第14讲 勾股定理的简单应用 （1个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练(苏科版）

第14讲 勾股定理的简单应用 （1个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【例1】（2023秋•灌云县期中）如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升到，则橡皮筋被拉长了 　　． 【变式1】（2021秋•洪泽区校级期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行　　米． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】（2024春•启东市期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔的长度可能是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2020秋•相城区期中）如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成角，那么这棵树折断之前的高度是　　米． 【变式4】（2023秋•仪征市期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？ 【变式5】（2020春•淮安区校级期末）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 经典题型汇编 题型一、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙角4m，若梯子的顶端下滑1m，则梯子的底端将滑动（    ） A．0m B．1m C． D． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思是：如图，墙高1丈（1丈10尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．当木棒下端沿地面从C处向右滑1尺到D处时，木棒上端恰好沿墙壁从A处下滑到B处，则木棒长 尺．    3．（23-24八年级上·江苏常州·期末）防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？ 题型二、求旗杆高度(勾股定理的应用) 4．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）我同古代有这样一道数学问题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长尺），牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时绳索用尽，则木柱长为 尺． 5．（19-20八年级上·江苏常州·期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 6．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）为节约用电，某住宅楼将单元门厅照明灯更换为人体感应灯，当人体进入感应灯感应范围内（即人体头顶与感应灯的距离小于或等于感应距离）时，感应灯亮．如图，当身高的成年人与感应灯A的水平距离为时，感应灯刚好亮；当身高的小朋友与感应灯A的水平距离为时，感应灯A也刚好亮，求感应灯A到地面的距离的长．    题型三、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 7．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（    ） A．10米 B．15米 C．16米 D．20米 8．（21-22八年级上·江苏泰州·期中）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米. 9．（2022八年级上·全国·专题练习）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米． 题型四、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 10．（23-24八年级上·江苏·周测）如图，一旗杆被大风刮断，旗杆顶端着地点B距旗杆底部C为，折断点A离旗杆底部C的高度，则旗杆原来的高度为 ． 11．（19-20八年级上·江苏徐州·期末）如图，一棵大树在离地面3，5两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 12．（20-21八年级上·江苏苏州·期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?          题型五、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 13．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度是 ． 14．（2023八年级上·江苏·专题练习）将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为．则h的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 15．（21-22八年级上·江苏盐城·期末）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度． 试题练习 一、单选题 1．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）米． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示的一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（    ）    A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 4．（八年级·全国·单元测试）张大爷离家出门散步，他先向正东走了30 m，接着又向正南走了40 m，此时他离家的距离为(　　) A．30 m B．40 m C．50 m D．70 m 5．（2024·江苏苏州·一模）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（   ） A．10尺 B．5尺 C．10尺或2尺 D．5尺或4尺 6．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（　　） A．10m B．15m C．26m D．30m 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解． 【详解】】解：如图所示： ∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m， 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的长度． 7．（八年级上·全国·课后作业）如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（          ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 8．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面，那么小巷的宽度为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，有一长方体容器， ，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点 A爬到点的最短爬行路程是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 10．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是( ) A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米． 12．（19-20八年级上·江苏无锡·期中）如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是 ． 13．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 14．（2022八年级上·江苏·竞赛）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向航行，乙船沿北偏东方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船相距 海里 15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈（1丈10尺），从A处折断，折断后竹子顶端B点落在离竹子底端O点3尺处，那么折断处离地面的高度是 尺．      16．（2024·江苏无锡·一模）我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板便与高5尺的人齐（注：古时1步尺），则这个秋千的绳索长为 尺． 17．（19-20八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图, 美丽的校园里有两棵树, 小鸟从C处飞到A处, 小鸟至少飞行 m. 18．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，一个长为5米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的长为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米到点处，那么梯子底端将外移到，则线段的长为 米． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）甲、乙两人从同一地点沿不同方向同时出发，甲向北走，乙向东走．已知甲的速度为米/秒，乙的速度为1米/秒，则2分钟后，甲、乙两人相距多远？ 20．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边．求水深和芦苇长各是多少尺？ 21．（2023八年级上·江苏·专题练习）“某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？    22．一根电线杆在一次台风中从离地面3米处折断倒下，杆顶端落在离该电线杆底端4米处，请问电线杆在折断之前有多高？ 23．（21-22八年级上·江苏淮安·期中）如图，小明和小方分别在C处同时出发，小明以每小时2千米的速度向南走，小方以每小时1.5千米的速度向西走，2小时后，小明在A处，小方在B处，请求出AB的距离． 24．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 25．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读并解答问题： 明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题： 原文：平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索有几？ 译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注古代5尺为1步） 建立数学模型，解决问题： 如图，秋千绳索静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点C，于点D，于点E，，求秋千绳索（或）的长度． 26．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 勾股定理的简单应用 （1个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【例1】（2023秋•灌云县期中）如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升到，则橡皮筋被拉长了 　2　． 【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离． 【解答】解：中，，； 根据勾股定理，得：； ； 故橡皮筋被拉长了． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用． 【变式1】（2021秋•洪泽区校级期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行　　米． A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解答】解：两棵树的高度差为（米，间距为8米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米． 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【变式2】（2024春•启东市期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔的长度可能是　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长 【解答】解：根据题意可得图形：，， 在中：， 则这支铅笔的长度大于． 故选：． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键． 【变式3】（2020秋•相城区期中）如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成角，那么这棵树折断之前的高度是　6　米． 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了短直角边和一锐角为30度，运用直角三角形30度角的性质，从而得出这棵树折断之前的高度． 【解答】解：一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成角， 如图，可知：，米，， 米， 折断前高度为（米． 故答案为6． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 【变式4】（2023秋•仪征市期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？ 【分析】设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 设绳索的长度为，则， ， 解得：， 答：绳索的长度是． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【变式5】（2020春•淮安区校级期末）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【解答】解：在中： ，米，米， （米， 此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置， （米， （米， （米， 答：船向岸边移动了米． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 经典题型汇编 题型一、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙角4m，若梯子的顶端下滑1m，则梯子的底端将滑动（    ） A．0m B．1m C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．由题意画出图形，由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意画出图形如下： 在中，，， ， 在中，，， ， ， 即梯子的底端将滑动， 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思是：如图，墙高1丈（1丈10尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．当木棒下端沿地面从C处向右滑1尺到D处时，木棒上端恰好沿墙壁从A处下滑到B处，则木棒长 尺．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意解题即可． 【详解】解：设木杆的长为尺， 则木杆低端C离墙的距离尺， 在中， ∵ ∴， 解得： 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏常州·期末）防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？ 【答案】26米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．作地面于点，于点，在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作地面于点，于点， 由题意得：米，米，米． 米， （米． 在中，由勾股定理得， （米． 答：云梯需要伸长26米才能到达着火处． 题型二、求旗杆高度(勾股定理的应用) 4．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）我同古代有这样一道数学问题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长尺），牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时绳索用尽，则木柱长为 尺． 【答案】 【分析】设木柱长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：如图所示， 设木柱长为尺，根据题意得：    ∵ 则 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 5．（19-20八年级上·江苏常州·期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 【答案】B 【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x． 【详解】设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m， 根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22， 如图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52， ∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11， 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题． 6．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）为节约用电，某住宅楼将单元门厅照明灯更换为人体感应灯，当人体进入感应灯感应范围内（即人体头顶与感应灯的距离小于或等于感应距离）时，感应灯亮．如图，当身高的成年人与感应灯A的水平距离为时，感应灯刚好亮；当身高的小朋友与感应灯A的水平距离为时，感应灯A也刚好亮，求感应灯A到地面的距离的长．    【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、掌握勾股定理是解题的关键．过点C作交于点M、N，则，设，则，在和中通过勾股定理列方程求解即可． 【详解】过点C作交于点M、N，    则， 设，则， 由题意得， 在和中：，， ∴， 解得， ∴． 题型三、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 7．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（    ） A．10米 B．15米 C．16米 D．20米 【答案】B 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图建立数学模型，则，，则， 两棵树的高度差， 间距， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离， 即． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解是解题的关键． 8．（21-22八年级上·江苏泰州·期中）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米. 【答案】 【分析】由题意知AD＋DB＝BC＋CA，设BD＝x，则AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝(5＋x)米即可． 【详解】解：由题意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米， 设BD＝x，则AD＝15－x， ∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2， 即， 解得x＝2.5米，故树高为CD＝5＋x＝7.5（米）， 答：树高为7.5米． 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量关系，并根据勾股定理列方程求解是解题的关键． 9．（2022八年级上·全国·专题练习）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米． 【答案】小鸟至少飞行10m． 【分析】先画出几何图形，然后求出直角边，用勾股定理计算求解 【详解】解：如图，设大树高为AB＝12m， 小树高为CD＝6m， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC， ∴ EB＝CD＝6m，EC＝BD＝8m， ∴AE＝AB－EB＝12－6＝6（m）， 在Rt△AEC中， AC＝＝＝10（m）， 故小鸟至少飞行10m． 【点睛】本题考查勾股定理，由实际问题画出对应的几何图形是解题关键． 题型四、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 10．（23-24八年级上·江苏·周测）如图，一旗杆被大风刮断，旗杆顶端着地点B距旗杆底部C为，折断点A离旗杆底部C的高度，则旗杆原来的高度为 ． 【答案】9 【分析】根据勾股定理求出的长，计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 则旗杆原来的高度为：， 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 11．（19-20八年级上·江苏徐州·期末）如图，一棵大树在离地面3，5两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作BD⊥OC于点D，首先由题意得：AO=BD=3m，AB=OD=2m，然后根据OC=6米，得到DC=4 m，最后利用勾股定理得BC的长度即可． 【详解】解：如图，作BD⊥OC于点D， 由题意得：AO=BD=3m，AB=OD=5-3=2m， ∵OC=6m， ∴DC=6-2=4m， ∴由勾股定理得：BC==5m， ∴旗杆的高度为5+5=10m， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形是解答本题的关键． 12．（20-21八年级上·江苏苏州·期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?          【答案】竹子折断处离地面尺 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺， 根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2， 解得： 答：竹子折断处离地面尺． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 题型五、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 13．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，求出牙刷在水杯内的长度是解题关键．利用勾股定理，得出牙刷在水杯内的长度为，再根据牙刷长度牙刷在水杯内的长度牙刷露在杯子外面的长度，即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，牙刷在水杯内的长度为， 牙刷的长为， ， 即牙刷露在杯子外面的长度是， 故答案为：5． 14．（2023八年级上·江苏·专题练习）将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为．则h的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出几的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，    ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，    在中，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意准确构造直角三角形是解题的关键． 15．（21-22八年级上·江苏盐城·期末）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度． 【答案】26cm 【分析】设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm， ∵杯子的直径为20cm， ∴杯子半径为10cm， ∴x2+102＝（x+2）2， 即x2+100＝x2+4x+4， 解得：x＝24， 24+2＝26（cm）． 答：小木棍长26cm． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形以及各边的长． 试题练习 一、单选题 1．（19-20八年级上·浙江湖州·期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树的高度差为，间距为， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，利用勾股定理进行求解即可．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：底面周长为，半圆弧长为， 画展开图形如下： 由题意得：， 根据勾股定理得：． 故选D． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示的一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（    ）    A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算米，根据题意，台阶的高的和为，宽的和为，求和计算即可． 【详解】∵高是3米，斜边长是5米， ∴米， 根据题意，台阶的高的和为，宽的和为， 米， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 4．（18-19八年级下·全国·单元测试）张大爷离家出门散步，他先向正东走了30 m，接着又向正南走了40 m，此时他离家的距离为(　　) A．30 m B．40 m C．50 m D．70 m 【答案】C 【分析】画出示意图，然后根据勾股定理直接求得斜边，即为他离家的距离． 【详解】如图，由题意可得，∠ABC=90°， 所以他离家的距离AB==50m， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出示意图，并熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键. 5．（2024·江苏苏州·一模）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（   ） A．10尺 B．5尺 C．10尺或2尺 D．5尺或4尺 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的运用．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门对角线长． 【详解】解：设竹竿x尺，则图中． ∴，， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， 所以， 整理，得， 因式分解，得， 解得， ∵， ∴． 答：竹竿为10尺． 故选：A 6．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（　　） A．10m B．15m C．26m D．30m 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解． 【详解】】解：如图所示： ∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m， 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的长度． 7．（13-14八年级上·全国·课后作业）如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（          ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】C 【分析】这种求最短的一般都是空间想象，把圆柱体展开成平面的矩形.这个矩形长为底面周长,宽为圆柱体的高.两点之间直线最短.所以展开后画图连接AB，然后根据勾股定理，即可得解. 【详解】 底面圆周长为cm，底面半圆弧长为6cm， 展开图如图所示，连接AB， ∵BC=8cm，AC=6cm， ∴ 故选C． 【点睛】此题主要考查勾股定理的运用，解题关键是把空间图展开. 8．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面，那么小巷的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理分别求出梯子的长度和梯子底端到右墙角的距离，进而得出结果； 【详解】解：根据勾股定理： 梯子的长度为： 梯子底端到右墙角的距离为： ∴小巷的宽度为： 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是解题的关键． 9．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，有一长方体容器， ，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点 A爬到点的最短爬行路程是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，画出展开图找到最短路径是解题的关键． 画出展开图，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在长方体容器，，，， ，，， ①当从正面和右侧面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图， 在中 ， ②当从前面和上面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图 在中 ， ③如图，当从上面和右侧面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，， 在中 ， ， 从点 A爬到点的最短爬行路程是10， 故选：C 10．（12-13八年级下·陕西·期中）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是( ) A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】A 【分析】由题意可知消防车的云梯长、地面和建筑物的高度构成了一个直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出建筑物的高度． 【详解】如图所示， 建筑物的高度为：=12米， 故选：A． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米． 【答案】2 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出． 【详解】解：如图所示，杯子内的筷子长，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形， ∴圆柱形水杯内的筷子的最大线段的长度为， ∴筷子露在杯子外面的长度至少为， 故答案为：2． 12．（19-20八年级上·江苏无锡·期中）如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是 ． 【答案】17m 【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC，根据勾股定理即可求得AC的值，根据题意求地毯长度即求得AC+BC即可． 【详解】将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形ABC的两直角边之和，即AC+BC， 在直角△ABC中，AB=13m，BC=5m，且AB为斜边， 根据勾股定理可得AC==12m， 故地毯长度为AC+BC=12+5=17m， 故答案为：17m． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求AC+BC. 13．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 14．（2022八年级上·江苏·竞赛）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向航行，乙船沿北偏东方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船相距 海里 【答案】20 【分析】根据已知的北偏西和北偏东，可求得，再由勾股定理求得甲、乙两船的距离． 【详解】解：∵甲船沿北偏西方向航行，乙船沿北偏东方向航行， ∴， ∵甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：20． 【点睛】本题考查方位角以及勾股定理的运用，解题关键是能正确找出方位角并熟练应用勾股定理． 15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈（1丈10尺），从A处折断，折断后竹子顶端B点落在离竹子底端O点3尺处，那么折断处离地面的高度是 尺．      【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为尺，利用勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为尺， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即折断处离地面的高度是尺， 故答案为：． 16．（2024·江苏无锡·一模）我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板便与高5尺的人齐（注：古时1步尺），则这个秋千的绳索长为 尺． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设这个秋千的绳索，则，根据勾股定理得到，求出的值即可． 【详解】解：设这个秋千的绳索，    则， ， ， ∵，， ， ， ∴这个秋千的绳索有尺． 故答案为：． 17．（19-20八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图, 美丽的校园里有两棵树, 小鸟从C处飞到A处, 小鸟至少飞行 m. 【答案】13. 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC， ∴EB=CD=15m，EC=BD=12m，AE=AB−EB=20−15=5m， 在Rt△AEC中, . 故小鸟至少飞行13m. 故填13. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，能构造合适的直角三角形并利用已知线段计算它的两条直角边是解决本题的关键. 18．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，一个长为5米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的长为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米到点处，那么梯子底端将外移到，则线段的长为 米． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，梯子的长是不变的，利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后所构成的两直角三角形即可求解．利用图形培养同学们解决实际问题的能力，由已知观察题目的信息抓住不变量是解题以及学好数学的关键． 【详解】解：∵梯子长5米， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵梯子的顶端沿墙下滑米到点处， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴（米）， 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）甲、乙两人从同一地点沿不同方向同时出发，甲向北走，乙向东走．已知甲的速度为米/秒，乙的速度为1米/秒，则2分钟后，甲、乙两人相距多远？ 【答案】 【分析】本题考查了路程=速度×时间，勾股定理，先计算行驶的路程，后运用勾股定理计算即可． 【详解】∵甲向北走，乙向东走． ∴两人行驶的路线交成直角， ∵甲的速度为米/秒，乙的速度为1米/秒， 则2分钟后，甲行驶路程为，乙行驶路程为， 故两人之间的距离为：, 答：2分钟后，甲、乙两人相距． 20．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边．求水深和芦苇长各是多少尺？ 【答案】水深尺，芦苇长尺 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，    因为尺，所以尺， 在中，， 解之得， 即水深尺，芦苇长尺． 21．（2023八年级上·江苏·专题练习）“某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？    【答案】超速了，16.8千米/时 【分析】根据题意得出由勾股定理得出的长，进而得小汽车行驶速度为76.8千米/时，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，， 所以， 小汽车1.5秒行驶32米，则1小时行驶76800（米）， 即小汽车行驶速度为76.8千米/时，因为 ， 所以小汽车已超速行驶,超速千米/时． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，算术平方根的含义，掌握根据已知得出的长是解题关键． 22．（22-23八年级上·宁夏中卫·期末）一根电线杆在一次台风中从离地面3米处折断倒下，杆顶端落在离该电线杆底端4米处，请问电线杆在折断之前有多高？ 【答案】8米 【分析】利用勾股定理求得的长即可求解. 【详解】解：如图， 由题意得，，， 由勾股定理得， ∴， 答：电线杆在折断之前有8米高． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，并正确求解是解答的关键． 23．（21-22八年级上·江苏淮安·期中）如图，小明和小方分别在C处同时出发，小明以每小时2千米的速度向南走，小方以每小时1.5千米的速度向西走，2小时后，小明在A处，小方在B处，请求出AB的距离． 【答案】5千米 【分析】根据题意得出AC，BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长． 【详解】解：由题意可得：AC=2×2=4(km)，BC=1.5×2=3(km)， 则： ∴AB的距离为5km． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意得出AC，BC的长． 24．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 【答案】工程车再向教学楼方向行驶5米． 【分析】过点作交于点，在根据勾股定理求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求出x即可． 本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】过点作交于点， 由题意得， 在中， ， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， 工程车再向教学楼方向行驶5米，云梯刚好接触到的顶部点处． 25．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读并解答问题： 明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题： 原文：平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索有几？ 译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注古代5尺为1步） 建立数学模型，解决问题： 如图，秋千绳索静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点C，于点D，于点E，，求秋千绳索（或）的长度． 【答案】14.5尺 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，一元一次方程的实际应用．根据勾股定理列出方程是解题关键．由题意可求出尺，设尺，则尺，勾股定理可列出关于x的方程，解出x的值即可． 【详解】解：由题意可知尺， ∴尺． 设尺，则尺， 在中，， ∴， 解得：， ∴尺． 26．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 【答案】(1)41； (2)见解析，的距离为16千米； (3)15． 【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离； （2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可； （3）如图3，，，，，，设， 则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即两个村庄的距离为41千米， 故答案为：41； （2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为16千米； （3）解：如图3，，，，，，设， 则， 作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E，则是的最小值，即代数式的最小值， ∵，，， ∴代数式最小值为：， 故答案为：15． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出是解本题的难点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$