19.专题十六 空间几何体-【一飞冲天·高考专项】2024年高考专题分类数学（天津专版）

名考专题分集数学 一飞冲天 身.《2021·天排一中五月考1已知三按集P一AC中，L平面ABC,△A以是边长为3的等边 专题十六) 空间几何体 三角形，若此三棱锥外极球的体积为竖，那么三棱睡P一C的体积为 等基础题 49a D./ 考点！球的表面积与体积 10,(020·部分一模)在△ABC中，∠0'，AB=3,BC=4.以边新在的直线为轴，将△AC 1,(2020·和平三檄)三棱锥的校长均为4，信，顶点在可一球面上，则该球的老面积为 旋转一周，形成的由面所用成的儿所体的体积为 A.36= 且.72= C.144x D.288= A.36g B.12x C.36 D.12 A 1L.(2020·南开二模)如图，长方体ABD一A,B,C,D,的底面是面积为2的正 之(221·天第一中四月考)球与棱长为3,2的正四面体各条棱郁相切，期该球的表面积为( A.6 6,18= C.9 D.10x 方彩，该长方体的外接球依积为受：盘E为陵B的中点，则三旋维 3,(2019·河东二核)三棱排S-ABC中，S4L底面ABC,若SA-AB一C-AC一3，期谈三棱锥 D,一ACE的体积是 外接球的表面积为 A.18= R号 我2v区 C.21x D.42x 4,(021·长村一中热身)（九章算术中将四个面都为直角三角形的三校锥称之为整核，若三棱惟 D.1 P一ABC为整国，PA⊥平雀AC,PA一AB-2,AC-4,三按银P一ABC的四个点都在球O 8,2020·红桥一视)已知圆桂的高为1，它的肯个底面的飘周在直径为是的同一个球的球面上， 的球面上，则球O的表面积为 赠该图柱的体积为 A.12= 五.20x C24= D.32a 5,《2029·红桥云模)已知正方体的体积是8，则这个正为体的外接球的体积是 B至 c n A.2￥ B.4g: C. D.8,5x 13.(2019·可西一模)如图，在长方体ABCD-A,B,CD,中，AB一AD-3m,AA,-2m,用四棱 XDD的体积为 cm'. 02经·和平将末)已知感而边长为1，侧校长为交的正母棱柱的各厦点均在同一个球面上.则该 081·南开一模已知一个维笛临面华轻为2，高为3北体积大小等手装的龙m大三。 球的体职为 入要 B.4 C.2m 此球的体积是 A.45元 1儿，(19·河素一模)如用所示，阅柱内有一个直三校柱，三棱住的胶面在阀柱底面内，且底面是正 三角形.如果三坡柱的体积为2，百，明柱的底面直径与母线长相等，则椭柱的侧面积为 考点2具他几何体的表面积与体羽 8.(2021·和平一模)已知正方体ABCU一-车B,C的控长为2，则三棱锥A一BCD,的体积为 06 一飞油天 15.(01n·南并一模)如图，正方体A战D-A,队，CD,的旋长为1，E.F分划为线段AA,BC上 球彩铁质原材料切制成为一个：面边长和测棱长相等的正三棱柱工业用零配件，则该零配件 的点，则三控篷D,一DF的体积为 的量大体积为 A.6 n 22.(②023·无律一中四月考》如腰是某灯具厂生产的一壮不闻箱型台灯外形，它由一 个周锥和一个华球组合面成，图能的高是瓜4m,感面直轻和华球的直径都是 6m:戏对这个台灯表面徐整，加果句平方米雷要涂0克，谢共活涂粒的克数 为（精确到个位数） 、提升题 A.176 207 C3别 ).270 16.021·帽华中学根数)在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面CD,△BCD是边长为3的正三角 23,2022·耀华中学第二次模拟)~个图锥的侧雀展开图是一个半属，用该风锥的内切球的表面母 形，AB一√5，则该三校集的外接球的表面积为 和提锥的面积的比为 A24里 B.21x CA5x D.5x. A.2t3 h,3t2 C112 D3:4 17.(203·和平一视)某中学举行全校师生活动，有一个等戏项目是夷坛底球.如图，四个半径挥是 2礼，(”装沾一中镜拟)已知一个粮仓可近似为一个图篮和周台的组合体，且圆兼的张面冠专圆 1m的乒乓球藏在一个半球面形状的容器中，母个小球的原端恰好与客器的上沿处于同一水 台的线大能由圆重合.已知帽台的较小框面概的半径为【.属雏专儸台的高牙别为51和3， 平面，则这个容器的客积是 则此州合体的外接球的表面积是 26+3)m 45+3m A.lfix B.20x C,24x D.ZBx 3 5,(0空·红桥二模》两个置锥的些面是一个球的同一个藏面，氯点均在球面上，若球的体积为 C.2(6+33)m而 D.85+38江m 3 要，两个圆链的高之比为1,3，则这两个图健的体积之和为 1点，《2022·何北模)一个属锥的底面阅周和原点都在一个球面上，已知同催的底面商积与缘的表 26.(2021·南开中学五月考)如图，在三棱柱AC一A,BC中，D是C℃，上一点，设四棱幢 面积的比箭为专，则这个闲锥的体积与球的体积的比值为 D一AABB,的体积为V,三棱柱ABC一A,B,C,的体积为V,期V:V,一 》 c成 8 19,(021·南开巾学模报)已知属能的顶点和在面飘周都在球)的球面上，圆连的母线长为3，想 面展开图的面积为3x,期球0的表面积等于 YT⊙THE T u嘤 n些 27,(2020·和平二模)农历正胡都五是端个节，民间有吃箱子的习惯，粽子义移称轮，俗称粉子“， 0,021·十二校二微)已知三校锥5一ABC外接球的球心在线度5A上，若△A与△SC: 占释“角要”，是端午节大案都经品尝的食品，传说这是为了纪念最同时期整国大臣、爱国里义诗 均为面积是4v唇的等边三角形，则三棱锥S一AC娇该球的体机为 人园原如图，平四边彩形秋的纸片是由大个边长为1的正三角形构戒的：将它沿虚线斯起 8 16 n842s 来，可以得到如图所示综子影状的六面体，用藏六面体的体积为 :若孩六面体内有一 球，则该球体职的最大值为 2引.(2如22·南开中学三月考)切御是翠接生产备料工序中的重爱如工方法，各种金属和非金属切料 已经成为现代工业生产中的一道看整工序，被却工件所需要的儿解形状和尺寸，绝大多数是通 过切渊来实观的原材料利用率马衡量切割水平的一个重要折标.现看把一个表唯积为1的高考分类数学 参考答案 专题十六空间几何体 5,B:正方体的体积为8，.止方体棱长为2， 1C如图，将三棱锥补形成一个止方体，三棱锥的外接球与止 “正方体的外接球的半径为r一22：+2+2-尽 方体的外接球相同.，三棱锥的棱长均为4√6 一该正方体的外接球的体积是号x×()=4元 正方体的校长是43，义：球的直径是正方休的体对角线， 6.D正四校柱的底面边长为1，侧棱长为W2 设球半径是R,.2R=√(43)+(43)+(4w3)=12. .正四棱柱体对角线的长为干+2一2， “R=6,球的表面积为4π×6=144π 又：正四棱柱的各顶点在同一球面上， ∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，球半径R=1, 六此球的体积为V-专R一智 7,DVa袋=3h=4,即S=4xR=4,R=1, 2.C将棱长均为32的正四面体放人棱长为3的正方体，如图 所示， 8.B:正方体ABCD一ABCD,的棱长为2， .三棱锥A一B(CD是棱长为2w厄的正三棱锥 5n,e=2×22X22×m60=23, :球与正网血体各条棱都相切，，该球是正方体的内切球， D 切正方体的各个面于中心，而面这个切点恰好是正四面体各条 棱与球的切点， A B 由此可得该球的直径为3，半径，一多 设D在底面ABC的射影为O,可得AO= 号× ∴该球的表商积为S=4=4×(受=9x V(22)-2F-2 31 3.C由于AB=BC=AC=3,则△ABC是边长为3的等边三 六D,0=V2w2y-(25=4 3 3 角形，出正弦定理知，△AC的外接圆半径”满足：2r 3=2/3,由于SAL底面ABC, 三按锥A-BCn的体积V-号×25×5-号 3 in号 0 ,该三校锥的外接球半径R满足2R=√SA+(2r)=√2T, 被锥S-A议C的外接球的表面积为4πR=×(2R)=21元 4,B出题意，PC为外接球O的直径， E` 外接球球心O为PC中点， 易得PC=V√PA+AC=2V5, ,球O的半径为5， S:=4π×(W5)'-20x. 高考分类数学 参考答案 9.D在棱饿P一ABC中，PA⊥平面ABC,将棱能补形 13.6过点A作AO⊥BD于点O,AO是四棱锥A一BB,D1D 成直三棱柱PB,C,一ABC,如图，三棱锥P一ABC的外接球 即为直三棱柱PB,CG一AC的外接球，设△AB(所在截而 的高A0=√=2，：四棱锥A-BBD,D的体积 圆的半径为r,截面圆的圆心为O,由已知正△ABC边长为 为V-号×2x3w2×3y-6. 2 3,易得r=5设外接球半径为R.圆心为0，可得4R 3,解得R=2:则00=V-7-V-8=1, 六PA=200=2”5am-7×8×9-g, V,-m-音·5%m·PA-=青××2- 14.16π设圆柱的底面半径为r,母线长为1=2 则底而正三角形边长为？ 0 由三棱柱的休积得12原-2r×气×W有r,2 因此圆柱的侧面积为2xrl=2xr·2r=16π B Vg-me=Vg-m,又：BC∥平商EDD, 10,B:∠B=90°，AB=3,BC=4,以边BC所在直线为轴将 ,F在B,C上任何位置均使该一棱锥的高为1， Rt△ABC旋转一周， ∴形成图形为以AB为底面半径，BC为高的圆锥， 而不论E在AM,上的哪一个位置，Sm,均为2， “所倒成的几何体的体积为号×32×4=12 V--m,-号××1- 11.C:长方体ABCD-A,B,CD,的底而积是而积为2的E 16.C如图，设D中点E,连接E 方形，该长方体的外接球体积为号x,设长方体的外接球的 :'△BD是边长为3的止三角形， A 率径为R则青R=号，解得R=22+ 2 解得AA=25,Sg=立SAm=交×号 2 B :三收锥n-一ACE的休积V=号×SE×D一号 ---D E ×25=g 3 则账而△CD外接圆的半径为号BE=号×3×号-6。 12.D:圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直 径为2的同一个球的球面上，.该圆柱底面圆 O又AB⊥平面BCD,AB=3, .三棱锥的外接球的半径R满足 周半径r= √-- R=+2=只 该圆柱的体积V5动×（气）X1-3年 ∴该二棱锥的外按球的表而积为4xR=15π 高考分类数学 参考答案 17,B分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图 19,A、圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的母线长为 所示： 3.侧面展开图的血积为3云。 正视图 俯视图 正视图中小球球心B.半球球心O与切点A构成直角三角 形，则有OA2+AB=(OB, 设圆锥底面半径为， 谢视图巾，四个小球球心的连线围成止方形，正方形的巾心 则πr×3=3π，得r=1. 到球心的拒离OA,与正视图中的OA相等， .圆维的商为：h=√3一下=2√2， 设半球半径为R,已知小球半径=1， 设圆锥外接球的半径为R, ∴.OA=OA,=√2.AB=1.OB=5.R=OB+r=3+1. 可得R=(2√反一R)7+1, ∴容器的容积V=合×亭R=号×亭×(5+1 郭得R=9区 8 4(5+3w/3) 3 球0的表面积为S=4R=4x×(号)-8 18.D不妨设球的表面积为4πR, 20.D如图，：三棱锥S一ABC外接球的球心O在线段 由圆维底面面积是这个球的表面积的号， SA上， 可得圆锥的底面面积为8x术 则圆锥的底面半径为2 3R. 由儿何体的特征知球心到圆雏底面的距离，球的半径以及圆 雏底血的半径弓者构成一个直角角形， 出此可以求得球心到圆锥底面的雨离是VR一7=子R, .OS-0A-OB- 则圆健休积牧小者的高为R-宁R=号R, 又△ABC与△SBC均为面积是4√的等边三角形， 圆锥体积较大者的高为R十号R=音R 设-a,则0×-4W5,得a=4. 2 1×8πR2 即AB=BS=AC=SC=BC=4, 8 27 27 BS=BA,SC=AC,且O为SA巾点. ∴.BO SA,COLSA, 则圆锥的体积与球的体积的比位为分攻号， 在R1△SOB中应用勾殷定理得，S)+B()=BS, 且SOBO,BS=4, ,B0厅SOF22,即外按球的半径R=2V2, 则w=是 3π×(22)=642r 3 高考分类数学 参考答案 21.B设球的半径为R, :B,二R尽，得R- 2r 3r, 由短意可得成-，可得R=牙 ∴，圆锥的内切球的表而积和锥的侧面积的比为 当球为正三棱杜的外接球时，正一棱柱的体积量大， 4Nt1-m…g:2ar-2:3 如图正三棱柱ABC一ABC上下底而外接园的圆心分别 为)，0，则球心0为O1O的中点 24.B设外接球半径为R,球心为O,圆台较小底而圆的圆心为 0 0,则0+1=R,而00=5-1+3-R, 故R=1+(W5+2-R)→R=5→S=4πR=20元 设正棱柱的底血边长和侧棱长都为工， 由正弦定理可得：底面正三角形外接圆的半径为r=AO 25.4坛设球的半径为，：球的体积为 2n605 ∴7=32=2. 3 出勾殷定理可得A0=G+A0,即R=(受)+（告）， 设两个圆锥的高分别为h,:·于是有A￥，=1：3， 3 且h1+h2=2r=4. ,=1,h=3.设圆锥的底面半径为R, 可得x=3或x=一3（舍）， ∴R+(2-1)2=2→R=3, 六该零配件的最火休积为×3×3=27 4 22.B由已知得圆锥的母线长=√0,3十0,4-0.5(m), .台灯表面积为S=l+2r=x×0.3×0.5+2r× 0.32=0.33x(m). .带要涂胶的克数为0,33π×200=66x≈66×3.14 因此这两个圆锥的体积之和为号x×(√3)'×1十3)=4 207.24(克)≈207（克）. 23,A设圆锥的底而半径为r,母线长为1，圆锥的高为h,内切 26.2±3设点D到底而ABC,A,B,C的距离分别是1,2 球的半径为R,其轴截而如图所示，设O为内切球球心， 棱柱的高为H,侧H=h,十h,, :圆维的侧面展开图是一个半圆， V:-Vo-Vo_V-5(h th) .xl=2xr.得1=2r,即PA=PB=2r. ∴PD=PB-BD=√/-7=Br, - -名.即pVV-23 :.PO=PD-OD=3r-R, :△POE∽△PBD.品器 2n号 729 该六而体是由两个全等的止四而体组合而成。 高考分类数学 参考答案 正四面体的棱长为1，如图，在棱长为1的正四面体S一ABC 中，取BC中点D,连接SD、AD,过点S作SO⊥平而ABC, 垂足O在AD上，则AD=SD-号.0D=号AD-号S0= SD OD-5sm-是×1xgg 24” “该六面华的体积V-2V,=2X写×9×写-号。 若该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O,且 该球与SD相切，过球心O作OE⊥SD于点E,则OE就是 球半径，在△SOD中，有SO·ODSD·OE, ○T-HE 球半径R=OE-SO·ODV6 S)■ 9 六该球休积的最大值为V。一号×x×(否)》-_ 729