上海新高一入学分班考试模拟卷 （范围：初高衔接、集合与逻辑）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

2024年秋季上海新高一入学分班考试模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围：初高衔接、集合与逻辑） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．使等式成立的的取值范围是 　　． 【分析】将已知等式化简，即可求解的取值范围． 【解答】解：可化为，即， 所以，所以， 即使等式成立的的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查根式的运算，考查运算求解能力，属于基础题． 2．若，，，则整数　3　． 【分析】由两个集合相等且为整数，可知也为整数，且，进而求出的值． 【解答】解：，，，且为整数， 也为整数，，即， ，， 故答案为：3． 【点评】本题考查集合相等的条件，考查了集合中元素的特性，是基础题． 3．在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，，，两点，则的值是 　0　． 【分析】根据一次函数与反比例函数的图象和性质可知，其交点，，，关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案． 【解答】解：由一次函数与反比例函数的图象和性质可知， 其交点点，，，关于原点对称， 所以． 故答案为：0． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，属于易做题． 4．若集合，，则　　（用符号“”“ ”或“”连接）． 【分析】由题意解出集合，，再根据集合之间的关系判断即可． 【解答】解：，，， 所以有， 故答案为：． 【点评】本题考查了集合之间的关系，是基础题． 5．已知，，若，则实数的取值集合是　　． 【分析】推导出方程没有正实数解，若，则△，若，则方程有两个非正数解，且0不是其解，则有，由此能求出实数的取值集合． 【解答】解：，，， 方程没有正实数解， 故集合有两种情况： ①若，则△，解得， ②若，则方程有两个非正数解，且0不是其解， 则有，解得， 综上所述，． 实数的取值集合是． 故答案为：． 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．若三角形的面积为，且三边长分别为、、，则三角形的内切圆的半径是 　　． 【分析】由三角形的等面积法求解即可． 【解答】解：设三角形的内切圆的半径是， 如图可知：， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的内切圆的半径，重点考查了三角形的等面积法，属于基础题． 7．，，，，，试用列举法表示集合　，3，　． 【分析】先化简集合，再根据集合的含义列举即可． 【解答】解：集合，，，， ，，， 则，3，， 故答案为：，3，． 【点评】本题考查列举法、描述法表示集合的方法，属于基础题． 8．在和△中，，且，则△的周长　40　． 【分析】由题意，，，从而△的周长，由此能求出结果． 【解答】解：在和△中，，且， ，，， 则△的周长． 故答案为：40． 【点评】本题考查三角形周长、相似三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．已知点是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点在轴的负半轴上，且为坐标原点），则的面积为 　　． 【分析】求出点的坐标，即解方程组，再根据三角形面积公式可求的面积． 【解答】解：依题意得，解得， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查函数与方程的应用，考查学生的运算能力，属于中档题． 10．已知、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的对称点坐标为，则二次函数的最大值为 　　． 【分析】根据题意得到点的坐标，进而可得，的关系，由此可求得及的值，从而得到二次函数的解析式，再由二次函数的性质得解． 【解答】解：因为、两点关于轴对称，点的坐标为，所以点的坐标为， 又点在反比例函数的图象上，点在次函数的图象上， 所以，解得， 所以，即， 所以， 故二次函数为， 二次项系数为，故函数有最小值，最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的性质以及二次函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题． 11．设，1，2，3，4，5，6，7，8，，若，，则不同的有序集合组，，的总数是 　　． 【分析】按照中元素个数讨论可解决此题． 【解答】解：当集合中有10个元素时，不同的有序集合组，，有个； 当集合中有9个元素时，不同的有序集合组，，有个； 当集合中有0个元素时，不同的有序集合组，，有个； 总数为：． 【点评】本题考查组合应用、二项式定理，考查数学运算能力及数据分析能力，属于难题． 12．用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，，则实数的所有可能取值构成集合，则　　（请用列举法表示）． 【分析】根据题意，可得，则可通过讨论与的大小，进而得到结果，具体过程详见解析． 【解答】解：根据题意，，，则有， 又因为， 即得表示方程实数根的个数， 解这个方程得①，或② 解方程①得，， 解方程②得，若，即或时，方程有两个不等实根分别为，； 若，即或时，方程有且只有一个实根； 若，即时，方程没有实数根． 综上可得，当或时，； 当或时，； 当时， 所以（1）当时，，即得， 此时可得； （2）当时，即得，此时可得或； 故答案为：，． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的求解，以及分类讨论在解题中的使用，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．下列命题中正确的是　　 A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合，那么，若，则 【分析】利用子集、真子集、空集的定义直接求解． 【解答】解：对于，空集的子集是空集，故错误； 对于，空集是任何一个非空集合的真子集，故错误； 对于，空集只有一个子集，故错误； 对于，设集合，那么，若，则，故正确． 故选：． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查子集、真子集、空集的定义等基础知识，是基础题． 14．已知集合，，，则集合的子集个数为　　 A．5个 B．8个 C．3个 D．2个 【分析】由不等式化简得，0，1，，，，2，，从而求子集个数即可． 【解答】解：，0，1，， ，，2，， 故集合中有3个元素， 故集合的子集个数为， 故选：． 【点评】本题考查了集合的化简与集合的子集个数的结论应用，属于基础题． 15．已知1和3是关于的方程的两个根，且关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是　　 A．1或 B．或 C．或 D．1或 【分析】先根据1和3是关于的方程的两个根，得到，，之间的关系，再结合关于的方程有两个相等的实数根即可求解结论． 【解答】解：和3是关于的方程的两个根， 即的两根， 且， 可得，， 关于的方程有两个相等的实数根， ，可得，即 解得或， 故选：． 【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题． 16．设、、是两个两两不相等的正整数．若，，，，，则的最小值是　　 A．2007 B．1949 C．1297 D．1000 【分析】假设，则．由此可得为奇数．分和两种情况解出，，的值，代入计算即可． 【解答】解：不妨设，则． 因为为偶数， 所以，，必为两奇一偶，从而可得为奇数． 又因为，所以为不小于3的奇数． 若．则，，，，． 故，且． 所以，不符合要求． 若，则，，，，． 故，解得， 此时，． 故选：． 【点评】本题考查了学生的逻辑推理能力和分类讨论思想，得出为奇数是关键点，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据题意可得，从而建立方程组即可求解； （2）由是的子集，可得或或或，，再分类讨论建立方程即可求解． 【解答】解：（1），，，又， ，，； （2）是的子集， 或或或，， ①时，△，； ②时，，； ③时，，； ④，时，由（1）知， 综合可得实数的取值范围为，． 【点评】本题考查集合间的关系，方程思想，分类讨论思想，属中档题． 18．如图，点，在反比例函数的图象上，经过点、的直线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）若，求的值； （2）求的值； （3）连接、，若，求直线的函数关系式． 【分析】（1）先把点坐标代入，求出的值得到反比例函数解析式，然后把代入可求出的值． （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，，然后把两式相减消去即可得到的值； （3）作轴于，轴于，利用正切的定义得到，， 则，结合，于是可解得，，从而得到，，然后利用待定系数法求直线的解析式． 【解答】解：（1）当，则，把代入，得， 所以反比例函数解析式为，把代入得，解得． （2）因为点，在反比例函数的图象上， 所以，，所以，即； （3）作轴于，轴于，如图， 在中，，在中，，而， 所以，又，解得，，则，， 设直线的解析式为，把，代入得，解得， 所以直线的解析式为． 【点评】本题主要考查函数和方程的综合应用，属于中档题． 19．如图，抛物线与轴交于，两点，直线与轴交于点，与轴交于点．点是轴上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求的值． 【分析】（1）将点，坐标代入抛物线解析式，解方程组求出，，从而可求出抛物线的解析式； （2）由题意表示出，，的坐标，从而可表示出，，然后由，列方程，能求出值． 【解答】解：（1）将点、坐标代入抛物线解析式，得： ， 解得：． 故抛物线的解析式为：； （2）点的横坐标为， ，，． ， ， 由题意，即， ①若， 整理得，解得，． ②若， 整理得， 解得或， 由题意得的取值为， 或． 【点评】本题考查二次函数的性质、抛物线解析式、图象、性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20．已知命题：关于的不等式的解集为，且；命题：关于的方程有两个不相等的正实数根． （1）若命题为真命题，求实数的范围； （2）若命题和命题中至少有一个是假命题，求实数的范围． 【分析】命题：关于的不等式的解集为，且，可得，解得范围；命题：关于的方程有两个不相等的正实数根，可得，解得范围． （1）由命题为真命题，即可得出实数的范围． （2）由命题和命题中都是真命题，解得范围．进而得出当命题和命题中至少有一个是假命题时的实数的范围． 【解答】解：命题：关于的不等式的解集为，且，则，解得； 命题：关于的方程有两个不相等的正实数根，则，解得． （1）由命题为真命题，实数的范围是； （2）由命题和命题中都是真命题，则，解得． 可得：命题和命题中至少有一个是假命题，则，或． 实数的范围是，或． 【点评】本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21．交中的新生小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点为中点，“中线长定理”即．小明尝试对它进行证明，部分过程如下： 解：过点作于点，如图2，在中，， 同理可得：，， 为证明的方便，不妨设，， （1）请你完成小明剩余的证明过程； 理解运用： （2）①在中，点为的中点，，，，则　　； ②如图3，的半径为6，点在圆内，且，点和点在上，且，点、分别为，的中点，则的长为 　　； 拓展延伸： （3）小明解决上述问题后，联想到某课外书上的某题目：如图4，已知的半径为（圆心为原点，以为直角顶点的的另两个顶点，都在上，为的中点，求长的最大值．请你利用上面的方法和结论，求出长的最大值． 【分析】（1）过点作于点，如图2，在中，，，为证明的方便，不妨设，，根据勾股定理即可证明； （2）①利用中线定理计算即可；②利用中线定理即可解决； （3）如图4中，连接，取的中点，连接，利用中线定理求出，再利用三边关系即可解决问题． 【解答】解：（1）过点作于点，如图2，在中，， 同理可得：，， 为证明的方便，不妨设，， ． （2）①． 解得． ②如图3中，连接，，，， 点、分别为，的中点， 是的中线，是的中线，是的中线， ，， ， ， ， （负根舍去）． （3）如图4中，连接，取的中点，连接， 由（2）的②可知， ，在中，，， ， 长的最大值为． 【点评】本题考查圆的有关性质，三角形中线定理，勾股定理，考查转化思想的应用，属中档题， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季上海新高一入学分班考试模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围：初高衔接、集合与逻辑） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．使等式成立的的取值范围是 　　． 2．若，，，则整数　　． 3．在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，，，两点，则的值是 　　． 4．若集合，，则　　（用符号“”“ ”或“”连接）． 5．已知，，若，则实数的取值集合是　　． 6．若三角形的面积为，且三边长分别为、、，则三角形的内切圆的半径是 　　． 7．，，，，，试用列举法表示集合　　． 8．在和△中，，且，则△的周长　　． 9．已知点是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点在轴的负半轴上，且为坐标原点），则的面积为 　　． 10．已知、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的对称点坐标为，则二次函数的最大值为 　　． 11．设，1，2，3，4，5，6，7，8，，若，，则不同的有序集合组，，的总数是 　　． 12．用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，，则实数的所有可能取值构成集合，则　　（请用列举法表示）． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．下列命题中正确的是　　 A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合，那么，若，则 14．已知集合，，，则集合的子集个数为　　 A．5个 B．8个 C．3个 D．2个 15．已知1和3是关于的方程的两个根，且关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是　　 A．1或 B．或 C．或 D．1或 16．设、、是两个两两不相等的正整数．若，，，，，则的最小值是　　 A．2007 B．1949 C．1297 D．1000 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 18．如图，点，在反比例函数的图象上，经过点、的直线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）若，求的值； （2）求的值； （3）连接、，若，求直线的函数关系式． 19．如图，抛物线与轴交于，两点，直线与轴交于点，与轴交于点．点是轴上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求的值． 20．已知命题：关于的不等式的解集为，且；命题：关于的方程有两个不相等的正实数根． （1）若命题为真命题，求实数的范围； （2）若命题和命题中至少有一个是假命题，求实数的范围． 21．交中的新生小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点为中点，“中线长定理”即．小明尝试对它进行证明，部分过程如下： 解：过点作于点，如图2，在中，， 同理可得：，， 为证明的方便，不妨设，， （1）请你完成小明剩余的证明过程； 理解运用： （2）①在中，点为的中点，，，，则　　； ②如图3，的半径为6，点在圆内，且，点和点在上，且，点、分别为，的中点，则的长为 　　； 拓展延伸： （3）小明解决上述问题后，联想到某课外书上的某题目：如图4，已知的半径为（圆心为原点，以为直角顶点的的另两个顶点，都在上，为的中点，求长的最大值．请你利用上面的方法和结论，求出长的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$