第06讲 圆的对称性（5大考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第06讲 圆的对称性 课程标准 学习目标 1 理解圆的轴对称性和中心对称性； 2 掌握圆的有关性质，如垂径定理等； 3 能运用圆的对称性解决问题。 1. 深刻理解圆的对称性及其相关性质； 2. 熟练运用圆的对称性进行推理和计算。 知识点一、圆的中心对称 1.圆是中心对称图形，对称中心就是圆心； 2.圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合； 3.旋转不变性是圆的特有性质. 知识点二、圆心角、弧、弦之间的关系 1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等； 如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，. 2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等； 3.定理成立的前提：在同圆或等圆中，如果没有这个前提条件，那么定理就是不成立的. 如图所示：两个圆的圆心相同，与对应同一圆心角，但是，. 知识点三、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间关系 1.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等； 2.通常我们所说的一条圆弧的度数，就是指它所对的圆心角的度数； 3.等弧是指度数和长度都相等的弧（等弧的度数一定相等，而度数相等的弧不一定是等弧）. 知识点四、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴（任何一条直径所在的直线都是它的对称轴），圆有无数条对称轴. 知识点五、垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，如图所示： ∵CD是直径，且CD⊥AB，∴EA＝EB，. 若一条直线具有以下两个性质：①过圆心；②垂直一条弦；则这条直线具有以下三个性质：①平分弦；②平分弦所对的优弧；③平分弦所对的劣弧. 圆心到圆的一条弦的距离称为弦心距. 题型01 圆心角、弧、弦间的关系 1．如图，在⊙O中，若2，则AB与2CD的大小关系为（　　） A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．无法确定 【分析】首先取的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中2，得，故AE＝BE＝CD，然后由三角形的三边关系求得答案． 【解答】解：如图，取的中点E，连接AE，BE， 在⊙O中，2， ∴， ∴AE＝BE＝CD， ∵AE+BE＞AB， ∴AB＜2CD． 故选：B． 【点评】此题考查的是圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等是解题的关键． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 【分析】根据等圆，圆周角定理，垂径定理一一判断即可． 【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意． B、正确，本选项符合题意． C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意． D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，等圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，圆的两条弦AC、BD相交于点P，、的度数分别为α、β，∠APB的度数为γ，则α、β和γ之间的数量关系为　 　． 【分析】连接BC．求出∠ACB，∠DBC，再利用三角形的外角的性质求∠APB即可． 【解答】解：连接BC． ∵∠ACBα，∠DBCβ， 又∵∠APB＝∠ACB+∠DBC， ∴γ（α+β）， 故答案为γ（α+β）． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的外角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 4．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC．求证：AC＝BD． 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【解答】证明：∵AB＝DC， ∴， ∴， ∴AC＝BD． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 题型02 利用垂径定理勾股定理求值 1．如图，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（　　） A．1 B． C． D．3 【分析】根据垂径定理和勾股定理解答即可． 【解答】解：∵直径CD⊥AB，AB＝2， ∴AHAB＝1， 在Rt△AHO中，∠A＝45°， ∴AH＝OH＝1， ∴AO＝DO， ∴DH＝DO+OH1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 2．如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB＝16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′，根据垂径定理求出AP′，根据勾股定理求出OP′，求出OP的范围，计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′， 则AP′AB＝8， 由勾股定理得：OP′6， 则6≤OP＜10， ∴线段OP的长度为整数的值有6、7、8、9共4个， 故选：C． 【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键． 3．如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA＝5，AB＝8，则CD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】先根据垂径定理得到AD＝BD＝4，再利用勾股定理计算出OD＝3，然后计算OC﹣OD即可． 【解答】解：∵OC⊥AB， ∴AD＝BDAB＝4， 在Rt△OAD中，OD3， ∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 4．如图，AB为⊙O的直径，CD垂直平分OA，垂足为E．若AB＝8，则CD的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【分析】由CD垂直平分OA，得到OEOA＝2，由勾股定理求出CE2，由垂径定理得到CD＝2CE＝4． 【解答】解：∵CD垂直平分OA， ∴OEOA， ∵AB＝8， ∴AO8＝4， ∴OE＝2， ∴CE2， ∵半径OA⊥CD， ∴CD＝2CE＝4． 故选：C． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出CE长，由垂径定理即可得到CD长． 题型03 利用垂径定理解决周长面积问题 1．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　） A． cm B．9 cm C．cm D．cm 【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD＝OC，设AD＝a，则ODa，由勾股定理求出OA＝OB＝OEa，求出EF＝FC＝4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案． 【解答】解： 连接OA、OB、OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠ADO＝∠BCO＝90°， ∵在Rt△ADO和Rt△BCO中 ∵， ∴Rt△ADO≌Rt△BCO（HL）， ∴OD＝OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC， 设AD＝a cm，则OD＝OCDCADa cm， 在△AOD中，由勾股定理得：OA＝OB＝OEa cm， ∵小正方形EFCG的面积为16cm2， ∴EF＝FC＝4cm， 在△OFE中，由勾股定理得：42， 解得：a＝﹣4（舍去），a＝8， a＝4（cm）， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想． 2．如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据垂径定理求出AF＝BF，CE＝BE，，求出∠AOD＝2∠C，求出∠AOD＝2∠A，求出∠A＝30°，解直角三角形求出OF和BF，求出OE、BE、BF，根据三角形的面积公式求出即可． 【解答】解：如图，连接OB， ∵CD为直径，CD⊥AB， ∴， ∴∠AOD＝2∠C， ∵CD⊥AB，AE⊥BC， ∴∠AFO＝∠CEO＝90°， ∵∠AOF＝∠COE，OA＝OC， ∴△AFO≌△CEO（AAS）， ∴∠C＝∠A， ∴∠AOD＝2∠A， ∵∠AFO＝90°， ∴∠A＝30°， ∵AO＝1， ∴OFAO，AFOF， 同理CE，OE， ∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O， 由垂径定理得：BF＝AF，BE＝CE， ∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO+S△BEO． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解此题的关键． 3．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM：CM＝5：18，则⊙O的周长为　　． 【分析】连接OA，根据垂径定理求出AM，根据勾股定理列出方程，解方程求出OC，根据圆的周长公式计算． 【解答】解：连接OA， ∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD， ∴AMAB＝6， 设OM、CM分别为5x、13x，则OA＝OC＝13x， 在Rt△AOM中，OA2＝OM2+AM2，即（13x）2＝（5x）2+62， 解得，x， ∴OC＝13x， 则⊙O的周长＝13π． 故答案为：13π． 【点评】本题考查的是垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 4．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE＝OE，AB＝12cm，求△ACD的周长． 【分析】连接OC，利用垂径定理构造直角三角形分别求得三角形的三边长，然后相加即可得到△ACD的周长． 【解答】解：连接OC． ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE＝DECD． ∵AB＝12cm， ∴AO＝BO＝CO＝6cm． ∵BE＝OE， ∴BE＝OE＝3cm，AE＝9cm． 在Rt△COE中， ∵CD⊥AB， ∴OE2+CE2＝OC2． ∴CE3， ∴CD＝2CE＝6cm． 同理可AC＝AD＝6cm， ∴△ACD的周长为18cm． 【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形并利用勾股定理解之． 题型04 利用垂径定理解决最值问题 1．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解． 【解答】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4， 连接OA， 根据垂径定理，得：BMAB＝3， 根据勾股定理，得：OA5， 即⊙O的半径为5． 故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径．特别注意能够分析出OM的最小值． 2．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、B关于原点O对称，则AB长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得． 【解答】解：连接OP， ∵PA⊥PB， ∴∠APB＝90°， ∵AO＝BO， ∴AB＝2PO， 若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值， 连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q， 则OQ＝6，MQ＝8， ∴OM＝10， 又∵MP′＝4， ∴OP′＝6， ∴AB＝2OP′＝12， 故选：C． 【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置． 3．如图，在⊙O中，弦AB＝9，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 　　． 【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据垂线段最短得出当OC⊥AB时，OC最短，CD的值最大，再根据垂径定理求出CB（或CA）即可． 【解答】解：连接OD， ∵OD为⊙O的半径，OC⊥CD， ∴CD， ∵OD为半径是定值， ∴要使CD最大，OC必须最小， ∵C是弦AB上一点， ∴当OC⊥AB时，OC最短（垂线段最短）， 即此时D与B（或A）重合， 即CD的最大值是AB9， 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理和垂线段最短等知识点，能理解当OC⊥AB时，OC最短，CD最长是解此题的关键． 4．如图，已知线段AB＝4，点P是平面内一点，且∠APB＝60°，则△ABP的周长最大值是 　　． 【分析】根据圆周角定理以及垂径定理可得当△ABP是正三角形时，△ABP的周长最大． 【解答】解：如图，当△ABP是正三角形时，△ABP的周长最大， 最大周长是4×3＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理以及圆周角定理是正确解答的关键． 题型05 垂径定理的综合应用 1．如图，⊙O是城市雨水排水管道的横截面，⊙O的半径为20cm．水的最深处到水面AB的距离为8cm，则水面AB的宽度是（　　） A．20cm B．24cm C．30cm D．32cm 【分析】过点O作AB的垂线，交AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，根据已知条件求出OC的长度，在Rt△ACO中利用勾股定理求出AC的长度，再根据垂径定理求出AB的长度即可． 【解答】解：过点O作AB的垂线，交AB于点C，交⊙O于点D，连接OA． ∵OA＝OD＝20cm，CD＝8cm， ∴OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12（cm）， ∵OC⊥AB， ∴AC16（cm）， ∴AB＝2AC＝2×16＝32（cm）． 故选：D． 【点评】本题考查垂径定理，熟练掌握勾股定理及垂径定理是本题的关键． 2．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　） A．20m B．28m C．35m D．40m 【分析】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m， 设主桥拱半径为R m， ∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m， ∵OC是半径，OC⊥AB， ∴AD＝BDAB（m）， 在RtADO中，AD2+OD2＝OA2， ∴（）2+（R﹣7）2＝R2， 解得R28． 故选：B． 【点评】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R的方程解决问题． 3．综合实践活动要求只用一张矩形纸条和刻度尺测量如图1茶碗的碗口直径．李靓同学所在的学习小组的方法是：如图2，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，若该纸条宽为8cm，用刻度尺量得AB＝6cm，CD＝10cm，则纸杯的半径为 　　．（结果保留根号） 【分析】由垂径定理求出BN，DM的长，设OM＝x cm，由勾股定理得到x2+52＝（8﹣x）2+32，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长即可得解． 【解答】解：如图2，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB， ∴MN＝8cm， ∵CD∥AB， ∴MN⊥CD， ∴DMCD10＝5（cm），BNAB6＝3（cm）， 设OM＝x cm， ∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm， ∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2， ∴OM2+MD2＝ON2+BN2， ∴x2+52＝（8﹣x）2+32， ∴x＝3， ∴OM＝3（cm）， ∴OD（cm）， 故答案为：cm． 【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出OM的长． 4．如图，将一个球放在空心的透明圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝16cm，球的最高点到地面的距离为36cm，则球的半径为 　　cm．（玻璃瓶厚度忽略不计） 【分析】根据垂径定理求出AE，再在Rt△AOE中由勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：如图，由题意可知，AB＝CD＝20cm，BC＝AD＝EF＝16cm，GF＝36cm，则AE＝DEAD＝8cm，OE＝（36﹣20﹣R）cm，其中R是球的半径， 在Rt△AOE中，由勾股定理得， OA2＝OE2+AE2， 即R2＝（16﹣R）2+82， 解得R＝10， 即球的半径为10cm． 故答案为：10． 【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理的定义是正确解答的关键． 1．下列语句中正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据对称轴为直线对③进行判断；根据半圆的定义对④进行判断． 【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①不正确； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②不正确； 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以③不正确； 半圆是弧，所以④正确． 故选：A． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查圆的认识和垂径定理． 2．如图，⊙O的直径为10，OA＝3，则过点A弦CB的长可能是（　　） A．6 B． C．12 D． 【分析】根据已知条件和垂径定理可得过点A的弦长在8≤BC≤10范围，即可得到选项B正确． 【解答】解：过点A作弦BC，使BC⊥OA，连接OB， ∵⊙O的直径为10，OA＝3， ∴OB＝5， 在Rt△OAB中，由勾股定理得， AB4， ∵OA⊥BC， ∴BC＝2AB＝8， ∴过点的弦BC的长最小是8，最大是10， A、6小于8，不符合题意； B、58.66，符合题意； C、12大于10，不符合题意； D、57.07，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 3．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，设⊙O的半径为5，CD＝1，则AB的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】连接OA，由垂径定理得到AB＝2AD，求出OD＝OC﹣CD＝4，由勾股定理求出AD3，即可得到AB＝2×3＝6． 【解答】解：连接OA， ∵OC⊥AB， ∴AB＝2AD， ∵OC＝5，CD＝1， ∴OD＝OC﹣CD＝4， ∴AD3， ∴AB＝2×3＝6． 故选：B． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出AD的长，由垂径定理即可求出AB的长． 4．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E，连接AC．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EC，AC，可得结论． 【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E，连接AC． ∵∠AOC＝90°， ∴∠ABC（360°﹣90°）＝135°， ∴∠ABE＝45°， ∵∠E＝90°，AB， ∴AE＝EB＝1， ∵BC＝1， ∴EC＝2， ∴AC， ∴OA＝OCAC． 故选：C． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 5．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则△OBC的面积是（　　） A．3 B．1.5 C． D． 【分析】连接AD、DC、OD，过C点作CE⊥AB于E点，过O点作OF⊥CE于F点，OH⊥BC于H点，如图，先根据垂径定理的推论得到OD⊥AB，则利用勾股定理可计算出OD＝1，再根据折叠的性质得到和在等圆中，由于它们所对的圆周角定理得到，则AC＝DC，于是根据等腰三角形的性质得到AE＝DE＝1，接着证明四边形ODEF为正方形得到EF＝OF＝1，则可计算出CF＝2，BC＝3，所以BH＝CH，然后利用勾股定理计算出OH，最后根据三角形面积公式求解． 【解答】解：连接AD、DC、OD，过C点作CE⊥AB于E点，过O点作OF⊥CE于F点，OH⊥BC于H点，如图， ∵点D为AB的中点， ∴OD⊥AB，AD＝BD＝2， 在Rt△OBD中，OD1， ∵弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D， ∴和在等圆中， ∴， ∴AC＝DC， ∵CE⊥AD， ∴AE＝DE＝1， ∵∠ODE＝∠DEF＝∠OFE＝90°，DE＝DO＝1， ∴四边形ODEF为正方形， ∴EF＝OF＝1， 在Rt△OCD中，CF2， ∴CE＝CF+EF＝3， 在Rt△BCE中，BC3， ∵OH⊥BC， ∴BH＝CH， 在Rt△OBH中，OH， ∴△OBC的面积3． 故选：B． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了折叠的性质、垂径定理和勾股定理． 6．⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是　60　度． 【分析】如图，连接OA、OB，先证明△ABC为等边三角形，则可得到∠AOB＝60°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数． 【解答】解：如图，连接OA、OB， ∵AB＝OA＝OB， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴弧的度数是60°． 故答案为60． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 7．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为　2　． 【分析】连接BE，先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值，易得AE＝2r，连接BE，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，由三角形中位线定理得到BE＝2OC＝6，然后在Rt△CBE中由勾股定理可求出CE． 【解答】解：连接BE，如图所示： ∵OD⊥AB，AB＝8， ∴ACAB＝4， 设⊙O的半径OA＝r， ∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：r2＝（r﹣2）2+42， 解得：r＝5， ∴AE＝2r＝10； ∵OD＝5，CD＝2， ∴OC＝3， ∵AE是直径， ∴∠ABE＝90°， ∵OC是△ABE的中位线， ∴BE＝2OC＝6， 在Rt△CBE中，CE2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理以及三角形中位线定理等知识，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 8．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 　4　． 【分析】过O作OF⊥DC于F，连接OC，求出OA＝OB＝OC＝3，根据垂直定义得出∠OFE＝∠OFC＝90°，求出OE，根据勾股定理求出OF，再根据勾股定理求出CF，根据垂径定理得出DF＝CF，再求出答案即可． 【解答】解： 过O作OF⊥DC于F，连接OC，则∠OFE＝∠OFC＝90°， ∵BE＝1，AE＝5， ∴AB＝BE+AE＝6， ∴OB＝OA＝OC＝3， ∴OE＝3﹣1＝2， ∵∠AEC＝30°， ∴OFOE＝1， ∴CF2， ∵OF⊥CD，OF过圆心O， ∴DF＝CF＝2， ∴CD＝CF+DF＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 9．如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的半径为 　20　． 【分析】通过作弦心距，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为D， ∵AB是弦，OD⊥AB，AC＝11，BC＝21， ∴AD＝BDAB＝16， ∴CD＝AD﹣AC＝5， ∴OD ＝12， ∴OA ＝20． 故答案为：20． 【点评】本题考查垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键． 10．如图，在⊙O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC，交⊙O于点D，则CD长的最大值为 　2　． 【分析】根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可． 【解答】解：∵CD⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ∴CD， 当OC的值最小时，CD的值最大， OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合， ∴CD＝CBAB＝2， 即CD的最大值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 11．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，求CD的长． 【分析】连接OC，求出半径OC和OM，根据勾股定理求出CM，根据垂径定理得出CD＝2CM，即可求出答案． 【解答】解：连接OC， ∵AM＝18，BM＝8， ∴半径OC＝OA＝OB＝13， ∴OM＝5， ∵直径AB⊥弦CD于点M， ∴CD＝2CM＝2DM， 在Rt△OCM中，由勾股定理得：CM12， ∴CD＝24． 【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，关键是能构造直角三角形、求出CM长和得出CD＝2CM． 12．如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结AB，CD，AC＝BD．设AC，BD交于点E． （1）求证：AE＝DE． （2）若100°，AB＝ED，求的度数． 【分析】（1）根据AC＝BD求出，求出，求出AB＝DC，根据圆周角定理得出∠B＝∠C，∠A＝∠D，再根据全等三角形的判定定理推出△ABE≌△DCE即可； （2）求出DE＝DC，求出∠DEC＝50°，根据三角形内角和定理求出∠D，求出的度数，再求出答案即可． 【解答】（1）证明：∵AC＝BD， ∴， ∴（两边都减去）， ∴AB＝DC， 由圆周角定理得：∠B＝∠C，∠A＝∠D， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（ASA）， ∴AE＝DE； （2）解：由（1）知：AB＝DC， ∵AB＝ED， ∴DE＝DC， ∵100°， ∴∠DCE＝∠DEC， ∴∠D＝180°﹣∠DCE﹣∠DEC＝80°， ∴的度数是2×80°＝160°， ∵AB＝DC， ∴， ∴的度数是（360°﹣100°﹣160°）＝50°． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键． 13．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为24m，拱顶高出水面8m（即CD＝8m），OC⊥AB， （1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径； （2）现有一艘宽10m，船舱高出水面7.5m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ 【分析】（1）连接OA，根据垂径定理得出，设OA＝OC＝r，则OD＝（r﹣8）m，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得AD2+OD2＝OA2，列出方程求解即可； （2）易得OD＝OC﹣CD＝5米，构造如图所示矩形MEFN，OM连接，推出米，根据勾股定理可得米，求出DH＝OH﹣OD，再与7.5米进行比较即可． 【解答】解：（1）解：连接OA， ∵AB＝24m，OC⊥AB， ∴， 设OA＝OC＝r， ∵CD＝8m， ∴OD＝（r﹣8）m， 在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：AD2+OD2＝OA2， 即122+（r﹣8）2＝r2， 解得：r＝13， 答：该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米． （2）解：∵r＝13米，CD＝8m， ∴OD＝OC﹣CD＝5（米）， 构造如图所示矩形MEFN，OM连接， 当EF＝MN＝10m时， ∵OC⊥AB， ∴OC⊥MN， ∴（米）， 根据勾股定理可得：（米）， ∴DH＝OH﹣OD＝12﹣5＝7（米）， ∵7＜7.5， ∴此货船不能顺利通过这座桥． 【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解得的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 14．在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点． （1）AC与BD相等吗？为什么？ （2）若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB＝24，求CD的长． 【分析】（1）过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理得出AE＝BE，CE＝DE，再求出答案即可； （2）根据勾股定理求出OE，根据勾股定理求出CE，再根据垂径定理得出CE＝DE即可． 【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于E， ∵OE⊥AB，OE过圆心O， ∴AE＝BE，CE＝DE， ∴AE﹣CE＝BE﹣DE， 即AC＝BD； （2）解：连接OA、OC， ∵AB＝24，AE＝BE， ∴AE＝12， ∵大圆的半径为13， ∴OA＝13， ∴OE5， ∵小圆的半径为7， ∴OC＝7， ∴DE＝CE2， ∴CD＝2CE＝4． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，垂直于弦的直径平分这条弦． 15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE． （1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长． 【分析】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可． （2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论． 【解答】解：（1）如图，连接AD． ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°， ∴∠ACD＝70°． ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝70°， ∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°． 又∵AD＝AE， ∴． （2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F． ∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4， ∴BC＝5． 又∵•AF•BC•AC•AB， ∴， ∴． ∵AC＝AD，AF⊥CD， ∴． 【点评】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE． （1）求证：AP＝AO； （2）若弦AB＝24，求OP的长． 【分析】（1）由PG平分∠EPF可得∠CPO＝∠APO，由AO∥PD可得∠CPO＝∠AOP，从而有∠APO＝∠AOP，则有AP＝AO． （2）过点O作OH⊥AB于H，如图．根据垂径定理可得AH＝BH＝12，从而可求出PH，在Rt△AHO中，运用勾股定理可求出OH的长，从而进一步可得OP的长． 【解答】（1）证明：如图， ∵PG平分∠EPF， ∴∠CPO＝∠APO． ∵AO∥PE， ∴∠CPO＝∠AOP， ∴∠APO＝∠AOP， ∴AP＝AO． （2）解：过点O作OH⊥AB于H，如图． 根据垂径定理可得AH＝BHAB＝12， ∴PH＝PA+AH＝AO+AH＝13+12＝25． 在Rt△AHO中， OH5， 由勾股定理得：OP5． 则OP的长为5． 【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，综合性比较强． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 圆的对称性 课程标准 学习目标 1 理解圆的轴对称性和中心对称性； 2 掌握圆的有关性质，如垂径定理等； 3 能运用圆的对称性解决问题。 1. 深刻理解圆的对称性及其相关性质； 2. 熟练运用圆的对称性进行推理和计算。 知识点一、圆的中心对称 1.圆是中心对称图形，对称中心就是圆心； 2.圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合； 3.旋转不变性是圆的特有性质. 知识点二、圆心角、弧、弦之间的关系 1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等； 如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，. 2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等； 3.定理成立的前提：在同圆或等圆中，如果没有这个前提条件，那么定理就是不成立的. 如图所示：两个圆的圆心相同，与对应同一圆心角，但是，. 知识点三、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间关系 1.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等； 2.通常我们所说的一条圆弧的度数，就是指它所对的圆心角的度数； 3.等弧是指度数和长度都相等的弧（等弧的度数一定相等，而度数相等的弧不一定是等弧）. 知识点四、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴（任何一条直径所在的直线都是它的对称轴），圆有无数条对称轴. 知识点五、垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，如图所示： ∵CD是直径，且CD⊥AB，∴EA＝EB，. 若一条直线具有以下两个性质：①过圆心；②垂直一条弦；则这条直线具有以下三个性质：①平分弦；②平分弦所对的优弧；③平分弦所对的劣弧. 圆心到圆的一条弦的距离称为弦心距. 题型01 圆心角、弧、弦间的关系 1．如图，在⊙O中，若2，则AB与2CD的大小关系为（　　） A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．无法确定 2．下列说法中，正确的是（　　） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 3．如图，圆的两条弦AC、BD相交于点P，、的度数分别为α、β，∠APB的度数为γ，则α、β和γ之间的数量关系为　 　． 4．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC．求证：AC＝BD． 题型02 利用垂径定理勾股定理求值 1．如图，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（　　） A．1 B． C． D．3 2．如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB＝16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA＝5，AB＝8，则CD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，AB为⊙O的直径，CD垂直平分OA，垂足为E．若AB＝8，则CD的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 题型03 利用垂径定理解决周长面积问题 1．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　） A． cm B．9 cm C．cm D．cm 2．如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM：CM＝5：18，则⊙O的周长为　　． 4．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE＝OE，AB＝12cm，求△ACD的周长． 题型04 利用垂径定理解决最值问题 1．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、B关于原点O对称，则AB长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 3．如图，在⊙O中，弦AB＝9，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 　　． 4．如图，已知线段AB＝4，点P是平面内一点，且∠APB＝60°，则△ABP的周长最大值是 　　． 题型05 垂径定理的综合应用 1．如图，⊙O是城市雨水排水管道的横截面，⊙O的半径为20cm．水的最深处到水面AB的距离为8cm，则水面AB的宽度是（　　） A．20cm B．24cm C．30cm D．32cm 2．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　） A．20m B．28m C．35m D．40m 3．综合实践活动要求只用一张矩形纸条和刻度尺测量如图1茶碗的碗口直径．李靓同学所在的学习小组的方法是：如图2，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，若该纸条宽为8cm，用刻度尺量得AB＝6cm，CD＝10cm，则纸杯的半径为 　　．（结果保留根号） 4．如图，将一个球放在空心的透明圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝16cm，球的最高点到地面的距离为36cm，则球的半径为 　　cm．（玻璃瓶厚度忽略不计） 1．下列语句中正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，⊙O的直径为10，OA＝3，则过点A弦CB的长可能是（　　） A．6 B． C．12 D． 3．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，设⊙O的半径为5，CD＝1，则AB的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则△OBC的面积是（　　） A．3 B．1.5 C． D． 6．⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是　 　度． 7．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为　 　． 8．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 　 　． 9．如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的半径为 　 　． 10．如图，在⊙O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC，交⊙O于点D，则CD长的最大值为 　 　． 11．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，求CD的长． 12．如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结AB，CD，AC＝BD．设AC，BD交于点E． （1）求证：AE＝DE． （2）若100°，AB＝ED，求的度数． 13．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为24m，拱顶高出水面8m（即CD＝8m），OC⊥AB， （1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径； （2）现有一艘宽10m，船舱高出水面7.5m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ 14．在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点． （1）AC与BD相等吗？为什么？ （2）若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB＝24，求CD的长． 15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE． （1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长． 16．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE． （1）求证：AP＝AO； （2）若弦AB＝24，求OP的长． 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