第二章 圆锥曲线（知识归纳与题型突破，5大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）

第二章 圆锥曲线 知识归纳与题型突破 01 考点归纳 考点一、求圆锥曲线的标准方程 考点二、求参数或取值范围和最值问题 考点三、有关离心率的问题 考点四、直线与圆锥曲线的位置关系 考点五、综合应用 02 知识速记 1、 椭圆 1．椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 　其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： ①若2a＞2c，则集合P为椭圆； ②若2a＝2c，则集合P为线段； ③若2a＜2c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a； 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c间的关系 c2＝a2－b2 2、 双曲线 1．双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． 　数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若a<c，则集合P为双曲线； ②若a＝c，则集合P为两条射线； ③若a>c，则集合P为空集． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0) A1(0，－a)， A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 实轴：线段A1A2，|A1A2|＝2a 虚轴：线段B1B2，|B1B2|＝2b a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 3．等轴双曲线 (1)定义：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，其方程写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)性质：①a＝b；②e＝； ③两条渐近线y＝±x互相垂直； ④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 3、 抛物线 1．抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 　其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 开口 方向 向右 向左 向上 向下 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P (x0，y0) 在抛物 线上) |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋ 4、 直线与圆锥曲线 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点． (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离． ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2| ＝，k为直线斜率且k≠0. 03 题型归纳 题型一、求圆锥曲线的标准方程 例题：1-1．若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，即可得解. 【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6， 所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 1-2．已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意得出双曲线的焦点在轴上，设出双曲线的标准方程；再根据双曲线C经过点及离心率公式即可求解. 【详解】因为双曲线C经过点， 所以双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为. 因为双曲线经过点， 所以，解得． 又因为， 所以， 则， 所以双曲线的标准方程为． 故选：C. 1-3．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 【详解】（1）因为，长轴的长为4， 所以，，，所以椭圆的方程为． （2）因为，，若直线l过椭圆的上顶点A和右焦点. 所以l：，则点到直线l的距离为， 由得， 所以，，则， 所以． 巩固训练：1-1．准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据准线方程即可求解抛物线方程. 【详解】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线， 设其方程为，则其准线方程为，得 故该抛物线的标准方程是， 故选：A. 1-2．在平面直角坐标系中，已知两点，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点再根据斜率公式计算即可. 【详解】设，可得,x不为0， 所以. 故选：D. 1-3．已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出椭圆的焦点坐标和离心率，结合题意求出双曲线的a、b，即可求解. 【详解】由题意知，对于椭圆， 焦点为和，离心率为. 设双曲线的标准方程为， 又双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为1， 所以双曲线的离心率为，即， 又，所以，， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B 1-4．已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 【详解】（1）的一条渐近线的方程为，即， 点到的距离， 又因为，所以， 所以，所以双曲线的方程为． （2） 记双曲线的左焦点为，则， ， 当三点共线时，最小，且最小值为． 故的最小值为． 1-5．已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 【详解】（1）因为双曲线E的渐近线方程为. 所以，解得，从而，即， 所以右焦点为，从而，解得， 抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为，. （2）    由题意直线，它过抛物线的焦点， 联立抛物线方程得，化简并整理得， 显然，， 所以， 点到直线的距离为， 所以，即的面积为. 题型二、求参数或取值范围和最值问题 例题：2-1．若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程可以列出不等式组，解得的范围即可． 【详解】方程表示椭圆， ，得，得且． 故选：D． 2-2．若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合椭圆的标准方程和性质，即可求解． 【详解】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆 则应满足即． 故选：D． 2-3．已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点. (1)求椭圆的离心率； (2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围. 【详解】（1）由题意得，且，即， 解得， 所以椭圆的离心率. （2）由题意，得. 设，则. 所以，. 因为， 所以当时，；当时，. 所以的取值范围为. 巩固训练：2-1． 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（      ） A．5 B． C． D．2 【答案】D 【分析】首先把问题转化为和到轴的距离之和的最小值，再根据抛物线的定义最小，根据数形结合得出结论. 【详解】设抛物线的焦点为，无论在何处，的最小值都是到轴的距离， 所以的最小值和到轴的距离之和的最小值和到准线的距离之和减去最小， 根据抛物线的定义问题转化为最小，显然当三点共线时最小，最小值为. 故选：D   2-2．已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】如图，    设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以 . 故选：B. 2-3．已知抛物线的焦点为，准线为直线，横坐标为3的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线的方程和可求答案. 【详解】不妨设点在第一象限，因为点的横坐标为3， 所以，， ， 因为，所以， 解得或（舍）， 故选：B 2-4．已知点是双曲线上任意一点. (1)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值. 【详解】（1）由已知可得，所以双曲线的渐近线方程为， 点到直线，即直线的距离， 点到直线，即直线的距离， 所以点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为 ， 又在双曲线上，所以，所以，所以是一个常数； （2）因为，所以，解得或， 所以， 当时，的最小值为，所以的最小值为. 题型三、有关离心率的问题 例题：3-1．设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义及可得，的长度，再由勾股定理可得离心率. 【详解】由，，可得， 由双曲线定义可知， 所以，，， 由勾股定理可得，可得， 故， 故选:B. 3-2．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具.如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆左焦点，经过坐标原点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可得利用垂直关系可得，即可由离心率公式求解. 【详解】根据椭圆的对称性可知，故，得， 又，故， 故离心率为， 故选：C 3-3．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． (1)求的离心率； (2)射线与交于点，且，求的周长． 【详解】（1）依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，， 所以，， 又， 所以，即，即， 所以，所以离心率； （2）由（1）可得，，则椭圆方程为， 射线的方程为， 联立，整理可得， 解得或，则，即， 所以，解得，则， 所以的周长．    训练：3-1．已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的内心和重心重合，判断为等边三角形，得即可. 【详解】如图所示，为椭圆的顶点， 且的内心和重心重合， 所以为等边三角形， 又因为， 所以， 即. 故选：C. 3-2．若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用焦点到渐近线的距离求出，从而求出，即可求出离心率． 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 双曲线的渐近线方程为， 不妨取， 又点到双曲线的一条渐近线的距离为， 可得， 所以， 所以双曲线的离心率． 故选：C． 3-3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C．2或 D．或2 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点在轴上，渐近线斜率为，再结合，可求. 【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，且一条渐近线的倾斜角为，所以，所以， 又，所以，又，所以. 故选：A 3-4．已知是双曲线上的一点，分别是的左、右焦点，若． (1)求双曲线的离心率； (2)当时，求的取值范围． 【详解】（1）由可得，所以， 故，离心率为 （2），， 所以， 由于，所以， 解得， 考点四、直线与圆锥曲线的位置关系 例题：4-1．已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】证明直线过焦点，再利用焦半径公式和韦达定理即可得到答案. 【详解】将与抛物线联立得， 设， 显然抛物线焦点坐标为，令，即，则，则直线过焦点， 则. 故选：B. 4-2．已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程可得渐近线方程，结合轴且过右焦点，可得.再根据的面积与双曲线方程即可解得. 【详解】由双曲线方程得其渐近线方程为， 由题知轴且过右焦点，令，得，. 则的面积，解得. 双曲线（），，解得. 故选：. 4-3．过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 【详解】（1）抛物线焦点的坐标为， 当直线的倾斜角为时，直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，，显然， 设，则， 则 ，解得， 所以抛物线的方程为； （2）设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，显然， 所以， 又，所以， 因为， 所以 ， 所以，则， 设的面积为， 则， 所以的面积为. 巩固训练：4-1．已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解． 【详解】设，，， 则，，， 所以，所以， 将，两点坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：， 所以，则， 故选：D 4-2．抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（    ）． A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和，等于此点到焦点的距离与到直线的距离之和，其最小值为焦点到直线的距离，求值即可. 【详解】抛物线，焦点，准线方程为， 抛物线上的点，到其准线的距离为，到直线的距离为， 由抛物线的定义可知，则有， 其最小值为焦点到直线的距离． 即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为. 故选：A. 4-3．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，联立方程，求出的坐标，然后求解. 【详解】抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：， 联立，消去可得：，解得, 不妨令,则, 故． 故选：C. 4-4．已知椭圆，右焦点为，过点的直线交于两点. (1)若直线的倾斜角为，求； (2)记线段的垂直平分线交直线于点，当最大时，求直线的方程. 【详解】（1）由题意可得， 因为直线的倾斜角为，所以， 因此，的方程为， 联立方程，消去得 解得 所以 因此，； （2）设，由题意得，直线的斜率不为0，故设为， 联立方程消去得，，， 因此， 所以， 设线段的中点为， 则， 所以， 所以 设，则， 当且仅当，即时等号成立， 当最大时，也最大，此时直线的方程为， 即或 题型五、综合应用 （1） 定点、定直线问题 5-1．已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 【详解】（1）由题可知，动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线， ， 曲线的方程为； （2）设直线的方程为，,，,， 直线与抛物线联立：， 消去化简得，则，即， ，，又，即， 又， ，即， 设点为的中点，则， 直线的方程为， 令，则， 故点为定点，坐标为． （2） 定值问题 5-2．设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点． (1)若l的斜率为2，求的值； (2)求证：为定值． 【详解】（1）过点，且直线的斜率为2的直线为， 设，， 联立，得，， ； （2）设过点的直线，    联立，得，， 则， . （3） 最值、范围问题 5-3．已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为、，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)设点M为C上的动点，求的取值范围． 【详解】（1）离心率，①， 将点代入椭圆方程得②， 联立①②解得，， 所以椭圆C的方程为． （2）设M点的坐标为，则，即 由（1）可知，， ， 又，. 5-4．已知椭圆C：的离心率为，左顶点和上顶点分别为A、B， (1)求b的值； (2)点P在椭圆上，求的最大值及取最大值时点P的坐标． 【详解】（1）由题意可知椭圆的焦点在轴上， 则，所以，所以． （2）由（1）得椭圆的方程为， 则，设，则， 因为点P在椭圆上，所以， 则， 则， 所以当时，， 此时， 所以. （4） 证明、探索性问题 5-5．已知抛物线E：，过点的直线与E交于A，B两点，设E在点A，B处的切线分别为和，与的交点为P． (1)若点A的坐标为，求的面积（O为坐标原点）； (2)证明：点P在定直线上． 【详解】（1）直线AB的斜率 直线AB的方程为，即 联立方程，整理得： 设，则， 设直线AB与y轴的交点为D，则 （2）由，得 的方程为：，整理得： 同理可得的方程为： 设，联立方程，解得 因为点T（1，2）在抛物线内部，可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，与抛物线方程联立得： 故， 所以，，可得 所以点P在定直线上    5-6．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求抛物线的方程； (2)是否存在直线使得点满足？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由点在抛物线上，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）假定存在直线使得点满足， 设直线的方程为，由对称性知，，设， 由消去得：，则，， 点的纵坐标为，而轴，则点， ，， ，显然， 于是，即， ，解得， 所以存在直线使得点满足，直线的方程为，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 圆锥曲线 知识归纳与题型突破 01 考点归纳 考点一、求圆锥曲线的标准方程 考点二、求参数或取值范围和最值问题 考点三、有关离心率的问题 考点四、直线与圆锥曲线的位置关系 考点五、综合应用 02 知识速记 1、 椭圆 1．椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 　其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： ①若2a＞2c，则集合P为椭圆； ②若2a＝2c，则集合P为线段； ③若2a＜2c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a； 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c间的关系 c2＝a2－b2 2、 双曲线 1．双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． 　数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若a<c，则集合P为双曲线； ②若a＝c，则集合P为两条射线； ③若a>c，则集合P为空集． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0) A1(0，－a)， A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 实轴：线段A1A2，|A1A2|＝2a 虚轴：线段B1B2，|B1B2|＝2b a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 3．等轴双曲线 (1)定义：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，其方程写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)性质：①a＝b；②e＝； ③两条渐近线y＝±x互相垂直； ④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 3、 抛物线 1．抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 　其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 开口 方向 向右 向左 向上 向下 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P (x0，y0) 在抛物 线上) |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋ 4、 直线与圆锥曲线 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点． (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离． ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2| ＝，k为直线斜率且k≠0. 03 题型归纳 题型一、求圆锥曲线的标准方程 例题：1-1．若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 1-2．已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 1-3．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 巩固训练：1-1．准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 1-2．在平面直角坐标系中，已知两点，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 1-3．已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（    ） A． B． C． D． 1-4．已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 1-5．已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 题型二、求参数或取值范围和最值问题 例题：2-1．若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 2-2．若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2-3．已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点. (1)求椭圆的离心率； (2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围. 巩固训练：2-1． 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（      ） A．5 B． C． D．2 2-2．已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 2-3．已知抛物线的焦点为，准线为直线，横坐标为3的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2-4．已知点是双曲线上任意一点. (1)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值. 题型三、有关离心率的问题 例题：3-1．设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3-2．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具.如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆左焦点，经过坐标原点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3-3．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． (1)求的离心率； (2)射线与交于点，且，求的周长． 巩固训练：3-1．已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3-2．若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3-3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C．2或 D．或2 3-4．已知是双曲线上的一点，分别是的左、右焦点，若． (1)求双曲线的离心率； (2)当时，求的取值范围． 考点四、直线与圆锥曲线的位置关系 例题：4-1．已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 4-2．已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 4-3．过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 巩固训练：4-1．已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4-2．抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（    ）． A． B． C．4 D．5 4-3．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 4-4．已知椭圆，右焦点为，过点的直线交于两点. (1)若直线的倾斜角为，求； (2)记线段的垂直平分线交直线于点，当最大时，求直线的方程. 题型五、综合应用 （1） 定点、定直线问题 5-1．已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． （2） 定值问题 5-2．设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点． (1)若l的斜率为2，求的值； (2)求证：为定值． （3） 最值、范围问题 5-3．已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为、，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)设点M为C上的动点，求的取值范围． 5-4．已知椭圆C：的离心率为，左顶点和上顶点分别为A、B， (1)求b的值； (2)点P在椭圆上，求的最大值及取最大值时点P的坐标． （4） 证明、探索性问题 5-5．已知抛物线E：，过点的直线与E交于A，B两点，设E在点A，B处的切线分别为和，与的交点为P． (1)若点A的坐标为，求的面积（O为坐标原点）； (2)证明：点P在定直线上． 5-6．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求抛物线的方程； (2)是否存在直线使得点满足？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$