精品解析：甘肃省武威市凉州区东河中学联片教研2023-2024学年七年级下学期7月期末数学试题

2023-2024学年第二学期甘肃省武威市凉州区东河中学联片教研 七年级数学期末试卷 一．选择题（共30分） 1. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组成．在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若，则的度数为（ ） A. 92° B. 90° C. 88° D. 86° 3. 化简的结果是(　　) A. B. 2 C. -4 D. 4 4. 对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（ ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. “计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法．绘图时先在图上布满方格，然后按方格绘制地图内容．小华按照“计里画方”的方法，绘制了蒙山大佛旅游区的局部示意图如图所示．若该图中“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为、，则景点“蒙山氧吧”的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 下列是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知关于、的方程组得出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④不存在使得成立；其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①④ D. ②③④ 9. 已知，，则下列一定正确的是(　　) A. B. C. D. 10. 如图是甲、乙两户居民家庭2023年全年支出费用的扇形统计图，根据统计图，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙两户全年支出的娱乐费用一样多 B. 甲户全年支出的教育费用比乙户全年支出的教育费用少 C. 乙户全年支出的教育费用是其娱乐和衣食费用之和 D. 甲、乙两户全年支出的总费用一样多 二．填空题（共24分） 11. 如图，在下列给出的条件中，可以判定的有___________． ①；②；③；④；⑤． 12. 如图，在长为80米，宽为60米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为4米，其他部分均种植花草，则种植花草的面积是__________平方米． 13. 如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是_____． 14. 如图，实数在数轴上的对应点可能是 _____点． 15. 已知是二元一次方程的一组解，则______． 16. “x的一半减去5所得的差不大于1”，用不等式表示为 _____． 17. 为了了解某校八年级名学生每天完成作业所用时间的情况，从中对名学生每天完成作业所用时间进行了抽查．在这个问题中，样本容量是________． 三．作图题（共6分） 18. 如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置：（图中小正方形的边长代表长）． （1）请你以宾馆为原点建立平面直角坐标系； （2）写出文化馆、超市、博物馆、动物园的坐标； （3）直接写出图书馆到花市的最短距离为 ． 四．计算题（共6分） 19. 计算： （1） （2） 五．解答题（共54分） 20. 如图，，，垂足为B． （1）判断与之间的位置关系，并说明理由； （2）若，求证：． 21. 如图，中，D是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． （1）求证：． （2）若，平分，求的度数． 22. 已知：a、b、c三个数，其中任意两个数的积的算术平方根用p表示． （1）若，，时，求p的最小值和最大值； （2）若，，若p的最大值是最小值的2倍，求b的值． 23. 已知点，解答下列各题． （1）若点P在x轴上，求点P的坐标． （2）点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． （3）点P到两坐标轴的距离相等，直接写出点P的坐标． 24. 某校准备组织九年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人； （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 25. 在解不等式组时，小颖同学求解不等式①的解答过程如下，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得……第1步 去括号，得……第2步 移项，得……第3步 合并同类项，得……第4步 两边都除以3，得……第5步 任务一：填空： （1）以上运算步骤中，第2步去括号依据的运算律是________； （2）第3步移项的依据是________； （3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请写出正确的解答过程，并求出不等式组的解集． 26. 2024年某区二模刚刚结束，为统计该区应试生的考试成绩，在考卷中随机抽取了部分试卷进行抽样调查，并对成绩进行优、良、合格、不合格的分级后绘制了如下两个不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求共调查了多少名学生； （2）通过计算补全条形统计图； （3）请你估计该区7000名学生中，有多少人的测试成绩为不合格． 27. 如图，，点E是上一点，连结． （1）如图1，若平分，过点E作交于点M，若，求的度数； （2）如图2，若平分平分，且，求的度数； （3）如图3，过点E作交的平分线于点M，交于点N，，垂足为H．若，求与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期甘肃省武威市凉州区东河中学联片教研 七年级数学期末试卷 一．选择题（共30分） 1. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项正确，符合题意； B. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； D. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； 2. 如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组成．在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若，则的度数为（ ） A. 92° B. 90° C. 88° D. 86° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平角的定义，平行线的性质求解． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 故选：C 【点睛】本题考查平角的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3. 化简的结果是(　　) A. B. 2 C. -4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了算术平方根的定义，由于表示4的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果． 【详解】解：∵2的平方是4， ∴； 故选：A． 4. 对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（ ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算．根据表示不超过的最大整数，称为的小数部分，计算，再逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴所有可能的值为6和7，③正确； 若， 那么， ． ，故④不正确； 故选：B． 5. “计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法．绘图时先在图上布满方格，然后按方格绘制地图内容．小华按照“计里画方”的方法，绘制了蒙山大佛旅游区的局部示意图如图所示．若该图中“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为、，则景点“蒙山氧吧”的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，先根据已知两点坐标确定每个方格的距离，再根据点的位置确定坐标． 【详解】解：“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为、，两点横向上相距2个方格， 每个方格距离为1， 由图可知，开化寺向左移动1个方格，向上移动4个方格到达景点“蒙山氧吧”， 景点“蒙山氧吧”的坐标为，即， 故选C． 6. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解． 【详解】∵，，， ∴点一定在第四象限， 故选：D． 7. 下列是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．，是二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 8. 已知关于、的方程组得出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④不存在使得成立；其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①把看做已知数表示出方程组的解，把代入求出与的值，代入方程检验即可；②令求出的值，即可作出判断；③把与代入中计算得到结果，判断即可；④令求出的值，判断即可． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 当时，，， 把，代入得：左边，右边，所以当时，方程组的解也是方程的解，故①正确； 当时，，即，故②正确； ，无论为什么实数，的值始终不变，为，故③正确； 令，即，即，存在，故④错误； 则正确的结论是①②③， 故选． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9. 已知，，则下列一定正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查不等式的性质，根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：∵，， A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 10. 如图是甲、乙两户居民家庭2023年全年支出费用的扇形统计图，根据统计图，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙两户全年支出的娱乐费用一样多 B. 甲户全年支出的教育费用比乙户全年支出的教育费用少 C. 乙户全年支出的教育费用是其娱乐和衣食费用之和 D. 甲、乙两户全年支出的总费用一样多 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查扇形图．根据扇形图的定义，本题中的总量不明确，所以在两个图中无法确定哪一户多． 【详解】解：因为两个扇形统计图的总体都不明确，所以无法确定哪一户支出的费用多． 乙户全年支出的娱乐和衣食费用之和为，与其支出的教育费用一样多， 故选：C． 二．填空题（共24分） 11. 如图，在下列给出的条件中，可以判定的有___________． ①；②；③；④；⑤． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】根据平行线的判定条件进行逐一判断即可． 【详解】解；由，不可以证明，故①错误； 由，可以证明（内错角相等，两直线平行），故②正确； 由，可以证明（内错角相等，两直线平行），故③正确； 由，不可以证明，故④错误； 由，可以证明（同旁内角互补，两直线平行），故⑤正确； 故答案为；②③⑤． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 12. 如图，在长为80米，宽为60米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为4米，其他部分均种植花草，则种植花草的面积是__________平方米． 【答案】4256 【解析】 【分析】利用平移的思想，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，剩下的仍是一个矩形，长为米，宽为米，再利用矩形面积公式即可求出种植花草的面积． 【详解】解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，种植花草的面积（平方米）． 故答案为：4256． 【点睛】本题考查了图形的平移的性质，利用平移的思想得出新矩形是解题的关键． 13. 如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的剪拼和算术平方根，熟知“如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根”是解答此题的关键． 【详解】解：分割图形如下： 故这个正方形的边长是：． 故答案为：． 14. 如图，实数在数轴上的对应点可能是 _____点． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数在数轴上点的表示，估算出，即可求解；会估算无理数是解题的关键． 【详解】解：， 由数轴得：对应点可能是点， 故答案为：． 15. 已知是二元一次方程的一组解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，等式的性质等知识点，把代入二元一次方程得关于的等式，利用等式的基本性质求出的值，再整体代入求值即可，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】把代入二元一次方程得：， ∴， ∴两边同乘5得：， ∴两边同乘得：， ∴整理得：， ∴， 故答案为：． 16. “x的一半减去5所得的差不大于1”，用不等式表示为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】抓住题干中的“不大于3”，是指“小于”或“等于3”，由此即可解决问题． 【详解】解：根据题干“x的一半减去5所得的差”可以列式为：； “不大于1”是指“小于等于1”； 那么用不等号连接起来是：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象一元一次不等式的知识，属于基础题，理解“不大于”的含义是解答本题的关键． 17. 为了了解某校八年级名学生每天完成作业所用时间的情况，从中对名学生每天完成作业所用时间进行了抽查．在这个问题中，样本容量是________． 【答案】50 【解析】 【分析】样本容量是指样本中个体的数目，可得答案． 【详解】解：由题意可得：样本容量是50， 故答案为：50． 【点睛】考查了总体、个体、样本、样本容量，分清具体问题中的总体、个体与样本，关键明确考查的对象，总体、个体与样本的考查是相同的， 所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 三．作图题（共6分） 18. 如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置：（图中小正方形的边长代表长）． （1）请你以宾馆为原点建立平面直角坐标系； （2）写出文化馆、超市、博物馆、动物园的坐标； （3）直接写出图书馆到花市的最短距离为 ． 【答案】（1）作图见详解 （2）文化馆的坐标为、超市的坐标为、博物馆的坐标为、动物园的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的运用，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系的特点即可作图； （2）根据坐标表示位置的方法即可求解； （3）根据两点之间距离的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，作图如下， 【小问2详解】 解：结合（1）的图示可得，文化馆的坐标为、超市的坐标为、博物馆的坐标为、动物园的坐标为； 【小问3详解】 解：根据图示，图书馆到花市间隔8个小正方形，小正方形的边长代表长， ∴（）, 故答案为：． 四．计算题（共6分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据实数的混合运算法则即可求解； （2）根据实数的混合运算法则即可求解 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 五．解答题（共54分） 20. 如图，，，垂足为B． （1）判断与之间的位置关系，并说明理由； （2）若，求证：． 【答案】（1） 解：，理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：由（1）得， 又∵， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质、垂直定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）先根据垂直定义得到，再根据平行线的性质得到，进而可证得结论； （2）先证得，再根据内错角相等，两直线平行证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，中，D是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． （1）求证：． （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系． （1）根据，得出，又因为，等量代换得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）根据，得出，再根据平分，得出，再根据平行线的性质进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 22. 已知：a、b、c三个数，其中任意两个数的积的算术平方根用p表示． （1）若，，时，求p的最小值和最大值； （2）若，，若p的最大值是最小值的2倍，求b的值． 【答案】（1）p的最小值为2，p的最大值为6． （2）9或 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，算术平方根的运算． （1）分别求出任意两个数的积，根据积的大小即可求出p的最小值和最大值． （2）根据题意，分别求出两个数的积，据积即可分别出p的最小值和最大值，再根据p的最大值是最小值的2倍，即可求出b的值． 【小问1详解】 解∶∵，， ∴a、b、c三个数中任意两个数的积分别为4，9，36． p的最小值为：， p的最大值为：， 【小问2详解】 ∵，， ∴a、b、c三个数中任意两个数的积分别为，，， 当p的最大值为：，p的最小值为：， ∵p的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：． 当p的最大值为：，p的最小值为： ∵p的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：． 23. 已知点，解答下列各题． （1）若点P在x轴上，求点P的坐标． （2）点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． （3）点P到两坐标轴的距离相等，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）点P的坐标为； （2）点P的坐标为（4,8）； （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形： （1）根据在x轴上的点纵坐标为0求出a的值即可得到答案； （2）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同得到，解方程即可得到答案； （3）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点Q的坐标为，直线轴， ∴点P的横坐标为4， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， ∴或， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，点P的坐标为或． 24. 某校准备组织九年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人； （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】（1）每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生 （2）最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式． （1）设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人列出方程组求解即可； （2）根据（1）所求可得方程，求出方程的非负整数解即可得到两种方案，求出两种方案的花费即可得到答案． 【小问1详解】 解：设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生， 由题意得，， 解得， 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∵都是整数， ∴一定是整数， ∴y一定是4的倍数， ∴或， ∴一共有2种租车方案：方案一，租用小客车17辆，大客车0辆；方案二：租用小客车8辆，大客车4辆； 方案一的费用为（元）， 方案二的费用为（元）， ∵， ∴最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元． 25. 在解不等式组时，小颖同学求解不等式①的解答过程如下，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得……第1步 去括号，得……第2步 移项，得……第3步 合并同类项，得……第4步 两边都除以3，得……第5步 任务一：填空： （1）以上运算步骤中，第2步去括号依据的运算律是________； （2）第3步移项的依据是________； （3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请写出正确的解答过程，并求出不等式组的解集． 【答案】任务一： （1）乘法分配律； （2）不等式性质； （3）1，去分母时没给常数项乘分母的最小公倍数； 任务二：正确的解答过程： 解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 任务一：（）根据乘法分配律即可求解； （）根据不等式的性质即可求解； （）根据去分母时，常数项漏乘最小公倍数，即可求解； 任务二：按照解一元一次不等式的步骤解答，再求出不等式②的解集，然后得出不等式组的解集即可． 【详解】解：任务一： （）第2步去括号依据的运算律是乘法分配律； （）第3步移项的依据是不等式的性质； （）第1步开始出现错误，这一步错误的原因是，去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第1步中常数项没有乘以最小公倍数； 任务二：略 26. 2024年某区二模刚刚结束，为统计该区应试生的考试成绩，在考卷中随机抽取了部分试卷进行抽样调查，并对成绩进行优、良、合格、不合格的分级后绘制了如下两个不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求共调查了多少名学生； （2）通过计算补全条形统计图； （3）请你估计该区7000名学生中，有多少人的测试成绩为不合格． 【答案】（1）共调查了100名学生的成绩 （2） 补全图形如下： ． （3）估计全区测试成绩不合格的学生有350人 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，掌握基础的统计知识是解本题的关键． （1）由优秀的人数除以其占比即可得到总人数； （2）先求解合格的人数，再补全图形即可； （3）由总人数乘以不合格人数的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解： （人） 答：共调查了100名学生的成绩； 【小问2详解】 （人）； 【小问3详解】 （人）， 答：估计全区测试成绩不合格的学生有350人． 27. 如图，，点E是上一点，连结． （1）如图1，若平分，过点E作交于点M，若，求的度数； （2）如图2，若平分平分，且，求的度数； （3）如图3，过点E作交的平分线于点M，交于点N，，垂足为H．若，求与之间的数量关系． 【答案】（1）25度 （2）40度 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，平角的意义，过点F作是解题的关键． （1）根据垂直性质推出，得到，根据角平分线定义得到，推出，根据平行线性质得到，推出，进而求解即可； （2）过点F作，根据平行线性质推出，得到，根据角平分线性质得到，推出，根据，得到，根据，得到； （3）延长交的延长线于点F，根据垂直性质得到，，得到，设，则，根据角平分线定义设，得到，根据垂直性质得到，推出，根据，推出，得到． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：与之间的数量关系是：，理由： 如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴设，则， ∵平分， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $