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是_______边形． 14. 如图， 在中，F是边上一点， E是边的中点，平分． 若， 则的长为_________． 15. 如图，在中，分别以、为边向外作等边、等边，延长交线段于点G，连接、、，则在以下四个结论中，①；②；③；④是等边三角形．一定正确的有：________．（只填序号） 三、解答题（共75分） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，已知点、、． （1）将绕点O逆时针旋转90°得，画出． （2）画出关于原点O成中心对称的图形． （3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为______． 18 证明与作图： （1）已知：如图1，，，垂足分别为M，N，与相交于点P．若，求证：． （2）尺规作图：如图2，已知：线段a，b， 求作：等腰三角形，使底边上高为a，腰长为b．（提示：作图要保留作图痕迹，且要用2B铅笔，不用写作法）． 19. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： （1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 20. 如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．求证：四边形为平行四边形． 21. 某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆． （1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？ （2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？ 22. 阅读材料：教材中把形如的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如： ①分解因式：： ． ②求多项式的最小值： ． ∵，∴， ∴当时，有最小值，最小值是． 解决问题：（1）若多项式是完全平方式，则常数k值为________； （2）分解因式：； （3）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 拓展应用： （4）若实数a，b满足，则多项式最小值为________． 23. 发现结论： （1）在中，，若设，则________；（用含有a的代数式表示） （2）如图1，在中，是对角线，将沿翻折至与边相交于点E，连接，则的形状是________，线段和的数量关系是________． 结论应用： 在中，，是对角线，将沿翻折至，连接． （3）如图②，已知，与边相交于点E，求的面积； （4）已知，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期期末质量监测 八年级数学试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用不等式表示：是非负数，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用不等式表示，涉及非负数定义，根据非负数定义将是非负数表示为，逐项验证即可得到答案，熟记非负数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是非负数，用不等式表示为， A、错误，不符合题意； B、正确，符合题意； C、错误，不符合题意； D、错误，不符合题意； 故选：B． 2. 下列从左到右的变形中，属于多项式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此即可判断求解，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、，从左到右是因式分解，该选项符合题意； 、，从左到右是整式的乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、，从左到右是多项式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、，从左到右是单项式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 故选：． 3. 年月日，“逐梦寰宇问苍穹中国载人航天工程三十年成就展”在中国国家博物馆展出，下列航天图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形得出结论即可． 【详解】解：由题意知，图形 是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的概念是解题的关键． 4. 关于x的方程有增根，则k的值是（ ） A 0 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先去分母，再将增根代入，求解即可． 【详解】解：去分母，得， 将增根代入， 得， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键． 5. 如图，在中，，D是上一点，连接，若平分，设和的面积分别是，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，三角形的面积等知识，先求出，得出， 从而，然后根据三角形面积公式可得结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式性质，涉及分式变形，由及得到，逐项验证即可得到答案，熟记不等式性质是解决问题的关键． 【详解】解： ，，即， A、错误，不符合题意； B、错误，不符合题意； C、正确，符合题意； D、错误，不符合题意； 故选：C． 7. 已知的三边长分别为a，b，c，且满足，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，由得，从而，由两边之和大于第三边可得，即，进而，故可得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴, , ∴． 又∵，即， ∴，即． ∴是等腰三角形． 故选：A． 8. 指出下列命题中的假命题（ ） A. 三个角都相等的三角形是等边三角形 B. 一条直角边相等且另一条直角边上的中线也相等的两个直角三角形全等 C. 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，等边三角形的判定，全等三角形的判定，平行四边形的判定以及三角形的角平分线的性质，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 【详解】解：．三个角都相等的三角形是等边三角形，是真命题，故该选项不符合题意； ．如图，，，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，故该选项不符合题意； ．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等；而三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故原命题是假命题，故该选项符合题意； ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图，把绕着点顺时针旋转，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质等知识点， 设，则，根据平行线的性质可得，再根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：设， ， ， ， ， 由旋转的性质得：，， ， 在中，， ， 解得， 即， 故选：D． 10. 如图，的对角线与相交于点O，E、F是对角线上不同的两点，在下列添加的条件中，不能判定四边形AECF为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； B、，不能得到四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵四边形平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意， 故选：B． 二、填空题（本题共5道小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是____． 【答案】x≠−2 【解析】 【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意得，x＋2≠0， 解得x≠−2． 故答案是：x≠−2． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于0列式是解题的关键． 12. 分解因式__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 13. 若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是_______边形． 【答案】十二 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．可以转化为方程的问题来解决． 【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得：， 解得． 故答案为：十二． 14. 如图， 在中，F是边上一点， E是边的中点，平分． 若， 则的长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 延长相交于点M，根据平行四边形的性质可得、、，再结合角平分线的定义等腰三角形的性质可得，通过证明得出，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：延长相交于点M， ∵四边形为平行四边形， ∴，即，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∵E是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为10． 15. 如图，在中，分别以、为边向外作等边、等边，延长交线段于点G，连接、、，则在以下四个结论中，①；②；③；④是等边三角形．一定正确的有：________．（只填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据等边三角形的性质，只有时，可判断②；根据平行四边形的对角相等，等边三角形的每个角都是可得出，根据平行四边形的对边相等，等边三角形的三条边都相等可得出，，然后利用“边角边”证明即可判断①；再表示出，可得即可判断③；同理可证明，根据全等三角形的性质可得出，即可判断④． 【详解】解：在等边三角形中 等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段 如果，则是得中点， ，而题干中缺少这个条件 无法证明，故②错误； 、是等边三角形 ，， 四边形是平行四边形 ，， ， ，故①正确； ， ，故③正确； 同理可得： ， 是等边三角形，故④正确 故答案为：①③④． 三、解答题（共75分） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，涉及因式分解、分式混合运算及代数式求值，先因式分解、再由分式混合运算化简得到，最后将代入化简结果求值即可得到答案，熟记分式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图，已知点、、． （1）将绕点O逆时针旋转90°得，画出． （2）画出关于原点O成中心对称的图形． （3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）分别作出的对应点即可解决问题． （2）分别作出的对应点即可解决问题． （3）根据平行四边形的定义，画出图形写出坐标即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求作， 小问2详解】 如上图所示，即为所求作； 【小问3详解】 如图，满足条件的点D的坐标为或或． 故答案为或或． 【点睛】本题考查旋转变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 18. 证明与作图： （1）已知：如图1，，，垂足分别为M，N，与相交于点P．若，求证：． （2）尺规作图：如图2，已知：线段a，b， 求作：等腰三角形，使底边上的高为a，腰长为b．（提示：作图要保留作图痕迹，且要用2B铅笔，不用写作法）． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了做等腰三角形，全等的判定以及性质．掌握等腰三角形的性质以及全等的判定以及性质是解题的关键． （1）先证明，由全等的性质得出，由对顶角相等得出再证明，由全等的性质即可得出 （2）在直线l上取点D，作于D，在上截取，然后以点A为圆心，b为半径画弧交l于B、C两点，则满足条件． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 等腰三角形如下图所示： 19. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： （1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】本题考查新定义，涉及解一元一次方程、解一元一次不等式组等知识，理解新定义的“关联方程”是解决问题的关键． （1）解题中给出的三个一元一次方程及不等式组的解集，根据“关联方程”验证即可得到答案； （2）解一元一次方程得到，解不等式组得到，根据“关联方程”的定义得到求解即可确定答案． 【小问1详解】 解：①，解得； ②，解得； ③，解得； ， 解不等式①得； 解不等式②得； 原不等式组的解集为； 、在范围内；不在范围内， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②； 【小问2详解】 解：，解得； 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集为； 关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ，解得． 20. 如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，，再证明为的中位线，得出，，再由为的中点，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴为的中位线， ∴，， 又∵为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 21. 某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆． （1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？ （2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？ 【答案】（1）型汽车的进价为每辆30万元，型汽车的进价为每辆20万元 （2）最多可以购买60辆型汽车 【解析】 【分析】（1）设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可； 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式． 【小问1详解】 解：设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元， 依题意得： 解得：, 经检验，是方程的解，且符合题意， 则, 答：型汽车的进价为每辆30万元，型汽车的进价为每辆20万元； 【小问2详解】 设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车， 依题意得：， 解得：, 答：最多可以购买60辆型汽车． 22. 阅读材料：教材中把形如的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如： ①分解因式：： ． ②求多项式的最小值： ． ∵，∴， ∴当时，有最小值，最小值是． 解决问题：（1）若多项式是完全平方式，则常数k的值为________； （2）分解因式：； （3）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 拓展应用： （4）若实数a，b满足，则多项式的最小值为________． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，多项式有最大值，最大值是8；（4）3 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （3）利用配方法将多项式，转化为，然后利用非负数的性质进行解答； （4）根据，得出，求出，得出答案即可． 【详解】解：（1）∵多项式是完全平方式， ∴， ∵， ∴； （2）， ， ， ， ； （3） ， ∴当时，多项式有最大值，最大值是8． （4）∵， ∴， ∴ ， ∴当时，有最小值3， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式，熟记公式，读懂材料，掌握配方法的步骤和运用是解答的关键． 23. 发现结论： （1）在中，，若设，则________；（用含有a的代数式表示） （2）如图1，在中，是对角线，将沿翻折至与边相交于点E，连接，则的形状是________，线段和的数量关系是________． 结论应用： 在中，，是对角线，将沿翻折至，连接． （3）如图②，已知，与边相交于点E，求的面积； （4）已知，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】（1）；（2）等腰三角形，相等；（3）；（4）的长为4或12 【解析】 【分析】（1）由题意可得，从而得出； （2）先证明，可得，得出，从而得出是等腰三角形，再由，，可得； （3）延长交于点G，通过解直角三角形求得，，再由，可得，设，则，根据勾股定理即可求得值，即的值，然后根据三角形的面积公式即可求得的面积； （4）分两种情形，分别求解即可． 【详解】发现结论： （1）如图， 在中，，， ， ， 故答案为：； （2）四边形是平行四边形， ，，， 将沿翻折至， ，，， ，，， 在和中， ， ， ， ， 是等腰三角形， ，， ， 故答案为：等腰三角形，相等； 结论应用： （3）如图，作于， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ，解得， ， 的面积； （4）由（2）得，， ， ， ， ， 四边形是等腰梯形， ， ， 是以为斜边的直角三角形， 当，时， 设， ， ， ，解得， ， ， ， ， 当，时，如图，延长交于点G， ，， ， ，， ， ，， ， ， 是的中点， 在中，， ． 综上所述，当的长为4或12时，是以为斜边的直角三角形． 【点睛】本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$