精品解析：山东省德州市庆云县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学试题 一、选择题（每题4分，共计48分） 1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母的二次根式就是最简二次根式，据此一一判断得出答案． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，故不是最简二次根式，此选项符合题意； C、是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母；不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 一次函数，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对应一次函数，当时， y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数，函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴， 故选：C． 3. 在中，对边是，哪个条件不能判断是直角三角形（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴，故是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴，故不是直角三角形，符合题意； D、，故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 4. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是（ ） A. 15 B. 9 C. 10 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的几何意义：，，解得即可．本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：∵正方形A、C、D的面积依次为5、6、20， ∴ ∴ 故选：B． 5. 如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，只需要证明是等边三角形求出 即可得到答案， 证明是等边三角形是解题的关键． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长， 故选：． 6. 七年级（1）班有46名学生，数学老师组织课堂十分钟答题比赛，学生答对的数量统计如下： 答对个数（个） 6 7 8 9 10 12 13 15 学生人数（人） 2 7 9 6 13 3 2 4 为提高学生的积极性，数学老师准备实行“奖励大多数”的措施，决定用答题正确个数的众数来作为奖励标准，则奖励数量为（　　） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的种众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，据此求解即可． 【详解】解：∵答对10个人数有13人，人数最多， ∴众数为10个，即奖励数量为10个， 故选：D． 7. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，根据两点之间的距离求点表示的数，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及通过距离表示点的坐标． 根据矩形的性质和勾股定理得出，根据两个点之间线段的长度求出点的坐标即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， 由勾股定理得， ， ∵点表示的数为， 点表示的数为， 故选：C． 8. 我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式的运算法则进行计算，再判断即可． 【详解】解：， 即是型无理数， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则，正确理解型无理数是解此题的关键． 9. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. 3.4m B. 5m C. 4m D. 5.5m 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ， 设的长为，则 ∴ 在直角中， 又∵ 解得： 故选：A． 10. 若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案． 由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴左侧y随x的增大而增大，由此得出答案． 【详解】解： ，， ∴点C与点B关于y轴对称； 由于A、C的图象关于原点对称，因此选项A、C错误； ， 由，可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 对于二次函数只有时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 选项不正确， 故选：B． 11. 下面三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x； ③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x 其中，变量y与x之间的函数关系大致符合下图的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据y值随x的变化情况，逐一判断． 【详解】解：①当货车开始进入隧道时y逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时y不变且最大，当货车开始离开隧道时y逐渐变小．故①正确； ②王大爷距离家先y逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时y不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回家，即y逐渐变小，故②正确； ③往空杯中匀速倒水，倒满后停止，水的体积逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水量先保持不变，然后逐渐减少，杯中水的体积y与所用时间x，变量y与x之间的函数关系符合图象，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息． 12. 如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②在P点运动过程中，可能为；③若E是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由“”可证，可得，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由三角形的外角可得不可能为135°，故②错误；由，可得，当时，有最小值为，即有最小值为，故③正确；由等腰三角形的性质可得的值为或，故④正确，即可求解． 【详解】解：连接，过点P作交于H，如图所示： ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点C，点F三点共线， ∴在P点运动过程中，F点始终在射线上，故①正确； 假设， ∵ ∴， 则点P与点C重合， 此时不存在，故②错误； 取的中点N，连接，如图所示： ∵点N是的中点，点E是中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点P是线段上一点， ∴当时，有最小值， ∵， ∴此时， ∴有最小值为，故③正确； ∵， ∴， 当点P是中点时，，则是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， 此时， ∴为等腰三角形时，的值为或；故④正确； 综上分析可知，①③④正确， 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共计24分） 13. 若二次根式有意义，则x的值可以是_________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴x的值可以是（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 14. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”，为庆祝这个专属于数学的节日，某校开展主题为“浸润数学文化”的演讲比赛，七位评委为某同学打出的分数如下：9.9，9.4，9.6，9.5，9.3，9.7，9.2（单位：分）；若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的统计量是___________．（填“平均数”、“中位数”、“众数”或“方差”中的一项） 【答案】中位数 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义．根据中位数的定义即可得． 【详解】解：原来个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的个数中间位置的那个数是相同的，因此中位数不变， 故答案为：中位数． 15. 如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若大正方形的面积是25，直角三角形的长直角边是4，则小正方形（即图中阴影部分）的面积是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由题意可得：大正方形的边长为， ∵直角三角形的长直角边为4， ∴直角三角形的短直角边为， ∴小正方形的边长为， 小正方形的面积为， 故答案为：1． 16. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点、分别是，的中点，若，，则的长度是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形，三角形中位线，勾股定理的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理的运用；根据题意，求出，再根据点，分别是，的中点，则，即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴． 故答案为：． 17. 若，则代数式的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，； ②当时，有最小值； ③将该函数图象向右平移个或个单位长度后得到的函数图象经过原点； ④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个. 其中正确的结论有______.（写序号即可） 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，平移的性质，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键． 通过观察可判断①②③，通过点得到所在的直线表达式，作出图象后，可判断． 【详解】解：①、当时，或，故①错误； ②、由图象可知，当时，有最小值，故②正确； ③、将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，故③正确； ④、令，， ∴， ∴点在直线的函数图象上，如图所示： 由图象可得，它们有三个交点，故④错误； ∴正确的有②③， 故答案为：②③． 三、解答题（共计78分） 19. （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减运算，二次根式的乘法和除法运算，分母有理化，即可． （1）根据二次根式的加减运算，即可； （2）先对二次根式分母有理化，然后根据二次根式的乘除运算，即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. 为了提高农民收入，村干部带领村民自愿投资办起了一个养鸡场，办场时买来的3000只小鸡，经过一段时间的精心饲养，可以出售了．下表是从中抽取的100只鸡出售时质量的统计数据． 质量 1.0 1.2 1.5 1.8 2.0 频数 11 23 32 24 10 （1）写出抽取的这100只鸡出售时质量的众数与中位数，并求这出售的100只鸡的平均质量是多少？（结果保留小数点后一位） （2）根据市场价格，利润是4元，请你估计这3000只鸡全部出售，可以获得的利润是多少元？ （3）本题（2）中用到的统计思想是什么？ 【答案】（1）；；； （2）18000元 （3）用样本估计总体 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，平均数，中位数和众数： （1）根据众数和中位数以及加权平均数的定义求解即可； （2）根据市场价格，利润是4元，再利用每千克利润只数每只的平均质量即可． （3）本题（2）中用到的统计思想是用样本去估计总体． 【小问1详解】 解：∵质量为的频数最多， ∴众数为； ∵共有100个数， ∴从小到大排列后第50名和第51名分别为， ∴中位数为； ， ∴出售的100只鸡的平均质量是； 【小问2详解】 解：（元）， 答：这3000只鸡全部出售，可以获得的利润是18000元； 【小问3详解】 解：本题（2）中用到的统计思想是用样本估计总体； 21. 如图，四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）由题意得，，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，且，根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∴四边形的面积为5． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．熟练掌握三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理是解题的关键． 22. 已知宿舍、街心公园、图书馆依次在同一条直线上，街心公园离宿舍，图书馆离宿舍，李华从宿舍出发，匀速骑行到达街心公园；在街心公园停留后，匀速骑行到达图书馆；在图书馆停留了一段时间，然后匀速骑行回到宿舍．给出的图象反映了这个过程中李华离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 李华离开宿舍的时间 李华离宿舍的距离 （2）填空： ①街心公园到图书馆的距离为______； ②李华从街心公园到图书馆的骑行速度为______； （3）在李华离开图书馆之前，同宿舍的张明也从图书馆直接回宿舍，张明比李华早走了，如果张明匀速跑回宿舍的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到李华时离宿舍的距离是多少？ 【答案】（1）表格见详解 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是正确理解题意． （1）直接根据函数图象即可得出答案． （2）①直接根据函数图象即可得出答案；②根据速度、路程、时间的关系求解即可． （3）设张明出发后遇到李华，根据相遇时两人走的路程相等，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可得当时，李华停留在街心公园，则， 当时，李华停留在图书馆，则， 故表格如下： 李华离开宿舍的时间 李华离宿舍的距离 【小问2详解】解：①由图像可得李华从宿舍骑行到达街心公园时， 即当，所对应的值为， 由图像可得李华从宿舍骑行到达图书馆时， 即当，所对应的值为， ∴街心公园到图书馆的距离为． ②由图像可得，当时，， 当时，， ∴李华从街心公园到图书馆的骑行速度为， 故答案为：，． 【小问3详解】 解：李华从图书馆到宿舍的速度为， 设张明出发后遇到李华， 则， 解得， ∴相遇时离宿舍的距离为． 23. 如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． （1）求证:四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为 ． 【答案】（1）证明： ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识； 熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键. （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出即可得出结论； （2）由矩形的性质得出由菱形的性质得出，的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为： ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点，直线交轴正半轴于点，，点是直线上的动点． （1）求直线的解析式． （2）如果三角形的面积等于三角形面积的三分之一，求点的坐标． （3）已知点在线段上，连结、、．若，求线段的长． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入直线得，设直线解析式为，代入得，即可求出直线解析式． （2）设，当在延长线上时，，在计算即可，当在线段上时，，再计算，即可点的坐标． （3）当时，得为中位线，故，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：设， 当在延长线上时， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 当在线段上时， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点的坐标为或． 【小问3详解】 当时，如图： ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴为中位线， ∴． 答：的长为． 【点睛】本题考查了一次函数的综合知识，待定系数法求一次函数解析式，三角形中位线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 25. （1）尝试探究： 如图1，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于． ①求证：； ②过点作的平分线交于，连结，请探究与的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于，连结交于，连结并延长交于，已知，求的长． 【答案】（1）①见解析；②PE=PF，证明见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）①先判断出∠CBF=90°，再证明∠DCE=∠BCF即可解决问题． ②证明△PCE≌△PCF（SAS）即可解决问题． （2）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．证明△EMH≌△FMB（AAS），由EM=FM，CE=CF，推出PC垂直平分线段EF，推出PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6-x，理由勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）①如图1中，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°， ∴∠CBF=180°-∠ABC=90°， ∵CF⊥CE， ∴∠ECF=90°， ∴∠DCB=∠ECF=90° ∴∠DCE=∠BCF， ∴△CDE≌△CBF（ASA）． ②结论：PE=PF． 理由：如图1中，∵△CDE≌△CBF， ∴CE=CF， ∵PC=PC，∠PCE=∠PCF， ∴△PCE≌△PCF（SAS）， ∴PE=PF． （2）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=6，∠A=90°，∠EDH=45°， ∵EH⊥AD， ∴∠DEH=∠A=90°， ∴EH∥AF，DE=EH=2， ∵△CDE≌△CBF， ∴DE=BF=2， ∴EH=BF， ∵∠EHM=∠MBF，∠EMH=∠FMB， ∴△EMH≌△FMB（AAS）， ∵EM=FM， ∵CE=CF， ∴PC垂直平分线段EF， ∴PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6-x， 在Rt△APE中，则有（x+2）2=42+（6-x）2， ∴x=3， ∴PB=3． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 一、选择题（每题4分，共计48分） 1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 一次函数，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，对边是，哪个条件不能判断是直角三角形（ ） A. B. C. D. 4. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是（ ） A. 15 B. 9 C. 10 D. 21 5. 如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 七年级（1）班有46名学生，数学老师组织课堂十分钟答题比赛，学生答对的数量统计如下： 答对个数（个） 6 7 8 9 10 12 13 15 学生人数（人） 2 7 9 6 13 3 2 4 为提高学生的积极性，数学老师准备实行“奖励大多数”的措施，决定用答题正确个数的众数来作为奖励标准，则奖励数量为（　　） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 7. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 9. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. 3.4m B. 5m C. 4m D. 5.5m 10. 若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（ ） A. B. C. D. 11. 下面三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x； ③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x 其中，变量y与x之间的函数关系大致符合下图的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 12. 如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②在P点运动过程中，可能为；③若E是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②④ 二、填空题（每题4分，共计24分） 13. 若二次根式有意义，则x的值可以是_________．（写出一个即可） 14. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”，为庆祝这个专属于数学的节日，某校开展主题为“浸润数学文化”的演讲比赛，七位评委为某同学打出的分数如下：9.9，9.4，9.6，9.5，9.3，9.7，9.2（单位：分）；若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的统计量是___________．（填“平均数”、“中位数”、“众数”或“方差”中的一项） 15. 如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若大正方形的面积是25，直角三角形的长直角边是4，则小正方形（即图中阴影部分）的面积是______． 16. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点、分别是，的中点，若，，则的长度是______. 17. 若，则代数式的值为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，； ②当时，有最小值； ③将该函数图象向右平移个或个单位长度后得到的函数图象经过原点； ④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个. 其中正确的结论有______.（写序号即可） 三、解答题（共计78分） 19. （1）； （2）． 20. 为了提高农民收入，村干部带领村民自愿投资办起了一个养鸡场，办场时买来的3000只小鸡，经过一段时间的精心饲养，可以出售了．下表是从中抽取的100只鸡出售时质量的统计数据． 质量 1.0 1.2 1.5 1.8 2.0 频数 11 23 32 24 10 （1）写出抽取的这100只鸡出售时质量的众数与中位数，并求这出售的100只鸡的平均质量是多少？（结果保留小数点后一位） （2）根据市场价格，利润是4元，请你估计这3000只鸡全部出售，可以获得的利润是多少元？ （3）本题（2）中用到的统计思想是什么？ 21. 如图，四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 22. 已知宿舍、街心公园、图书馆依次在同一条直线上，街心公园离宿舍，图书馆离宿舍，李华从宿舍出发，匀速骑行到达街心公园；在街心公园停留后，匀速骑行到达图书馆；在图书馆停留了一段时间，然后匀速骑行回到宿舍．给出的图象反映了这个过程中李华离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 李华离开宿舍的时间 李华离宿舍的距离 （2）填空： ①街心公园到图书馆的距离为______； ②李华从街心公园到图书馆的骑行速度为______； （3）在李华离开图书馆之前，同宿舍的张明也从图书馆直接回宿舍，张明比李华早走了，如果张明匀速跑回宿舍的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到李华时离宿舍的距离是多少？ 23. 如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． （1）求证:四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点，直线交轴正半轴于点，，点是直线上的动点． （1）求直线的解析式． （2）如果三角形的面积等于三角形面积的三分之一，求点的坐标． （3）已知点在线段上，连结、、．若，求线段的长． 25. （1）尝试探究： 如图1，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于． ①求证：； ②过点作的平分线交于，连结，请探究与的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于，连结交于，连结并延长交于，已知，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $