精品解析：湖北省宜昌市夷陵区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试卷 （本试题卷共 6 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用 2B 铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列整数能使为最简二次根式，则可以是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长度是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，10 4. 下列各点不在直线上是（　　） A. B. C. D. 5. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角 6. 技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则的值可以是（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 7. 若点，在一次函数（是常数）的图象上，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 无法判断 8. 如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 9. 数形结合是非常重要的数学思想方法，请你利用数形结合思考并判断下面问题：如图，在平面直角坐标系中，若直线（为常数）与直线（为常数且）相交于点，则下列结论错误的是（　　） A. 方程的解是 B. 不等式与不等式的解集相同 C. 不等式组的解集是 D. 方程组的解是 10. 为增强居民节水意识，市自来水公司采用以户为单位分段计费办法收费，即每月用水不超过10吨，每吨收费元；若超过10吨，则不超过10吨部分按每吨元收费，超过部分按每吨元收费．公司为居民绘制的水费（元）与当月用水量（吨）之间的函数图象如图，有下列结论：①；②；③若小明家5月份用水12吨，则应缴水费19元；④若小明家6月份缴水费55元，则当月用水30吨．其中，正确结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 11 ________． 12. 如图，在数轴上点A表示的实数是________________． 13. 某校在广播操比赛中，综合成绩是由服装统一、动作整齐、动作准确和精神面貌四项成绩按的比例计算所得．已知某班的这四项成绩依次是96分、85分、92分和94分，那么该班的综合成绩是________分． 14. 已知，，则代数式的值为________． 15. 如图，已知正方形的顶点在直线上，点在第一象限，若正方形的面积是34，则点的坐标为________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） 17. 中国最强发射震撼上演！年月日时分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将吉利星座组卫星发射升空，颗卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，火箭从地面处垂直发射，当火箭到达点时从处的雷达站测得，；当火箭到达点时，测得，求的长．（参考数据：，，，结果精确到） 18. 人教版初中数学教科书八年级下册第页“阅读与思考”给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”．如果一个三角形的三边长分别为，，，则可求得其面积．，其中为半周长，即；若一个三角形的三边长，，分别为，，，请利用该公式求该三角形面积． 19. “防溺水”是校园安全教育工作重点之一．某校为促使学生学习防护自救的知识，增强学生安全意识，开展了“远离溺水，珍爱生命”安全知识竞赛，为了解学生对防溺水知识的学习情况，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用表示，得分不少于分者为优秀）进行如下收集、整理、描述和分析： 【收集数据】七年级：，，，，，，82，78，87，75； 八年级：，，，，，，，，，． 【整理数据】七八年级抽取的学生比赛成绩统计表： 成绩分 七年级/人 0 4 1 八年级/人 2 3 3 2 【分析数据】两组数据平均数，中位数，方差，优秀率如下表： 统计量 平均数 中位数 方差 优秀率 七年级 八年级 【应用数据】： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，我认为________年级学生“防溺水”知识的学习情况较好，（填“七”或“八”），理由是________；（一条理由即可） （3）该校七八年级名学生共同参加了此次竞赛，请估计参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 20. 如图，在四边形中，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求四边形的面积． 21. 设正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，只用无刻度的直尺按要求画图，各顶点（端点）均在格点上．（不写画法，标上字母） （1）在图1的正方形网格中画出格点线段，并画出的中点；（保留画图痕迹） （2）在图2中画出格点，使，，； （3）在（2）的条件下，直接写出的面积________，点到的距离________． 22. 年月日时分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售，已知“天宫”模型的利润元/个，“神舟”模型的利润元/个．该店计划购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． （1）求与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对“神舟”模型出厂价下调元，且限定航模店最多购“神舟”模型台，若航模店保持同种模型的售价不变，求出这个模型利润最大时的的值． 23. 如图1，在菱形中，，对角线，交于点O，P是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边，连接，， （）． （1）①填空： ， ； ②当时． 求证：，； （2）如图2，当时，连接，若，求的长； （3）如图3，当时，连接，若，直接写出的长． 24. 如图1，直线∶与x轴交于点A，且经过定点，直线∶与x轴交于点B，直线与交于点，连接． （1）填空：直线解析式为 ，直线解析式为 ，点C坐标为 ； （2）①在y轴上的动点Q使的周长最短？请画图标出点Q，并求点Q的坐标； ②在平面直角坐标系中存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点N坐标； （3）如图2，点P为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到交x轴于点H，当为直角三角形时，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试卷 （本试题卷共 6 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用 2B 铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列整数能使为最简二次根式，则可以是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，最简二次根式的条件是（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A.当时，，无意义； B.当时，，不是最简二次根式； C..当时，，不是最简二次根式； D..当时，，是最简二次根式； 故选D 2. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则． 根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解：A. 由于，故该选项错误； B. 由于不能计算，故该选项错误； C. 由于，故该选项正确；        D. 由于，故该选项错误； 故选C． 3. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、1+2=3，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 下列各点不在直线上是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的知识，正确的计算是解题的关键． 把每个点分别代入中，观察等号两边是否相等即可判断． 【详解】A、将代入中，可得，故在直线上，正确； B、将代入中，可得，故在直线上，正确； C、将代入中，可得，故在直线上，正确； D、将代入中，可得，故不在直线上，错误； 故选D． 5. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质．解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质． 【详解】解：根据正方形和矩形的性质可知，它们具有相同的特征有：四个角都是直角、对角线都相等、对角线互相平分，但矩形的长和宽不相等，对角线不平分对角， 故答案为：D． 6. 技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则的值可以是（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】题主要考查了方差与稳定性之间的关系，根据检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，可得乙地的方差小于甲地的方差，由此即可得到答案． 【详解】解：∵乙地小麦比甲地小麦长得整齐， ∴， 符合的为10， 故选A． 7. 若点，在一次函数（是常数）的图象上，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，正确理解一次函数的增减性是解题的关键． 对于一次函数，所以y随着x的增大而减小，由，即可解题． 【详解】解：∵， ∴随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故选B． 8. 如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定以及三角形的中位线定理，顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形，再根据即可证明结论． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，，，，， 且， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 故选：C． 9. 数形结合是非常重要的数学思想方法，请你利用数形结合思考并判断下面问题：如图，在平面直角坐标系中，若直线（为常数）与直线（为常数且）相交于点，则下列结论错误的是（　　） A. 方程的解是 B. 不等式与不等式的解集相同 C. 不等式组的解集是 D. 方程组的解是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【详解】A． 方程的解是，说法正确，不符合题意； B．不等式与不等式的解集相同，说法正确，不符合题意； C．不等式组的解集是，原说法错误，符合题意； D．方程组的解是，说法正确，不符合题意； 故选：C． 10. 为增强居民节水意识，市自来水公司采用以户为单位分段计费办法收费，即每月用水不超过10吨，每吨收费元；若超过10吨，则不超过10吨的部分按每吨元收费，超过部分按每吨元收费．公司为居民绘制的水费（元）与当月用水量（吨）之间的函数图象如图，有下列结论：①；②；③若小明家5月份用水12吨，则应缴水费19元；④若小明家6月份缴水费55元，则当月用水30吨．其中，正确结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图形，利用数形结合的方法求解是解答本题的关键. 利用， 可求出的值即可，再逐项判断即可. 【详解】由图象可知，故①正确； 故②正确； 用水吨，则应缴水费：(元)，故③正确； 缴水费元，则该用户当月用水为：(吨)，故④正确； ∴正确的有①②③④， 共个， 故选：A. 二、填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 11. ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的除法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先将两数化简成最简二次根式，然后根据二次根式的除法计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在数轴上点A表示的实数是________________． 【答案】 【解析】 【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 【点睛】题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键． 13. 某校在广播操比赛中，综合成绩是由服装统一、动作整齐、动作准确和精神面貌四项成绩按的比例计算所得．已知某班的这四项成绩依次是96分、85分、92分和94分，那么该班的综合成绩是________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，根据加权平均数的计算公式进行计算即可得出答案． 【详解】解：该班的综合成绩是分， 故答案为：． 14. 已知，，则代数式的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知正方形的顶点在直线上，点在第一象限，若正方形的面积是34，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理和全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 过点C作轴交x轴于点F，过点B作交的延长线于点E，交y轴于点D，根据正方形的性质和勾股定理求出，然后证明出，得到，，设，则，，然后列方程求解即可． 【详解】如图所示，过点C作轴交x轴于点F，过点B作交的延长线于点E，交y轴于点D， ∵已知正方形的顶点B在直线上， ∴设 ∴ ∵正方形的面积是34， ∴， ∴ ∴ ∴（负值舍去） ∴ ∴， ∵轴，， ∴四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 设，则， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）按照二次根式的性质、绝对值的运算计算，然后合并即可； （2）按照完全平方公式和二次根式的乘法计算，再进行合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 中国最强发射震撼上演！年月日时分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将吉利星座组卫星发射升空，颗卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，火箭从地面处垂直发射，当火箭到达点时从处的雷达站测得，；当火箭到达点时，测得，求的长．（参考数据：，，，结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含度的直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先在中，求出的长，再在中求出的长，利用求出的长． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴的长约为． 18. 人教版初中数学教科书八年级下册第页“阅读与思考”给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”．如果一个三角形的三边长分别为，，，则可求得其面积．，其中为半周长，即；若一个三角形的三边长，，分别为，，，请利用该公式求该三角形面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查二次根式的运算，平方差公式，需要有较强的运算求解能力，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 先将，，分别代入，求出值，再将，，，值分别代入，根据二次根式的运算和平方差公式计算即可． 【详解】解：当若一个三角形的三边长，，分别为，，时， 代入，可得， 再将，，，分别代入中， 可得， 即， 解得， 答：该三角形面积为． 19. “防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为促使学生学习防护自救的知识，增强学生安全意识，开展了“远离溺水，珍爱生命”安全知识竞赛，为了解学生对防溺水知识的学习情况，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用表示，得分不少于分者为优秀）进行如下收集、整理、描述和分析： 【收集数据】七年级：，，，，，，82，78，87，75； 八年级：，，，，，，，，，． 【整理数据】七八年级抽取的学生比赛成绩统计表： 成绩分 七年级/人 0 4 1 八年级/人 2 3 3 2 【分析数据】两组数据的平均数，中位数，方差，优秀率如下表： 统计量 平均数 中位数 方差 优秀率 七年级 八年级 【应用数据】： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，我认为________年级学生“防溺水”知识的学习情况较好，（填“七”或“八”），理由是________；（一条理由即可） （3）该校七八年级名学生共同参加了此次竞赛，请估计参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 【答案】（1），， （2）七，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、中位数、方差的意义及用样本估计总体，从统计表中获取有用信息、熟练掌握中位数的求法是解题关键． （1）根据统计表中数据可求出值，把八年级数据从小到大排列，根据中位数的求分可得值，根据八年级数据中不少于分的有人即可得出值； （2）由平均数相同，比较中位数和方差即可得答案； （3）用乘以七八年级优秀的学生人数所占百分比即可得答案． 【小问1详解】 （1）∵从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩， ∴， 八年级成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，， ∵中间的两个数为，， ∴中位数为， ∵八年级成绩不少于分的有人， ∴． 故答案：，， 【小问2详解】 我认为七年级学生“防溺水”知识的学习情况较好，理由如下： ∵七八年级分数的平均数相同，但七年级比八年级中位数高且成绩相对集中， ∴七年级学习情况较好． 【小问3详解】 （人） 答：七、八年级参加此次竟赛成绩达到优秀的学生数有人． 20. 如图，在四边形中，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）详见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）证 ，得 ，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得 ，再由勾股定理得 ，则 ，即可解决问题； 【小问1详解】 证明：∵ 在 和 中 ∴四边形是平行四边形 【小问2详解】 由（1）可知四边形 是平行四边形 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键 21. 设正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，只用无刻度的直尺按要求画图，各顶点（端点）均在格点上．（不写画法，标上字母） （1）在图1的正方形网格中画出格点线段，并画出的中点；（保留画图痕迹） （2）在图2中画出格点，使，，； （3）在（2）的条件下，直接写出的面积________，点到的距离________． 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行四边形的应用，三角形的面积计算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据构造直角三角形即可得出线段，再按照网格线为参考画出平行四边形，对角线的交点，即为的中点． （2）根据，，，分别构造直角三角形，即可得到． （3）根据，得出的面积，再根据，得出点到的距离． 【小问1详解】 解：由勾股定理可得线段的长度为， 故可画两条长度均为的线段，让其夹角为，再连接两条线段的末端即可得出线段，如图（画法不唯一）： 再分别以为对角线，沿着格点画出个平行四边形，从而连接另外两个端点，形成另一条对角线，与的相交于点，根据平行四边形两条对角线相互平分，即可得出点即为的中点，如图： 【小问2详解】 解：∵，，， ∴可分别构造直角三角形，画出，，这三边，即可得到，如图： 【小问3详解】 在（2）的条件下，对格点进行标注，如图所示： 可得四边形为矩形，，，均为直角三角形， ∴，，，， ∴， 如图，过点作线段的垂线，垂足为点， ∵，， ∴， 代入数值可得， ∴点到的距离为， 故答案为，． 22. 年月日时分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售，已知“天宫”模型的利润元/个，“神舟”模型的利润元/个．该店计划购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． （1）求与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对“神舟”模型出厂价下调元，且限定航模店最多购“神舟”模型台，若航模店保持同种模型售价不变，求出这个模型利润最大时的的值． 【答案】（1）（ 且为整数） （2）当购进“神舟”模型和“天宫”模型各和个时利润最大，最大利润是元 （3）当时，获得利润最大；当时，购进“神舟”模型数量在内取任意整数值，均获得利润最大；当时，获得利润最大． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）单个利润乘数量等于总利润列式即可得出函数关系式，再根据题意列一元一次不等式组，求解即可得出的取值范围． （2）根据一次函数的性质，即可得出随的增大而减小，当时为最小值，为最大值，代入函数关系式即可求解． （3）由出厂价下调元，算出下调后的函数关系式和的取值范围，在根据一次函数的性质，分成、、分别分析即可． 【小问1详解】 解：依题意，可列函数关系式为：， 即， ∵购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且购进这两种模型共个， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为（ 且为整数）． 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴在中，随的增大而减小， ∴当时，， 此时， ∴当购进“神舟”模型和“天宫”模型各和个时利润最大，最大利润是元． 【小问3详解】 依题意，得， 即（ 且为整数）， ①当时，， ∴随的增大而减小， ∴当时，值最大． ②当时，在内取任意整数值，值恒为． ③当时，， ∴随的增大而增大， ∴当时，值最大． 综上所述，当时，获得利润最大；当时，购进“神舟”模型数量在内取任意整数值，均获得利润最大；当时，获得利润最大． 23. 如图1，在菱形中，，对角线，交于点O，P是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边，连接，， （）． （1）①填空： ， ； ②当时． 求证：，； （2）如图2，当时，连接，若，求的长； （3）如图3，当时，连接，若，直接写出的长． 【答案】（1）①，，②见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①证明是等边三角形，，，，再进一步解答即可；②由等边三角形，是等边三角形，证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）由（1）得：，，，，求解，可得，结合（2）同理可得：， ，同理：，再进一步可得答案； （3）由（1）同理可得：，求解，同理：，而，，再进一步利用勾股定理可得答案； 【小问1详解】 解：①在菱形中，，， ∴，，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵等边三角形，是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； 【小问2详解】 解：由（1）得：，，，， ∵， ∴， ∴， 结合（2）同理可得：， ∴， 同理：， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）同理可得：， ∵，， ∴， 同理：，而，， ∴，； 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，菱形的性质，化为最简二次根式，熟练的利用类比的方法解题是关键. 24. 如图1，直线∶与x轴交于点A，且经过定点，直线∶与x轴交于点B，直线与交于点，连接． （1）填空：直线解析式为 ，直线解析式为 ，点C坐标为 ； （2）①在y轴上的动点Q使的周长最短？请画图标出点Q，并求点Q的坐标； ②在平面直角坐标系中存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点N坐标； （3）如图2，点P为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到交x轴于点H，当为直角三角形时，求点E的坐标． 【答案】（1），， （2）①图见解析，Q（0，）②点N坐标为或或 （3）点E坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将点代入求得值，进而得到点，再将点代入即可求得值； （2）①作点B关于轴的对称点，连接与轴交于点，由两点之间线段最短，可知此时的周长最短，再设直线解析式为，利用待定系数法求出直线解析式，即可得到点Q的坐标； ②根据平行四边形性质作出草图，再利用线段平移规律直接写出点N坐标，即可解题； （3）根据为直角三角形分以下两种情况讨论，当时，当时，根据这两种情况画出草图，结合轴对称性质，以及勾股定理，坐标与图形，即可求解出点E的坐标． 【小问1详解】 解：经过定点， 可得：， 解得：， 直线解析式为：， 直线与交于点， 可得：， ，将其代入可得： ，解得：， 直线解析式为：， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：①如图1-1，点Q即为所求； 把代入直线得，，解得， ， 与B关于y轴对称， ， ， 设直线直线解析式， 解得， 直线解析式为， 令，则， 点Q坐标为； ②如图1-2（利用线段平移规律直接写出）， 向左平移个单位，向上平移个单位得到， 向左平移个单位，向上平移个单位得到点坐标为， 向右平移个单位，向上平移个单位得到， 向右平移个单位，向上平移个单位得到点坐标为， 向左平移个单位，向下平移个单位得到， 向左平移个单位，向下平移个单位得到点坐标为， 点N坐标为或或； 【小问3详解】 解：情况1：如图2-1， 当时， ， ， 由折叠可得，， ， ， 过M作轴于G， ， ，， ，，， ， ，， ， 点E在第四象限， 情况2：如图2-2 ， 当时， 在中， ， 由折叠可得， ， ， 点E在第三象限， ． 综上，点E坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点情况，将军饮马模型求的周长最短（轴对称性质），两点之间线段最短，平行四边形性质，平移的性质，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$