精品解析：四川省凉山州2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题

凉山州2023——2024学年度下期期末检测试卷 高一数学 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 第I卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 若复数是实数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数分类可得其虚部为0，可得. 【详解】根据题意可得其虚部为，解得. 故选：C 2. 一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点A测得电线杆顶端的仰角为45°，此人往电线杆方向走了10米到达点，测得电线杆顶端的仰角为60°，则电线杆的高度约为（ ）米（，忽略人的身高） A. 22.66 B. 23.66 C. 24.66 D. 25.66 【答案】B 【解析】 【分析】利用表示出，由，即可求得长． 【详解】设， 在中，，所以， 在中，，所以， 因为，所以，即米 故选：B． 3. 某中学高中一年级有800人，高中二年级有640人，高中三年级有560人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为400的样本，则高中二年级被抽取的人数为（ ） A. 64 B. 96 C. 112 D. 128 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义结合题意求解即可. 【详解】由题意得高中二年级被抽取的人数为人. 故选：D 4. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理，求解. 【详解】根据余弦定理，， 得，解得或（舍）. 故选：B 5. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由斜二测画法的规则得到平面图形，即可得到原图形的面积. 【详解】依题意不妨令直观图如下所示： 则还原直观图为原图形，如图所示， 因为，所以， 还原回原图形后，，， 所以原图形面积为. 故选：B 6. 在中，边上的中线为，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理，由向量的加减法则可得结果. 详解】如图所示： 由可得， 所以, 即 故选：C 7. 若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台底面半径和侧面积可得母线长度，求得圆台的高即可得其体积. 【详解】设圆台母线长为，其高为， 易知，解得， 又因为，解得； 因此该圆台的体积为. 故选：C 8. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由五个数组成，其中甲组数据的平均数为1，方差为3，乙组数据的平均数为3，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用分层抽样中数据方差的计算公式求解即可. 【详解】因为甲组5个数据的平均数为1，方差为3，乙组5个数据的平均数为3，方差为1， 所以两组数据混合后，新数据的平均数为 ， 所以新数据的方差为 . 故选：D 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的虚部为4 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令，代入化简可求出，然后逐个分析判断即可. 【详解】令，则由，得 ， 所以，解得， 所以， 对于A，的虚部为4，所以A正确， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误 故选：AC 10. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若，是相反向量，则 B. 若，是共线的单位向量，则 C. 若，则向量，共线 D. 若，则点，，，必在同一条直线上 【答案】AC 【解析】 【分析】利用相反向量、共线向量的概念分析判断各选项得解. 【详解】对于A，若，是相反向量，则，A正确； 对于B，，是共线的单位向量，则或，B错误； 对于C，，即，则向量，共线，C正确 对于D，，点，，，可以不在同一直线上，D错误. 故选：AC 11. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）平均数=中位数=众数 B. 图（2）的众数<中位数<平均数 C. 图（2）的众数<平均数<中位数 D. 图（3）的平均数<中位数<众数 【答案】ABD 【解析】 【分析】据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ABD. 12. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点，，，在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，则（ ） A. 该八面体的表面积是 B. 该八面体的体积是 C. 直线与平面所成角为 D. 动点在该八面体的外接球面上，且，则点的轨迹的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据题意可知该八面体的表面积是一个正三角形面积的8倍，对于B，连接交于，连接，则是正四棱锥的高，求出，从而可求出正四棱锥的体积，进而可求出该八面体的体积，对于C，由题意可知为直线与平面所成角，然后在中求解即可，对于D，由选项B可知该八面体的外接球的球心为，取的中点，连接，可证得平面，从而可求得点的轨迹. 【详解】对于A，根据题意可知该八面体的表面积是一个正三角形面积的8倍， 因为四边形是边长为2的正方形，所以每一个正三角形的边长都为2， 所以该八面体的表面积是，所以A错误， 对于B，连接交于，连接，则平面， 因为四边形是边长为2的正方形，所以， 因为，所以， 所以该八面体的体积是，所以B正确， 对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角， 因为，为锐角，所以， 即直线与平面所成角为，所以C正确， 对于D，连接，则, 因为，所以点为该八面体的外接球的球心， 取的中点，连接， 因为都为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为，所以点平面内， 因为平面过球心， 所以平面与该八面体的外接球的交线为该球的大圆，即点的轨迹为此大圆， 所以点的轨迹的周长为，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项D解题的关键是根据题意和几何体的和特征找出外接球的球心，由此即可顺利得解. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简已知，然后根据复数相等得出实数的值． 【详解】根据题意，， 即，所以，且， 所以. 故答案为： 14. 样本数据5，9，6，7，11，8，10，5的40%分位数为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据百分位数定义计算即可. 【详解】根据已知数据，从小到大排列， 因为，40%分位数为第4个数7. 故答案为：7. 15. 在正方体中，点，分别是，上的点，，，，则点到直线的距离为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】如图，利用勾股定理求出，结合勾股定理的逆定理计算可得，即可求解. 【详解】如图，连接，则， 所以， 在中，， 所以， 即到直线的距离为，长度为6. 故答案为：6 16. 已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由投影向量定义得，即，得出向量夹角表达式，再由基本不等式得出最小值. 【详解】由已知可得，所以. 而， 易知 令，则 当且仅当， 即时，等号成立，即最小值为， 故答案为： 四、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 为提高中小学生对交通安全的认识，某市的全体中小学生参加了“小手拉大手”交通文明知识答题比赛，从所有答卷中随机抽取1000份成绩作为样本，将样本数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图. （1）请通过频率分布直方图估计这1000份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前40%的学生，某学生知识竞赛的成绩是75，请估计该学生能否得到表彰？ 【答案】（1） （2）该学生可以得到表彰 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的平均数公式计算可得； （2）依题意求出竞赛成绩的第60百分位数可得结论. 【小问1详解】 由题意知这1000份样本数据的平均值为 . 则这1000份样本数据的平均值为. 【小问2详解】 由题意得表彰的最低分为第60百分位数， 设第60百分位数为， 则 解得， 而，所以该同学能得到表彰. 18. 已知在平面直角坐标系中，点，，. （1）若，求的值； （2）记在方向上的投影向量为，求的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算可得，结合垂直关系的向量表示建立方程，解之即可求解； （2）由（1），根据平面向量数量积的坐标表示可得，结合投影向量的概念计算即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， 因为， 所以， 即，解得； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 则 19. 如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，易证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得结论； （2）作出异面直线与所成角的平面角，再由余弦定理可得结论. 【小问1详解】 取的中点为，连接，如下图所示： 在中，为的中点，的中点为，则，且； 由已知，可得且， 所以四边形为平行四边形，可得， 易知平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取的中点为，连接， 所以，且，可得四边形为平行四边形， 即，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角， 由可得，由勾股定理可得， 所以； 即可得异面直线与所成的角的余弦值为. 20. 已知的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简已知，再利用正弦定理统一成角的形式化简可得，从而可得，进而可求出角； （2）由，即，可求得，再根据三角形面积公式求解. 【小问1详解】 根据题意，， 可得， 由正弦定理可得， 化简为，即， ，，则，因为，故； 【小问2详解】 由，即， 即，可得或（舍）， 所以. 21. 某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. （1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； （2）按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 【答案】（1）模型①，模型② （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知中的数据，求出参数的值，可得两个函数解析式； （2）根据（1）中函数模型，求出价格的估算值，与成本比较后可得答案． 【小问1详解】 由表中数据可知，收购价格月份变化上下波动，应选模型①， 由表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②， 对于模型①，由点及，可得函数周期满足， 即，所以， 又函数最大值为，最小值为，解得，， 所以，又，所以， 又，所以， 所以模型①； 对于模型②，图象过点，， 所以， 解得：，所以模型②； 【小问2详解】 由（1）设，， 若时则盈利，若则亏损； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 这说明第5，6，7月份可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损． 22. 如图，四棱锥的底面是边长为3的菱形，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连结，先证明平面，进而证明平面平面； （2）过点作交于点，即可证明平面，过点作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 设，连接，因为底面为菱形， 所以为的中点，， 又，所以， 平面，， 所以平面.又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在中， 因为，所以， 因为所以， 在中，， 又平面，平面，所以， 所以， 所以二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 凉山州2023——2024学年度下期期末检测试卷 高一数学 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 第I卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 若复数是实数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点A测得电线杆顶端的仰角为45°，此人往电线杆方向走了10米到达点，测得电线杆顶端的仰角为60°，则电线杆的高度约为（ ）米（，忽略人的身高） A. 22.66 B. 23.66 C. 24.66 D. 25.66 3. 某中学高中一年级有800人，高中二年级有640人，高中三年级有560人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为400的样本，则高中二年级被抽取的人数为（ ） A. 64 B. 96 C. 112 D. 128 4. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或2 5. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 在中，边上的中线为，点满足，则（ ） A B. C. D. 7. 若一个圆台两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由五个数组成，其中甲组数据的平均数为1，方差为3，乙组数据的平均数为3，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的虚部为4 B. C. D. 10. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若，是相反向量，则 B. 若，是共线的单位向量，则 C. 若，则向量，共线 D. 若，则点，，，必同一条直线上 11. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数=中位数=众数 B. 图（2）的众数<中位数<平均数 C. 图（2）的众数<平均数<中位数 D. 图（3）的平均数<中位数<众数 12. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点，，，在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，则（ ） A. 该八面体的表面积是 B. 该八面体的体积是 C. 直线与平面所成角为 D. 动点在该八面体的外接球面上，且，则点的轨迹的周长为 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若，则__________. 14. 样本数据5，9，6，7，11，8，10，5的40%分位数为__________. 15. 在正方体中，点，分别是，上的点，，，，则点到直线的距离为__________. 16. 已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是__________. 四、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 为提高中小学生对交通安全的认识，某市的全体中小学生参加了“小手拉大手”交通文明知识答题比赛，从所有答卷中随机抽取1000份成绩作为样本，将样本数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图. （1）请通过频率分布直方图估计这1000份样本数据平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前40%的学生，某学生知识竞赛的成绩是75，请估计该学生能否得到表彰？ 18. 已知在平面直角坐标系中，点，，. （1）若，求的值； （2）记在方向上的投影向量为，求的坐标. 19. 如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 20. 已知的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若，，，求的面积. 21. 某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. （1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； （2）按照你选定函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 22. 如图，四棱锥的底面是边长为3的菱形，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$