第01讲 集合的概念与表示（4种题型+4个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

第01讲 集合的概念与表示（4种题型+4个易错点+过关检测） 一、集合的相关概念 1．集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．通常用大写拉丁字母来表示集合． 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写拉丁字母来表示集合的元素． 2．常用数集及表示符号 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 3．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于A 注意点： 元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写． 二、集合元素基本属性的应用 集合元素的基本属性 (1)确定性：集合的元素必须是确定的． (2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的． (3)无序性：集合中的元素可以任意排列． 注意点： 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． 三、集合的表示 1.列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内的表示集合的方法叫做列举法． 注意点： (1)集合中的元素之间用逗号分隔，元素不重复，元素无顺序． (2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元素个数较多且有明显规律，可用列举法，但必须把规律显示清楚，然后加省略号． 2．描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式，这样表示集合的方法称为描述法． 注意点： (1)用描述法表示集合时，应写清该集合中元素的代表符号，并用简明、准确的语言描述集合的特征性质． (2)从上下文的关系来看，若元素的取值(或变化)范围是明确的，则可省略不写． 3．为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图． 4．集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等． 5．集合的分类 按照集合元素的多少，集合可以分为有限集和无限集． (1)一般地，含有有限个元素的集合称为有限集．含有无限个元素的集合称为无限集． (2)不含任何元素的集合称为空集，记作∅. 题型1集合的含义与元素的特征 【例题1-1】（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B．小于5的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【例题1-2】（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【变式1】（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列元素的全体可以组成集合的是（    ） A．人口密度大的国家 B．所有美丽的城市 C．地球上的四大洋 D．优秀的高中生 【变式2】（20-21高一上·全国·课后作业）判断（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合.( ) （2）分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的.( ) （3）由－1，1，1组成的集合中有3个元素.( ) 【变式3】（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 题型2元素与集合的关系 【例题2】（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 【变式1】（23-24高一上·辽宁·期中）已知集合，且是中的一个元素，则（    ） A． B．或3 C． D．或 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合． (1)若为整数，试判断是否为集合中的元素； (2)求证：若，则． 题型3集合的表示方法 【例题3】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合 ，用列举法表示集合． 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 题型4集合分类与集合相等 【例题4-1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【例题4-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 【例题4-3】（22-23高一上·甘肃定西·期末）设，集合，若，则 . 【变式1】下列四个集合中，是空集的为(　　) A．{0} B．{x|x>8，且x<5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4} 【变式2】（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【变式3】（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 易错点1忽略集合中元素的互异性而致错 【例题1】（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一上·四川自贡·期末）若，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）集合中有三个元素：、、，集合中有三个元素：、、0，若，求的值． 易错点2不能正确的理解集合的表示方法而致错 【例题2】（21-22高一上·辽宁大连·阶段练习）集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．10 D．12 【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合中所有元素之和为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）用列举法表示集合 ． 【变式3】（23-24高一上·江西九江·阶段练习）用合适的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)大于-1且小于7的所有整数组成的集合. 易错点3不理解新定义的集合（运算）而致错 【例题3】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）定义集合，其中集合，则中元素个数为 ． 【变式1】（20-21高一上·浙江金华·开学考试）定义集合运算：，设，，则（    ） A．当，时， B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子 C．中有3个元素 D．中所有元素之和为3 【变式2】（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 【变式3】（22-23高一上·上海浦东新·期中）对任意两个正整数，定义某种运算（运算符号用表示）：当都为正偶数或正奇数时，；当中一个正奇数，另一个为正偶数时，，则在上述定义下，集合中元素个数为 . 易错点4不理解集合中元素的确定性而致错 【例题4】（22-23高一下·广西河池·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 一、单选题 1．（22-23高一上·安徽六安·期中）下列四组对象能构成集合的是（    ） A．高一年级跑步很快的同学 B．晓天中学足球队的同学 C．晓天镇的大河 D．著名的数学家 2．（22-23高一上·福建泉州·阶段练习）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．中国所有直辖市 B．某校高三的聪明学生 C．2020年参加强基计划招生的高校 D．中国的四大发明 3．（22-23高一下·辽宁阜新·期中）集合还可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）第一象限的点组成的集合可以表示为（    ） A． B． C．且 D．或 5．（20-21高一上·黑龙江绥化·阶段练习）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则A中元素的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 6．（22-23高一·全国·随堂练习）下列四个集合中，(   )是空集 A． B． C． D． 7．（22-23高一上·北京·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·河南·阶段练习）下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 二、多选题 9．（22-23高一上·广东佛山·期中）已知集合，则下列属于集合A的元素有（    ） A． B．3 C．4 D．6 10．（23-24高一上·四川雅安·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．； B．高台一中高一全体学生可以构成一个集合； C．集合有两个元素； D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合. 11．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 三、填空题 12．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 13．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，若，则实数 . 14．（23-24高一上·北京海淀·期中）对集合，定义 ①若的元素个数为4，则可以为： ， （写出一组即可） ②若集合满足：存在的子集，使得的元素个数不小于100，且对任意，均有，则集合的元素个数的最小值是 ． 四、解答题 15．（21-22高一·湖南·课后作业）判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由． (1)北京各区县的名称； (2)尾数是5的自然数； (3)我们班身高大于1.7m的同学． 16.（2024高一上·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； 17．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知集合A中含有三个元素1，0，x，若，求实数x的值． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 19．（21-22高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合的概念与表示（4种题型+4个易错点+过关检测） 一、集合的相关概念 1．集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．通常用大写拉丁字母来表示集合． 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写拉丁字母来表示集合的元素． 2．常用数集及表示符号 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 3．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于A 注意点： 元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写． 二、集合元素基本属性的应用 集合元素的基本属性 (1)确定性：集合的元素必须是确定的． (2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的． (3)无序性：集合中的元素可以任意排列． 注意点： 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． 三、集合的表示 1.列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内的表示集合的方法叫做列举法． 注意点： (1)集合中的元素之间用逗号分隔，元素不重复，元素无顺序． (2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元素个数较多且有明显规律，可用列举法，但必须把规律显示清楚，然后加省略号． 2．描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式，这样表示集合的方法称为描述法． 注意点： (1)用描述法表示集合时，应写清该集合中元素的代表符号，并用简明、准确的语言描述集合的特征性质． (2)从上下文的关系来看，若元素的取值(或变化)范围是明确的，则可省略不写． 3．为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图． 4．集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等． 5．集合的分类 按照集合元素的多少，集合可以分为有限集和无限集． (1)一般地，含有有限个元素的集合称为有限集．含有无限个元素的集合称为无限集． (2)不含任何元素的集合称为空集，记作∅. 题型1集合的含义与元素的特征 【例题1-1】（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B．小于5的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可知，可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，2023年高考数学难题模棱两可，给定一个2023年高考数学题不能判断其是否是难题，不能构成集合； 对于D，无理数明确可知，可以构成集合. 故选：C 【例题1-2】（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列元素的全体可以组成集合的是（    ） A．人口密度大的国家 B．所有美丽的城市 C．地球上的四大洋 D．优秀的高中生 【答案】C 【分析】根据集合的确定性，互异性和无序性即可得出结论. 【详解】由题意， 选项ABD，都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，可以组成集合. 故选：C. 【变式2】（20-21高一上·全国·课后作业）判断（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合.( ) （2）分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的.( ) （3）由－1，1，1组成的集合中有3个元素.( ) 【答案】 × √ × 【分析】（1）根据集合中元素的确定性，即可判定； （2）根据集合相等的定义，即可判定； （3）根据集合中的元素要满足互异性，即可求解. 【详解】（1）因为“优秀”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合. （2）根据集合相等的定义知，两个集合相等. （3）因为集合中的元素要满足互异性，所以由－1，1，1组成的集合有2个元素－1，1. 故答案为：（1）×； （2）√； （3）×. 【点睛】本题主要考查了集合及集合相等的概念，以及集合的元素的互异性的应用，其中解答中熟记集合及集合相等的概念，以及元素的互异性是解答的关键，属于基础题 【变式3】（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且； (2)或或. 【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； （2）若，则或，进而求解即可得答案. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 题型2元素与集合的关系 【例题2】（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可. 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误. 故选：A 【变式1】（23-24高一上·辽宁·期中）已知集合，且是中的一个元素，则（    ） A． B．或3 C． D．或 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于实数的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】集合，且. ①当时，，此时，，集合中的元素不满足互异性，故不符合题意，舍去； ②当时，（舍）或. 若，则，此时集合，符合题意， 综上所述，. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 【分析】根据集合定义，确定元素与集合关系. 【详解】（1）不是自然数，则； （2）是整数，则； （3）是无理数，则； （4）是实数，则. 故答案为：（1）（2）（3）（4） 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合． (1)若为整数，试判断是否为集合中的元素； (2)求证：若，则． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合的表示方法，以及元素与集合的关系，即可求解. （2）若，则，，且，计算 的形态，从而确定它与集合的关系. 【详解】（1）是．∵，∴，其中，，∴整数． （2）证明：∵， ∴可设，，且， ∴ ． 又，， ∴ 题型3集合的表示方法 【例题3】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算，直接得出集合B. 【详解】由题意知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以. 故选：D 【变式1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对描述法表示集合的理解，转化为列举法表示集合. 【详解】由，且，得 故集合可表示为. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合 ，用列举法表示集合． 【答案】 【分析】理解“且”连接的是需要同时满足，求出条件下的取值，再选出满足即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． ∵， ∴． 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】直接用描述法得到答案. 【详解】（1）设方程的实数根为，并且满足条件， 用描述法表示为. （2）设大于10且小于20的整数为x，它满足条件，且， 故用描述法表示为. （3）二次函数图象上的所有的点用描述法表示为 题型4集合分类与集合相等 【例题4-1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 【例题4-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 【答案】(1)不能，不满足确定性 (2)能，为无限集 (3)能，为空集 (4)能，为有限集 (5)能，为无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据题意，结合集合的定义，以及集合中元素的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为接近于0的数的全体，标准不明确，不符合集合元素的确定性，所以不能构成集合； （2）解：因为平面上到点的距离等于2的点的全体，构成以圆心，半径为的圆，符合集合的概念，且是无限集； （3）解：因为方程在实数范围内无解，所以方程的解集为空集； （4）解：由720的所有正约数，满足元素的确定性和互异性，可以构成集合，且为有限集； （5）解：所有大于小于1的实数，可以构成一个集合，且为无限集. 【例题4-3】（22-23高一上·甘肃定西·期末）设，集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 【变式1】下列四个集合中，是空集的为(　　) A．{0} B．{x|x>8，且x<5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4} 【答案】B　 【解析】满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅.] 【变式2】（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【答案】D 【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项. 【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误； 对于②，集合仅有1个元素，故②正确； 对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误； 对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误. 故选：D. 【变式3】（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的性质得到AC错误，BD正确. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，只有当和时，，故，D正确. 故选：BD 易错点1忽略集合中元素的互异性而致错 【例题1】（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可计算得出的值. 【详解】因为，则或，解得或， 所以，. 故选：B 【变式1】（21-22高一上·四川自贡·期末）若，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】分别令和，根据集合中元素的互异性可确定结果. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），此时，符合题意； 综上所述：. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】由集合中元素的互异性可知，，解得且， 故答案为：且 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）集合中有三个元素：、、，集合中有三个元素：、、0，若，求的值． 【答案】 【分析】利用集合中元素的互异性，结合，所以只有，再对剩下两个数对应相等情况分类，即可求解. 【详解】由集合中元素有意义知，由集合中元素的互异性知， ∵，∴或 解得或（舍去）． ∴． 易错点2不能正确的理解集合的表示方法而致错 【例题2】（21-22高一上·辽宁大连·阶段练习）集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，集合中的元素满足x是自然数，且是自然数．由此列出与对应值，即可得到题中集合元素的个数． 【详解】由题意，集合中的元素满足 是自然数，且是自然数， 由此可得=0，1，3，9； 此时的值分别为： 4，3，2，1， 符合条件的共有4个， 故选：A． 【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合中所有元素之和为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出集合的元素即可计算作答. 【详解】因为集合，且，则有， 所以集合中所有元素之和为. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】结合列举法与描述法的转化即可分别求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 用列举法表示集合为， 故答案为：． 【变式3】（23-24高一上·江西九江·阶段练习）用合适的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)大于-1且小于7的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解方程，然后把解用列举法表示； （2）用列举法表示. 【详解】（1）解方程，解得，所以解集可以用列举法表示为. （2）大于-1且小于7的所有整数为，所以用列举法表示为. 易错点3不理解新定义的集合（运算）而致错 【例题3】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）定义集合，其中集合，则中元素个数为 ． 【答案】4 【分析】通过列举可得中元素个数. 【详解】， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 所以中元素个数为. 故答案为：4. 【变式1】（20-21高一上·浙江金华·开学考试）定义集合运算：，设，，则（    ） A．当，时， B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子 C．中有3个元素 D．中所有元素之和为3 【答案】BCD 【分析】根据给定定义，对每一组x，y值代入求出集合的z值，即可判断作答. 【详解】，，， 当，时，；当，时，； 当，时，；当，时，， A不正确；B正确；而，C，D都正确. 故选：BCD 【变式2】（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 【答案】4 【分析】根据定义有或，分别确定出所在区域，然后可求得面积． 【详解】根据定义有或， ，则，这是一个边长为的正方形，面积为， 同理，，也都形成一个边长为的正方形，面积都是， 所以. 故答案为： 【变式3】（22-23高一上·上海浦东新·期中）对任意两个正整数，定义某种运算（运算符号用表示）：当都为正偶数或正奇数时，；当中一个正奇数，另一个为正偶数时，，则在上述定义下，集合中元素个数为 . 【答案】41 【分析】根据题意分类讨论当都为正偶数或正奇数，当中一个正奇数，另一个为正偶数，理解运算. 【详解】∵， 当都为正偶数或正奇数时，则， ∴满足条件的有，共35个； 当中一个正奇数，另一个为正偶数时，则， ∴满足条件的有，共6个； 故集合中元素个数为. 故答案为：41 易错点4不理解集合中元素的确定性而致错 【例题4】（22-23高一下·广西河池·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合，逐个元素判定，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以． 故选：B． 【变式1】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数集的含义和元素与集合间的关系判断即可. 【详解】Q表示有理数集，是有理数，故（1）正确； R表示实数集，为实数，故（2）错； 表正整数集，0不是正整数，故（3）错； Z表示整数集，不是整数，故（4）错； 和都表示集合，集合间的关系不能用表示，故（5）错. 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题首先可根据题意分为“、均为正数”，“、为一正一负”，“、均为负数”三种情况进行讨论，然后确定集合中所包含的元素，即可得出结果. 【详解】当、均为正数时，代数式； 当、为一正一负时，代数式或； 当、均为负数时，代数式， 故集合， 故选：B. 一、单选题 1．（22-23高一上·安徽六安·期中）下列四组对象能构成集合的是（    ） A．高一年级跑步很快的同学 B．晓天中学足球队的同学 C．晓天镇的大河 D．著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合元素的确定性判断出正确答案. 【详解】集合元素具有确定性， 高一年级跑步很快的同学、晓天镇的大河、著名的数学家，这三组对象不确定，不能构成集合. “晓天中学足球队的同学”满足集合元素的：确定性、互异性、无序性， 所以“晓天中学足球队的同学”能够构成集合. 故选：B 2．（22-23高一上·福建泉州·阶段练习）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．中国所有直辖市 B．某校高三的聪明学生 C．2020年参加强基计划招生的高校 D．中国的四大发明 【答案】B 【分析】根据集合的定义和集合中元素的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据集合的定义及集合中元素的特征，可得： A中，中国所有直辖市是确定的，所以可以构成一个集合； B中，某校高三的聪明学生是不确定的，所以不能构成一个集合； C中，2020年参加强基计划招生的高校时确定的，所以可以构成一个集合； D中，中国的四大发明时确定的，所以可以构成一个集合. 故选：B. 3．（22-23高一下·辽宁阜新·期中）集合还可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合中的元素的范围和所需满足的条件确定集合中的元素，再利用列举法表示该集合. 【详解】集合的元素为小于等于3的全部自然数， 故； 故选：A. 4．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）第一象限的点组成的集合可以表示为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】根据点集的表示方法，即可求解. 【详解】第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，即且， 所以第一象限的点组成的集合可以表示为且. 故选：C 5．（20-21高一上·黑龙江绥化·阶段练习）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则A中元素的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解析】先根据题意表示出，再判断集合中元素的个数即可. 【详解】解：由题意：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 所以，有8个元素， 故选：C. 【点睛】本题考查由新定义确定集合中的元素、集合中元素的互异性，是基础题. 6．（22-23高一·全国·随堂练习）下列四个集合中，(   )是空集 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，对选项逐一判定，即可得到结果. 【详解】解：选项A：集合中有一个元素0，不为空集； 选项B：集合中不存在元素，所以该集合为空集； 选项C：集合中有一个元素1，所以不为空集； 选项D：集合中存在无数个元素，所以不为空集. 故选：B. 7．（22-23高一上·北京·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系即可求解. 【详解】因为，即小于3的元素符合题意，，符合题意，A、C错误，B正确；对于D，属于的符合只能用于集合于元素的关系，故D错. 故选：B 8．（22-23高一上·河南·阶段练习）下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 【答案】C 【分析】根据集合的性质、有限和无限集定义，结合各选项的描述判断对应集合是否符合要求即可. 【详解】A：“很大的实数”的标准不确定，故不能组成集合，错误； B：满足不等式的所有整数解为有限集，错误； C：所有大于的偶数组成的集合为，为无限集，正确； D：所有到轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素，错误. 故选：C 二、多选题 9．（22-23高一上·广东佛山·期中）已知集合，则下列属于集合A的元素有（    ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用列举法表示出集合A即可判断作答. 【详解】依题意，是的约数，而的约数有， 即，则， 因为，因此 所以CD正确，AB错误. 故选：CD 10．（23-24高一上·四川雅安·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．； B．高台一中高一全体学生可以构成一个集合； C．集合有两个元素； D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合. 【答案】BC 【分析】区分的含义判断A；根据集合的定义判断B；根据一元二次方程有两个不相等的实数根判断C；根据集合元素的无序性判断D. 【详解】对于A，0是一个数，是一个集合，二者不相等，A错误； 对于B，根据集合定义知，高台一中高一全体学生可以构成一个集合，B正确； 对于C，由于的判别式， 故有两个不相等的实数根，故集合有两个元素，正确； 对于D，集合的元素具有无序性，故小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到的两个集合是同一个集合，D错误， 故选：BC 11．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 三、填空题 12．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 13．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，若，则实数 . 【答案】 【分析】利用元素和集合的关系、集合的性质分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，∵集合， ∴由集合中元素的互异性可知：，可得：且. 又∵， ∴或，解得：或（舍去）. 综上知，实数. 故答案为：. 14．（23-24高一上·北京海淀·期中）对集合，定义 ①若的元素个数为4，则可以为： ， （写出一组即可） ②若集合满足：存在的子集，使得的元素个数不小于100，且对任意，均有，则集合的元素个数的最小值是 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据题目中集合的新定义，结合元素与集合的关系求解即可. 【详解】设集合中元素个数为，集合中元素个数为， 根据题意可知集合的元素个数为， 若的元素个数为4，则可以为，， 若对任意，均有，则，， 又的元素个数不小于100，则，解得， 因为是集合的子集，所以集合的元素个数的最小值是. 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）， 四、解答题 15．（21-22高一·湖南·课后作业）判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由． (1)北京各区县的名称； (2)尾数是5的自然数； (3)我们班身高大于1.7m的同学． 【答案】(1)能；有限集； (2)能；无限集； (3)能；有限集. 【分析】根据集合的基本概念即得. 【详解】（1）因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集； （2）因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集； （3）因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集. 16.（2024高一上·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； 【答案】(1){且} (2) (3) 【分析】利用集合列举法、描述法、自然语言的转化表示即可. 【详解】（1）可以表示成{且}； （2）根据题意可列举得； （3）易知 17．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知集合A中含有三个元素1，0，x，若，求实数x的值． 【答案】 【分析】利用集合的互异性确定的范围，再由给定元素与集合A的关系列式求解即得. 【详解】依题意，且，于是，并且， 由，得，解得， 所以实数x的值为. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 【答案】21 【分析】首先求集合中的元素，再求和. 【详解】因为，所以中的元素有： ，，，，（舍去），，（舍去），， 所以， 所以中的所有元素数字之和为21． 19．（21-22高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)的值为0或 (2)的值为 【分析】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值． （2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值． 【详解】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立． 的值为0或． （2）集合中也有三个元素：0，1，，， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， ． 实数的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$